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1、YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念一、偏导数的定义一、偏导数的定义YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。只要把只
2、要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解：解：YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念
3、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。偏导数存在偏导数存在 连续连续.YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念几何意义几何意义:YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念二、全微分的定义二、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函
4、数微分学中增量与微分的关系得YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全增量的概念全增量的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全微分的定义全微分的定义YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念事实上事实上YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念即即YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证总成立总成立,同理可得同理可得YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念一元函数在某点的导
5、数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，微分存在微分存在全微分存在全微分存在YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念则则说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念同理同理YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念
6、偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解(2,1)处的全微处的全微分分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概
7、念例例5.解：解：YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解所求全微分所求全微分YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证 （1）令令YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念总结：总结：YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念练习练习YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全
8、微分的概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念三、高阶偏导数与高阶全微分三、高阶偏导数与高阶全微分纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念问题问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？定理定理3证明：证明：作辅助函数作辅助函数YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念于是有于是有证毕。证毕。YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解