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1、第四章第四章 习题课习题课一一 齐次线性方程组齐次线性方程组二二 非齐次线性方程组非齐次线性方程组三三 方程组的应用方程组的应用CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组一一一一 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组(2)Ax=02解的判别解的判别:(1)(1)齐次线性方程组一定有解齐次线性方程组一定有解齐次线性方程组一定有解齐次线性方程组一定有解,即即即即零解零解;(2)(2)齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解线性相关线性相关线性相关线性相关(3)(3)齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解线性
2、无关线性无关线性无关线性无关1 1 三种形式三种形式:m个方程个方程,n个未知量个未知量 1,2,n是是A的列向量的列向量CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是().(a)系数矩阵系数矩阵A的行向量组线性相关的行向量组线性相关;(b)系数矩阵系数矩阵A的任意两个列向量线性相关的任意两个列向量线性相关;(c)系数矩阵系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合中必有一个列向量是其余列向量的线性组合;(d)系数矩阵系数矩阵A的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合.
3、例例齐次线性方程组齐次线性方程组A35 x=0一定有一定有()成立成立.(a)仅仅有唯一解有唯一解;(b)有无穷多个解有无穷多个解;(c)无解无解.cbCH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组3解的性解的性质质也是解也是解;(1)若若是是齐齐次次线线性方程性方程组组Ax=0的解的解,则则也是解也是解.(2)若若是是齐齐次次线线性方程性方程组组Ax=0的解的解,则对则对4 解的结构解的结构是解空是解空间间N(A)的一的一组组基基,即即Ax=0的的基基础础解系解系,则则方程方程组组的的通解通解x可表示可表示为为:注注:(1)解空解空间间的的维维数数=基基础础解系所含向量的个数解系所含向量的
4、个数 =n-R(A)(2)基基础础解系不唯一解系不唯一,任意任意n-R(A)个个线线性无关性无关的解的解都是基都是基础础解系解系.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例设设是是是是AxAx=0=0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系,则则则则也是基础解系也是基础解系也是基础解系也是基础解系.证明证明证明证明:(1):(1)容易证明容易证明容易证明容易证明:是是是是解解.(2)(2)定义法证明定义法证明定义法证明定义法证明线性无关线性无关.(3)(3)含有三个向量含有三个向量含有三个向量含有三个向量.证毕证毕证毕证毕.例例设设A是是n阶方阵阶方阵,|A|=0，A中有一个代数余子
5、式中有一个代数余子式Aij0，则，则Ax=0的基础解系所含向量的个数为的基础解系所含向量的个数为_.解解解解:因为因为因为因为|A|=0,R(A)n.又因为又因为Aij0,R(A)n-1.所以所以,R(A)=n-1,从而从而Ax=0的基础解系所含向量的的基础解系所含向量的个数为个数为n-R(A)=1.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组5 5 求通解求通解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为施行初等行变换化为行最简矩阵行最简矩阵；由行最简矩阵写出对应的由行最简矩阵写出对应的同解方程组同解方程组；令同解方程组中的自由未知量令同解方程组中的自由未知量(xr+1,xr+2,xn)T
6、分别为分别为(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T,即得即得原方程组的基础解系原方程组的基础解系:1,2,n-r，从而得出原方程组的通解，从而得出原方程组的通解:k1 1+k2 2+kn-r n-r(k1,k2,kn-rR)(2)具体具体方程组利用方程组利用初等行变换初等行变换.一般步骤为：一般步骤为：(1)(1)抽象抽象方程组利用方程组利用方程组利用方程组利用解的结构解的结构求解求解求解求解.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例设设n阶方阵阶方阵A的各行元素之和均为零的各行元素之和均为零,且且R(A)=n-1，则则Ax=0的通解为的通解为_.解解:因为因为因为因
7、为R(A)=n-1,基础解系所含向量的个数为基础解系所含向量的个数为1个个,所以只需找所以只需找一个非零解一个非零解即可即可.由条件由条件由条件由条件,A的各行元素之和均为零的各行元素之和均为零,即即所以所以所以所以,(1,(1，1 1，,1),1)T是是Ax=0的非零解的非零解,即为基础解系即为基础解系.通解为通解为k(1(1，1 1，,1),1)T,k为任意常数为任意常数.一个非零向量一个非零向量一个非零向量一个非零向量线性无关线性无关线性无关线性无关CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例求通解求通解作业作业作业作业CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组二二非非齐齐
8、次次线线性方程性方程组组2解的性解的性质质1三种形式三种形式:Ax=b 1,2,n是是A的列向量的列向量(2)若若是是齐齐次方程次方程组组Ax=0的解的解,是非是非齐齐次方程次方程组组Ax=b的的解解,则则仍是方程仍是方程组组Ax=b的解的解.(1)若若都是方程都是方程组组Ax=b的解的解,则则是方程是方程组组Ax=0 的解的解;CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组(1)(1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解有解向量向量向量向量b能能由由A的的列列向量组向量组 1，2，n线性表示线性表示(2)(2)非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组
