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1、第四章第四章 频域特性法频域特性法ST4.1 4.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念4.2 4.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性4.3 4.3 开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制4.4 4.4 稳定性判据稳定性判据 4.4.1 4.4.1 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)稳定判据稳定判据 对数频率稳定判据对数频率稳定判据 4.4.2 4.4.2 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 4.5 4.5 开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标 4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST对于高阶控制系统，可采用频率特性法进行间接求解。实质就是间接地运用
2、系统的开环特性分析系统闭环的暂态性能。属于图解法。现在频域中对控制系统进行分析和综合设计后，再根据时域和频域的对应关系来确定系统的时域性能指标。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1.1频率特性的定义频率特性的定义一、问题引入：RC网络左图为RC滤波网络，设电容C的初始电压为U0，取输入信号为正弦信号Ui=Asint，曲线如图所示。当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟END4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1频
3、率特性的基本概念频率特性的基本概念ST二、频率特性定义设稳定线性定常系统的传函为4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST输出响应稳态分量的拉氏反变换为：上面各式比较，可知：上面表明，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，幅值和相位的变化是同频率的函数，且与系统数学模型相关。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST频率特性：定义谐波输入下，输出响应中与频率特性：定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比比A()为幅频特性，相位之差为幅频特性，相位之差()为相频为相频特性，并称其指数表达形式：特性，并称
4、其指数表达形式：为系统的频率特性。为系统的频率特性。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST频率特性也是系统数学模型的一种表达形式。频率特性的定义既可以适用于稳定系统，也可适用于不稳定系统。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定。线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出和输入的拉氏变换之比上式的拉氏反变换为4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST如果r（t）的傅氏变换存在，可令s=j，所以频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变化之比，这就是频率等于输出和输入的傅氏变化之比，这就是频率特性的物理意义。特性的物理意义。4.1频
5、率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1.2频率特性的描述方式频率特性的描述方式一、三种系统描述之间的关系由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST二、频率特性的几何表示法(1)、幅相频率特性曲线，又简称幅相曲线或极坐标图。以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。由于幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数，则从零变到和从零变到的幅相曲线关于实轴对称，因此一般只绘制从零变的幅相曲线。对于RC网络4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1频率特性的基本概念频率
6、特性的基本概念ST小箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。（2）、对数频率特性曲线，又称伯德曲线或伯德图。对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。对数频率特性曲线的横坐标按lg分度，单位为弧度/秒(rad/s)，对数幅频曲线的纵坐标按：L()20lg|G(j)|=20lgA()线性分度，单位是分贝（dB）。对数相频曲线的纵坐标按()线性分度，单位为度。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST对数分度和线性分度如图所示，图与表4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST(3)
7、、对数幅相曲线，对数幅相曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点是纵坐标为L()，单位为分贝（dB），横坐标为()，单位为度，均为线性分度，频率为参变量。下图为RC网络T0.5时的尼科尔斯曲线。4.1频率特性的基本概念频率特性的基本概念ST利用尼科尔斯曲线，根据系统开环和闭环的关系，可以绘制关于闭环幅频特性的等M簇线和闭环相频特性的等簇线，根据频域指标要求确定校正网络，简化系统的设计过程。本课时结束4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST一、典型环节（1）最小相位系统环节(在几个稳定的传递函数中，如果他们的幅频特性完全相同幅频特性完全相同，则对于任意频率，其右半右半S平面没有零点和极点的
8、传递函数平面没有零点和极点的传递函数，其相频特性的绝对值是最小的。)4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST（2）非最小相位系统环节除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，即4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST系统开环幅频特性和开环相频特性上面表明，系统开环频率特性表现为组成开环系系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；统的诸典型环节频率特性的合成；而系统开环对系统开环对数频率特性，
9、则表现为诸典型环节对数频率特性数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简单的形式。的叠加这一更为简单的形式。因此本节利用典型环节频率特性的特点，介绍绘制开环频率特性曲线的方法。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST二、典型环节的频率特性4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST三、非最小相位环节和对应的最小相位环节对于每一种非最小相位的典型环节，都有一种最小相位环节与之对应，其特点是典
10、型环节中的某个参数的符号相反。最小相位的比例环节G(s)=k(k0)，简称为比例环节，其幅频和相频特性为4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST非最小相位的比例环节G(s)=-k(k0),其幅频和相频特性为最小相位的惯性环节1/(1+Ts)(T0)，其频率特性为非最小相位的惯性环节1/(1-Ts)(T0)，其频率特性为4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST四、传递函数互为倒数的典型环节最小相位典型环节中，积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，即G1（s）=1/G2(s)，设4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST可知，传递函数
11、互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0线对称。传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对数频率特性曲线的对称性同样成立。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST五、振荡环节和二阶微分环节4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST取得谐振频率与谐振峰值：4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性STB、二阶微分环节其传递函数为振荡环节传递函数的倒数，按对称性可得二阶微分环节的对数频率特性，并有：4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型
12、环节的频率特性ST非最小相位的二阶微分环节和不稳定振荡环节的频率特性曲线可按（1）中的结论以及二阶微分环节和振荡环节的频率特性曲线加以确定。六、对数幅频渐进特性曲线在控制工程中，为简化对数幅频曲线的作图，常用低频和高频渐进线近似表示对数幅频特性曲线，称为对数幅频渐进特性曲线。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性STA、惯性环节惯性环节的对数幅频为4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST从上图可知，低频部分是零分贝线，高频部分是斜率为20dB/dec的直线，两条直线交于=1/t处，该频率称为交接频率。注意渐进特性近似表示的对数幅频特性存在
13、误差。下图为误差曲线图。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST由图可见，最大误差发生在交接频率处，约3dB。根据误差曲线，可修正渐进特性曲线，从而获得准确曲线。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST与惯性环节关联环节的对数幅频特性非最小相位惯性环节的对数幅频特性与惯性环节相同，一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节的对数幅频特性相等，且与惯性环节对数幅频特性互为倒数。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性STB、振荡环节振荡环节的对数幅频特性为4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST对于非最小相位振荡环节与振荡环节的对数幅频
14、渐进特性曲线相同，二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐进特性曲线关于0dB线对称。注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常用的半对数坐标系中的直线方程为：4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST七、延迟环节和延迟系统延时环节:输出量经恒延时后不失真地复现输入量变化的环节。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST八、传递函数的频域实验确定可以运用频率响应实验确定稳定系统的数学模型。（1）频率响应实验（2）传递函数确定从低频段起，将实验所得的对数幅频曲线用斜率为0dB/dec,+/-dB/dec,+/-dB/dec,.等直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线。下
15、面举例说明其方法和步骤。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST例某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线如图所示，试确定其传递函数。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST解：1）确定系统积分或微分环节的个数。由于对数幅频特性低频渐近线的斜率为-20vdB/dec，而图5-27中低频渐近线的斜率为+20dB/dec，故有v=-1，系统含有一个微分环节。2）确定系统传递函数表达式。由于对数幅频特性渐近线为分段折线，其转折点分别对应系统所含典型环节的交接频率，每个交接频率处的斜率变化决定了典型环节的种类。图中在处，斜率变化为-20dB/dec，对应惯性环节；在处，斜率变化为-4
16、0dB/dec，且存在谐振，对应振荡环节。4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST4.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性ST本课时结束4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST幅相频率特性曲线的绘制幅相频率特性曲线的绘制开环幅相曲线可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。这里着重介绍结合工程需要，绘制概略开环幅相曲线的方法。一、反映开环频率特性的三个重要因素：4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST二、举例例1某0型单位负反馈系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解：由于惯性环节的角度变化为0-90，故该系统开环幅相曲线中：4.3开环频率特性的绘制开环频率特性
17、的绘制ST起点为：终点为：系统开环频率特性：4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST例2设系统开环传递函数为：试绘制系统概略开环幅相曲线。解：系统开环频率特性4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST系统开环幅相曲线如下张图中曲线所示，图中虚线为开环幅相曲线的低频渐近线。本例中系统型次即开环传递函数中积分环节个数v=1，若v分别取2、3和4，则根据积分环节的相角，可将图中曲线分别绕原点旋转-90，-180和-270，即可得开环概略幅相曲线，系统开环
18、幅相曲线如下图：4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST例3已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解：系统开环频率特性为4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST变化范围：T1T2/(T1+T2)时，开环幅相曲线位于第象限或第与第象限，T1T2/(T1+T2)时，开环幅相曲线位于第象限与第象限。开环概略幅相曲线如图所示。4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST例4已知系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解系统开环频率特性为4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST起点：终点：与实轴的交点：4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST因为()从
19、-90单调减至-270，故幅相曲线在第第象限与第象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST例5设系统开环传递函数为试绘制系统开环概略幅相曲线。解系统开环频率特性为4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST开环幅相曲线的起点：终点：由开环频率特性表达式知G(j)H(j)的虚部不为零，故与实轴无交点。4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST总结：绘制开环概略幅相曲线的规律：总结：绘制开环概略幅相曲线的规律：（1）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K和系统积分或微分环节的个数V（系统型别）（2）开环幅相
20、曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST（3）若开环系统存在等幅振荡环节，重数为正整数，即开环传递函具有下述形式4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST43.2对数频率特性曲线的绘制对数频率特性曲线的绘制一、绘制方法系统开环传递函数作典型环节分解后，先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法即可方便地绘制系统开环对数频率特性曲线。这里着重介绍开环对数幅频渐近特性曲线的绘制方法。1）开环传递函数典型环节分解；2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的轴上；4.3
21、开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST注意：注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。以-20vdB/dec的低频渐近线为起始直线，按交接频率由小到大顺序和由表确定斜率变化，再逐一绘制直线。4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST二、举例说明例1已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数频率特性曲线。解：开环传递函数的典型环节分解形式为4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST1）确定各
22、交接频率及斜率变化值非最小相位一阶微分环节：2=2，斜率增加20dB/dec惯性环节：1=1，斜率减少20dB/dec振荡环节：3=20，斜率减少40dB/dec最小交接频率min=1=1。2）绘制低频段(min)渐近特性曲线。因为v=2，则低频渐近线斜率k=-40dB/dec，按方法二得直线上一点(0,La(0)=(1,20dB).4.3开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制ST具体计算相角时应注意判别象限。例如在本例中本节结束4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4.1奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)稳定判据稳定判据一、奈氏判据的数学基础1、辐角原理设s为复数变量，F(s)为s的有理分式函数，
23、且有由复变函数理论知道，在s平面上任选一条闭合曲线，且不通过F（s）的任一零点和极点，s从闭合曲线上任一点A起，顺时针沿运动一周，再回到A点，则对应F(s)的平面上亦从F(a)点起，到F(a)点止形成一条闭合曲线F。4.4稳定性判据稳定性判据ST复变函数的相角为若s平面上闭合曲线以顺时针方向包围的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线F将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。若s平面上的闭合曲线以顺时针方向围绕着的P个极点旋转一周，则其在平面上的映射曲线F将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。见下张图示。4.4稳定性判据稳定性判据ST由此可得幅角原理：设s平面闭合曲线包围的Z个零点和P个极点，则s
24、沿顺时针运动一周时，在F(s)平面上，闭合曲线F包围原点的圈数为：R=PZ，R0分别表示F顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R=0表示不包围平面的原点。4.4稳定性判据稳定性判据ST2、复变函数的选择F(s)具有以下特点：（1）F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开环传递函数的极点；（2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故F(s)的零点和极点数相同；（3）s沿闭合曲线运动一周所产生的两条闭合曲线F和GH只相差常数1，即闭合曲线F可由GH沿实轴正方向平移一个单位长度获得。4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST3、s平面
25、闭合曲线的选择系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点，即F(s)的零点的位置，因此当选择s平面闭合曲线包围s平面的右半平面时，若Z=0，即闭环特征根均位于左半s平面，则闭环系统稳定。考虑到前述闭合曲线应不通过F(s)的零点和极点的要求，可取下图所示的两种形式4.4稳定性判据稳定性判据ST当G(s)H(s)在虚轴上有极点时，可选择以虚轴极点为圆心，半径无穷小的半圆避开虚轴极点，在图a所选闭合曲线的基础上加以扩展，构成图b所示的闭合曲线。4.4稳定性判据稳定性判据ST按上述曲线，F(s)函数位于s右半平面的极点数即G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P应不包括G(s)H(s)位于s平面虚轴上
26、的极点数。4.4稳定性判据稳定性判据ST4、G(s)H(s)闭合曲线的绘制1）若G(s)H(s)无虚轴上极点4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST上述分析表明，半闭合曲线GH由开环幅相曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大半径的虚线圆弧两部分组成。4.4稳定性判据稳定性判据ST5、闭合曲线F包围原点圈数R的计算根据半闭合曲线GH可获得F包围原点的圈数R。设N为GH穿越(-1,j0)点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越的次数和（从上向下穿越），N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则R=2N=-2(N+-N)在图中，虚线为按系统型次V或等幅振荡环节数V1补作的圆弧，点A，B为
27、奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负4.4稳定性判据稳定性判据ST实轴上(-,-1)段的方向，分别有：（图a）N-=1,N+=0,R=-2N_=-24.4稳定性判据稳定性判据ST二、奈奎斯特稳定判据奈氏判据反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线GH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。由幅角原理可知，闭合曲线包围函数F(s)=1+G(s)H(s)的零点数即反馈控制系统正实部极点数为Z=P-R=P-2N当PR时，Z0，系统闭环不稳定。当半闭合曲线GH穿过(-1,j0)点时，系统可能临界稳定。4.4稳定性判据稳定性判据ST例8已知单位反馈
28、系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解:如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为1,2,3，4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST对应地，分别取0KK1,K1KK2,K2KK3时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按V补作虚圆弧得半闭合曲线G.4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST例：系统的开环传递函数为试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。4.4稳定性判据稳定性判据ST系统开环系统幅频和相频特性的表达式分别为4.4稳定性判据稳定性判据ST由于系统的P=1，当由-+变化时,G（j）曲线如按逆时针方向围绕(-1,j
29、0)点旋转1周，即R=1，则Z=P-R0，表示闭环系统是稳定的。显然，系统稳定时T0且K1。4.4稳定性判据稳定性判据ST例某反馈控制系统的开环传递函数为其中K0,T0。试判别该闭环系统的稳定性。解：由于该系统为型系统，它在坐标原点处有一个开环极点。该图逆时针围绕原点的半径为的半圆，在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的半圆,它与乃氏曲线G（j）H(j)相连接后的闭合曲线如下图所示。4.4稳定性判据稳定性判据ST由图可见，R0,而开环系统P0,因而Z0，即闭环系统是稳定的。4.4稳定性判据稳定性判据ST例：已知系统的开环传递函数为试用乃氏稳定判据判别该闭环系统的稳定性。解：由于开环传递函数在坐
30、标原点处有重极点，由上述的讨论可知，逆时针围绕原点的半径为的半圆在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的圆，它与乃氏曲线G(j)H(j)相连接后的闭合曲线如下张图所示。4.4稳定性判据稳定性判据ST由图可见，不论K值的大小如何，乃氏曲线总是以顺时针方向围绕点（-1，j0）旋转两周，即R-2。由于开环系统P0，所以Z2，表示该闭环系统总是不稳定的,且其在s的右半平面上有2个极点。4.4稳定性判据稳定性判据ST例已知系统的开环传递函数为试分析T和T和T二种情况下的曲线，如下图所示。由于P0，当T时，G(j)H(j)曲线以顺时针方向包围点（-1，j0）旋转二周，这意味着有两个闭环极点位于s的右半平面上
31、，该闭环系统不稳定。4.4稳定性判据稳定性判据ST例系统开环传递函数有2个正实部极点，开环乃氏图如下图所示，试问闭环系统是否稳定？解：P2，由0-时，由乃氏图知N+2，N1，R2N2（N+N_）2。则ZPR0，闭环系统稳定。本节课结束4.4稳定性判据稳定性判据ST三、对数频率稳定判据1）对数频率稳定判据可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的GH曲线确定穿越次数N或N+和N-。开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。N的确定取决于A()1时GH穿越负实轴的次数，建立如下对应关系：4.4稳定性判据稳定性判据ST（1）穿越点确定对于复平面的负
32、实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率时(x)=(2k+1),k0,+/-1,.设半对数坐标下GH的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为L和，由于L等于曲线()，则GH在A()1时，穿越负实轴的点等于GH在半对数坐标下，对数幅频特性L()0时对数相频特性曲线与(2k+1),k=0,+/-1,L，平行线的交点。4.4稳定性判据稳定性判据ST（2）确定1）开环系统无虚轴上极点时，等于()曲线。4.4稳定性判据稳定性判据ST对应地，需从对数相频特性曲线(n-)点起向上补作V1*180的虚直线至(n)处，()曲线和补作的虚直线构成。（3）穿越次数计算正穿越一次：GH由上向下穿越（1，J0）点左侧的负实
33、轴一次，等价于在L（）0时，由下向上穿越（2K1）线一次。负穿越一次：GH由下向上穿越（1，J0）点左侧的负实轴一次，等价于在L（）0时，由上向下穿越2K1）线一次。4.4稳定性判据稳定性判据ST正穿越半次：GH由上向下止于或由上向下起于（1，J0）点左侧的负实轴，等价于在L（）0时，由下向上止于或由下向上起于（2K1）线。负穿越半次：GH由下向上止于或由上向下起于（1，J0）点左侧的负实轴，等价于在L（）0时，由上向下止于或由下向上起于（2K1）线。注意：补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越。对数频率稳定判据设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是（c）（2K1）,k=0
34、,1,2,L和L（）0时，曲线穿越（2K1）线的次数4.4稳定性判据稳定性判据ST满足Z=p-2N=0对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在于前者在L（）0的频率范围内依曲线确定穿越次数N。4.4稳定性判据稳定性判据ST2）例10已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。解：系统开环对数频率特性曲线如图所示，然而相角具有不惟一性，图中（a）和（b）为其中的两种形式。因为开环系统稳定，P=。由开环幅相曲线知V=0，不需补作虚直线。4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST例11已知开环系
35、统型次V3，p=0，开环对数相频特性曲线如图所示，图中L(c)，试确定闭环不稳定极点的个数。解因为V3，需在低频处由()曲线向上补作270的虚直线于180，如图所示。知N_=1.5,N+=0，按对数稳定判据Z=P-2N=3,故闭环不稳定极点的个数为3。4.4稳定性判据稳定性判据ST例:利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。由于开环系统稳定，即P0，因而该闭环系统稳定的充要条件是：在L()0dB的频域内，相频特性()不穿越180线，或正、负穿越数之差为零。由图可见在L()0的频域内()总大于180，故闭环系统是稳定的。4.4稳定性判据稳定
36、性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST例利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。该系统开环传递函数含有2个积分环节,且由00+时,()由0-180，用虚线绘出相频特性的增补部分。由图知L()0dB的频段上,N+0，N-1，R2，而P0，则Z2，闭环系统不稳定。4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据ST四、条件稳定系统通过前面例子分析可知，若开环传递函数在开右半s平面的极点数P0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统，称为条件稳定系统。相应地，无论开环传递函数的
37、系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统本节课结束本节课结束4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4.2控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性控制系统参数的变化，可能会引起系统由稳定变为不稳定。为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量，即具有一定的相对稳定性。对于开环稳定的系统，度量其闭环系统相对稳定性的方法是通过开环频率特性曲线G(j)H（j）与点（-1，j0）的接近程度来表征。开环乃氏图离点（-1，j0）越远，稳定裕度越大。一般采用相位裕度和幅值裕度来定量地表示相对稳定性。4.4稳定性判据稳定性判据ST一、相角裕度和幅值裕度的概念1相角裕度
38、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为幅值穿越频率或截止频率，记为，即：定义相位裕度：相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。4.4稳定性判据稳定性判据ST2幅值裕度系统开环频率特性上相位等于-180时所对应的角频率称为相位穿越频率，记为x，即：定义幅值裕度为：幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态，4.4稳定性判据稳定性判据ST复平面中和h的表示如下张图所示。对数坐标下，幅值裕度按下式定义：4.4稳定性判据稳定性判据ST4.4稳定性判据稳定性判据STK=10时，分别作出K=4和
39、K=10的开环幅相曲线即闭合曲线G，如图所示。4.4稳定性判据稳定性判据ST由奈氏判据知：K=4时，系统闭环稳定，h1,0；K=10时，系统闭环不稳定，h1,b而频率范围（0，b）称为系统带宽。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST根据带宽定义，对高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈现较大的衰减，因此选取适当的带宽，可以抑制高频噪声的影响。但带宽过窄又会影响系统正弦输入信号的能力，降低瞬态响应的速度。因此在设计系统时，对于频率宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。2、I型和II型系统的带宽4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特
40、性与性能指标开环频率特性与性能指标ST二、系统带宽的选择由于系统会受多种非线性因素的影响，系统的输入和输出端不可避免的存在确定性扰动和随机噪声，因此控制系统的带宽的选择需综合考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的影响，即应使系统对输入信号具有良好的跟踪能力和对扰动信号具有较强的抑制能力。总而言之，系统的分析应区分输入信号的性质、位置，根据其频谱或谱密度以及相应的传递函数选择合适带宽，而系统设计主要是围绕带宽来进行的。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST四、闭环系统频域指标和时域指标的转换工程中常用根据相角裕度和截止频率估算时域指标的两种方法。相角裕度表明系统的稳定程度，而
41、系统的稳定程度直接影响时域指标%、ts。1、系统闭环和开环频域指标的关系系统开环指标截止频率c与闭环带宽b有着密切的关系。对于两个稳定程度相仿的系统，c大的系统，b也大；c小的系统，b也小。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST因此c和系统响应速度存在正比关系，c可用来衡量系统的响应速度。又由于闭环振荡性指标谐振Mr和开环指标相角裕度都能表征系统的稳定程度。系统开环相频特性可表示为4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST2、开环频域指标和时域指标的关系典型二阶系统开环传递函数为4.5开环频率特性与性能指标开环频
42、率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST例2已知一单位反馈系统，其开环传函为试用奈氏判据判定系统稳定性解：系统频率特性为：4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST当K1时，奈氏曲线逆时针包围点（1，j0）半圈，开环传递函数右半平面有一个极点。根据奈氏判据P=1N=1/2,Z=P2N,系统稳定。当K1时，奈氏曲线逆时针不包围点（1，j0），但有一个极点，系统不稳定。奈氏曲线如下。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST例3某最小
43、相角系统的开环对数幅频特性如图所示。要求：（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相位裕量判断系统稳定；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST解：（1）由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST（2）系统开环对数幅频特性为从而解得c=1，系统开环对数相频特性为故系统稳定。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST（3）将系统开环对数幅频特性向右平移十倍程，可得系统新的开环传递函数其截止频率c1=10c=10，而4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST系统的稳定性不变由时域估计指标公式ts=K/c得ts1=0.1ts即调节时间缩短，系统动态响应加快。由即系统超调量不变。得4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST例4已知单位反馈系统得开环频率特性如下图（a）、（b）所示，图（a）中，A点对应的频率=2rad/s，a为大于零的常数，求1，2，3及闭环系统的阻尼比和无阻尼自然振荡频率。4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST4.5开环频率特性与性能指标开环频率特性与性能指标ST本节课结束本节课结束