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1、第二节 偏导数偏导数的概念高阶偏导数一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的将振幅定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义
2、二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1 求函数解 把y看成常量，对x求导数得例例2.求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处的偏导数.例例3.设证证:例例4.求的偏导数.解解:求证例例5 求函数求函数 在点在点(1,2)处的处的偏导数偏导数解解 先求偏导数先求偏导数例例6 设设解解 如果先求对如果先求对x的偏导数，计算比较复杂，的偏导数，计算比较复杂，但是若是先把函数中的但是若是先把函数
3、中的y固定在固定在y=0,则有则有例例7 在由在由 组成的一个并联电路中，若组成的一个并联电路中，若 问改变哪一个电阻，才能使总电阻问改变哪一个电阻，才能使总电阻R的变化更大？的变化更大？解 因 并联，所以 偏导数记号是一个例例8.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z
4、=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为例例9 设设 ,求其二阶偏导数求其二阶偏导数解解 定理定理 如果函数如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏导数在区域导数在区域D内连续，则在区域内连续，则在区域 D内有内有 例例10解解例例11 证明证明 满足热传导满足热传导方程方程 其中其中a为正常数为正常数,b为任意常数为任意常数证明证明 因为因为例例12.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 例如例如,二者不等例例13.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),
5、说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5P73 题 5,6即 xy0 时,P73 题6(1)(2)备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解: