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1、第第6 6章章 刚体动力学刚体动力学猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一.力矩力矩二二.刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律三三.转动惯量转动惯量定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布O .四四.平行轴定理及平行轴定理及垂直
2、轴定理垂直轴定理zLCMz1.平行轴定理平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离例例 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量ML2.(薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理 例如例如求对圆盘的一条直径的转动惯量求对圆盘的一条直径的转动惯量已知已知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板。薄板。zxy求空心圆柱绕中心轴的求空心圆柱绕中心轴的转动惯量转动惯量例例1解解 为两个实心圆柱绕中心轴的为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值转动惯量的差值圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为圆盘绕中心轴
3、旋转的转动惯量为实心圆柱绕中心轴的实心圆柱绕中心轴的转动惯量为转动惯量为空心圆柱绕中心轴的空心圆柱绕中心轴的转动惯量为转动惯量为 zR1R2lm求均匀的薄球壳绕直径的求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量转动惯量 例例2解解R切为许多垂直于轴的切为许多垂直于轴的圆环圆环zmr从半径为从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该的小圆盘，该系系统的质量为统的质量为m,两圆盘中心两圆盘中心O 和和O相距为相距为d，且，且(d+r)R d O ORr挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面,且过中心轴的且过中心轴的转动惯量转动惯量 例例3解解求求使
4、用补偿法使用补偿法则填满后的总质量为则填满后的总质量为m+m/设小圆盘的质量为设小圆盘的质量为m/m(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别五五.转动定律的应用举例转动定律的应用举例例例1求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，(见图见图)例例 2 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系
5、统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量，现有一水平力作用于距轴为，现有一水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解例例3求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R例例4 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均
6、匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动。面内转动。初始时它在水平位置，求它由此下摆初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的角时的 ，以及棒受轴的力。以及棒受轴的力。Olm Cx解：解：下摆过程中，下摆过程中，？取质元取质元 重力对整棒的合力矩等于重力重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。全部集中于质心所产生的力矩。dm 由转动定律：由转动定律：法向加速度法向加速度（natural acceleration)：切向加速度切向加速度 (tangential acceleration)：Olm Cxdm6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一.
7、转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取二二.力矩的功力矩的功O 功的定义功的定义力矩作功的力矩作功的微分形式微分形式对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式 ）力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P三三.转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限
8、过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立图示装置可用
9、来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用时间为t，例例1解解 分析（机械能）：分析（机械能）：求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。处的摩擦力矩忽略不计。若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？机械能守恒机械能守恒例例2 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx