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1、8.2 偏 导 数,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.,偏导数的定义,设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限,存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的定义,偏导数的符号,如果函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作,偏导函数,一、偏导数的定义及
2、其计算法,偏导数的定义,偏导数的符号,偏导函数,偏导函数的符号,偏导函数,偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如 三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为,其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点,偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.,偏导函数,讨论 下列求偏导数的方法是否正确？,例1 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数.,解,例2 求zx2sin2y的偏导数.,解,解,证,例3,例4,证,本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.,例5 已知理
3、想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证,偏导数的几何意义,fx(x0, y0)= f(x, y0)x,fy(x0, y0)= f(x0, y)y,z=f(x, y0),z=f(x0, y),是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率.,是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率.,偏导数的几何意义,偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如,但函数在点(0, 0)并不连续.,在点(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0,提示：,提示：,当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有,因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续,二、高阶偏导数,二阶偏导数,如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个:,其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.,类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.,解,此例中两个混合偏导数是相等的.,解,证,例7,证,例8,提示,证,例8,