9、非齐次线性方程组无解无解向量向量向量向量b不能不能由由A的的列列向量组向量组 1，2，n线性表示线性表示(4)Ax=b有有无穷多解无穷多解 R(A)=R(A,b)nR(A)=R(A,b)=n(3)Ax=b有有唯一解唯一解3解的判别解的判别CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例设设A为为mn型矩阵型矩阵,且且mn,若若A的行向量组线性无关的行向量组线性无关,则则()(a)方程组方程组Ax=b仅仅有唯一解有唯一解;(b)方程组方程组Ax=b有无穷多个解有无穷多个解;(c)方程组方程组Ax=b无解无解;(d)方程组方程组Ax=0仅仅有零解有零解.b有解的充要条件是有解的充要条件是例例证
10、证明方程明方程组组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx0aaaaa54321 解：解：54321a10001a11000a01100a00110a00011),A(r r 41ii5rr 51ii4321a00000a11000a01100a00110a00011原方程原方程组组有解的充要条件是：有解的充要条件是：即即0aaaaa54321 )A(R),A(R r rCH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组5求通解求通解(2)(2)对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵；施行初等行变换化为行最简矩阵；(3)(3)由行最简矩阵写出同解方程组；由行最简
11、矩阵写出同解方程组；(4)(4)求出同解方程组的通解（求同解方程组的特解与对应的齐求出同解方程组的通解（求同解方程组的特解与对应的齐 次方程组的基础解系），从而得出原方程组的通解。次方程组的基础解系），从而得出原方程组的通解。(1)(1)对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观察察R(A)=R(B)，？若若R(A)R(B)，则方程组无解，解题完毕；，则方程组无解，解题完毕；若若R(A)=R(B)，转向，转向2）步；）步；设设*是是Ax=b的一个解的一个解,xc是是Ax=0的通解的通解,则则 Ax=b的通解的通解x可表成可表成:4解的结构
12、解的结构(2)具体具体方程组利用方程组利用初等行变换初等行变换.一般步骤为：一般步骤为：(1)(1)抽象抽象方程组利用方程组利用方程组利用方程组利用解的结构解的结构求解求解求解求解.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组当当当当，方程组有唯一解。，方程组有唯一解。，方程组有唯一解。，方程组有唯一解。解解解解 由于系数矩阵是方阵由于系数矩阵是方阵由于系数矩阵是方阵由于系数矩阵是方阵,可用可用可用可用克拉默法则克拉默法则克拉默法则克拉默法则加以讨论加以讨论加以讨论加以讨论.其系其系其系其系数矩阵行列式为数矩阵行列式为数矩阵行列式为数矩阵行列式为 CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组
13、组组组当当当当a=a=0 0时时时时所以所以所以所以,R R(A A)=2,)=2,R R(B B)=3,)=3,方程组方程组方程组方程组无解无解无解无解.当当当当a=a=2 2时时时时所以所以所以所以,R R(A A)=)=R R(B B)=23,)=23,方程组有方程组有方程组有方程组有无穷多解无穷多解无穷多解无穷多解.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组例例已知已知 1，2是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，的两个不同的解，1，2是其对应的齐次线性是其对应的齐次线性方程组方程组Ax=0的基础解系，的基础解系，k1,k2为任意常为任意常数，则方程组数，则
14、方程组Ax=b的通解必为的通解必为().bCH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组因因因因为为为为R(A)=3,所以所以AxAx=0=0的基的基的基的基础础础础解系含解系含解系含解系含(4(43)3)个解向量个解向量.所以只需求出所以只需求出所以只需求出所以只需求出AxAx=0=0的一个非零解即可的一个非零解即可的一个非零解即可的一个非零解即可.例例设设A是是4阶阶方方阵阵,且且R(A)=3.设设是是Ax=b的三个解向量，且的三个解向量，且求求Ax=b的通解的通解.解解解解第一步第一步第一步第一步:求求求求AxAx=0=0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系.即为基础解系即为基础解
15、系即为基础解系即为基础解系.第二步第二步第二步第二步:求求求求AxAx=b b的一个解的一个解的一个解的一个解.由条件由条件由条件由条件,取取取取 1 1 即可即可即可即可.k为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组由由b a1 a2 a3 a4知知 (1 1 1 1)T是方程是方程Ax b的一个解的一个解 例例设设矩矩阵阵A(a1 a2 a3 a4)其中其中a2 a3 a4线线性无关性无关 a1 2a2 a3 向量向量b a1 a2 a3 a4 求方程求方程组组Ax b的通解的通解 因此因此 (1 2 1 0)T是方程是方程Ax 0的基的基础础
16、解系解系 通解通解为为:x k(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T k R 由由a2 a3 a4线线性无关性无关,a1可由可由a2和和a3线线性表示性表示,知知R(A)3 故方程故方程Ax b所所对应对应的的齐齐次方程次方程Ax 0的基的基础础解系中含一个解向量解系中含一个解向量 第二步第二步第二步第二步:求求求求AxAx=0=0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系.解解：第一步第一步第一步第一步:求求求求AxAx=b b的一个解的一个解的一个解的一个解.由由a1 2a2 a3得得a1 2a2 a3 0 知知 (1 2 1 0)T是是Ax 0的一个的一个解解 CH4 线线线线性方程性方
17、程性方程性方程组组组组解解:(1)为为非非齐齐次次线线性方程性方程组组的解向量的解向量QQ,3 2 1 bxA 例例设设A为为4阶阶方方阵阵，R(A)=3,都是非都是非齐齐次次线线性方程性方程组组的解向量，其中的解向量，其中(1)求方程求方程组组对应对应的的齐齐次方程次方程组组的一个基的一个基础础解系；解系；(2)求非求非齐齐次方程次方程组组的通解的通解.,3 2 1 bxA bxA 0 xA bxA 5881,499132210)(A)(A)()(A32213221 bA,bA,bA321 b2AA)(A,b2AA)(A32322121 CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组又因又
18、因为为A为为4阶阶方方阵阵,R(A)=3,的解的解.为为即即0 xA)1,1,1,0()5,8,8,1()4,9,9,1()()(TTT3221 的基的基础础解系解系为为0 xA 所以所以的解空的解空间间是一是一维维的的,0 xA 1110(2),b2)(A21r rQQ b)2(A32 为为的解的解即即bxA T21)4,9,9,1(21)(21 因此由上及因此由上及(1)得非得非齐齐次次线线性方程性方程组组的通解的通解为为:1110k499121CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组我我们们首先首先对对增广矩增广矩阵进阵进行初等行行初等行变换变换,化化为为最最简简矩矩阵阵例例已知
19、向量已知向量(1)为为何何值时值时，不能表示不能表示为为的的线线性性组组合；合；(2)为为何何值时值时，可唯一的表示可唯一的表示为为的的线线性性组组合合.53b11,8a421,12a11,5311,32014321b,a 4321,4321,b,a 解解:原原题题可看作求可看作求,使使满满足足4321x,x,x,x 44332211xxxx 58a1533b42a321211011111)|(4321,三三三三 线性方程组的应用线性方程组的应用线性方程组的应用线性方程组的应用CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组 58a1533b42a321211011111)|(4321,不能表
20、示不能表示为为的的线线性性组组合。合。4321,r r(1)不能表示不能表示为为的的线线性性组组合合,4321,)|(R)(R 此此时时4321,4321,25a2201b2a101211011111 1413r3rr2r 01a000b01a001211011111 2423r2rrr无解无解即即 44332211xxxx 当当时满时满足，足，0b,1a 因此当因此当时时0b,1a CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组 01a000b01a001211011111可唯一的表示可唯一的表示为为的的线线性性组组合合.4321,有唯一解有唯一解,即即 44332211xxxx )=4.
21、|(R)(R 此此时时4321,4321,当当时满时满足，足，1a 因此当因此当为为任意任意值时值时,b,1a (2)可唯一的表示可唯一的表示为为的的线线性性组组合合,4321,CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组设设设设有两个平面有两个平面有两个平面有两个平面:两平面两平面两平面两平面间间间间的位置关系有下面三种情形的位置关系有下面三种情形的位置关系有下面三种情形的位置关系有下面三种情形:平行且不重合平行且不重合平行且不重合平行且不重合(1)(1)(2)(2)重合重合重合重合(3)(3)交于一条直交于一条直交于一条直交于一条直线线线线272728282929在几何中的应用在几何中
22、的应用在几何中的应用在几何中的应用线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组方程组方程组方程组方程组无解无解无解无解方程组方程组方程组方程组有无穷解有无穷解有无穷解有无穷解方程组方程组方程组方程组有无穷解有无穷解有无穷解有无穷解CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组 例例例例 讨论讨论讨论讨论三三三三张张张张平面平面平面平面【解解解解】这这这这三个平面的法向量两两互不平行三个平面的法向量两两互不平行三个平面的法向量两两互不平行三个平面的法向量两两互不平行,故故故故这这这这三个平面三个平面三个平面三个平面互不平行互不平行互不平行互不平行.考考考考查查查查三个平面方程所构成的方程三个平面方
23、程所构成的方程三个平面方程所构成的方程三个平面方程所构成的方程组组组组的解的情况的解的情况的解的情况的解的情况.由于由于由于由于这这这这三个平面互不平行知它三个平面互不平行知它三个平面互不平行知它三个平面互不平行知它们们们们两两相交于一条直两两相交于一条直两两相交于一条直两两相交于一条直线线线线当当当当时时时时,方程方程方程方程组组组组无解无解无解无解,三个平面没有公共交点，三个平面没有公共交点，三个平面没有公共交点，三个平面没有公共交点，当当当当时时时时,方程方程方程方程组组组组有无有无有无有无穷穷穷穷多解多解多解多解,其通解其通解其通解其通解为为为为：此此此此时时时时三平面交于一条直三平面交于一条直三平面交于一条直三平面交于一条直线线线线：当当当当时时时时,方程方程方程方程组组组组有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解,三平面相交于一点：三平面相交于一点：三平面相交于一点：三平面相交于一点：的位置关系的位置关系的位置关系的位置关系.CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组返回返回返回返回CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组返回返回返回返回CH4 线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组返回返回返回返回