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1、第八章 系统状态空间分析法内容n系统特征方程及解n关于系统可观性、可控性判别的n状态反馈极点配置n状态观测器的设计.1 系统状态方程的解n状态转移矩阵若状态方程是齐次的,即有:EX1a=0 1 0;0 0 1;-6-11-6;x0=1;1;1;t=0:0.1:10;for i=1:length(t)x(:,i)=expm(a*t(i)*x0;endplot3(x(1,:),x(2,:),x(3,:);grid on系统的特征方程、特征值及特征向量n特征方程：|sI-A|=0n特征值及特征向量：V，D=eig（A）特征向量矩阵特征值矩阵A*V=V*DEX2 已知控制系统求控制系统的特征方程A=2
2、 1-1;1 2-1;-1-1 2;I=1 0 0;0 1 0;0 0 1;syms s%符号计算det(s*I-A)s=solve(det(s*I-A)%求解ans=s3-6*s2+9*s-4s=4 1 1EX2 求控制系统的特征值及特征向量V=-0.4082 0.7071 0.5774 -0.4082 -0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.5774D=1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 4.0000V,D=eig(A)Veig=inv(V)*A*VVeig=1.0000 0 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0 4
3、.0000符号计算Symbolic Toolboxans=4 1 1eigensys(A)特征值及特征向量s=determ(s*I-A)s=s3-6*s2+9*s-4矩阵行列式的值EIGENSYS Obsolete Symbolic Toolbox function.V,D=EIGENSYS(A)is the same as V,D=eig(sym(A).2 传递矩阵GCsI-A-1B+DA=0 1;0-2;B=1 0;0 1;C=1 0;0 1;D=0;syms sI=1 0;0 1;G=C*inv(s*I-A)*BG=1/s,1/s/(s+2)0,1/(s+2).3 线性变换n状态方程的线
4、性变换 ss2ss(sys,T)EX3A=0-2;1-3;B=2 0;C=0 3;P=6 2;2 0;%变换矩阵变换矩阵x=PzP1=inv(P);A1=P1*A*P%z坐标系的模型坐标系的模型B1=P1*BC1=C*PA1=0 1 -2 -3B1=0 1C1=6 0The eigenvalues of system are unchanged by the linear transformation:(线性变换不改变系统的特征值）约当标准形ncanon(sys,model)ncanon(sys,companion)EX4利用特征值及范德蒙特矩阵求约当阵A=0 1 0;0 0 1;2-5 4;
5、V,D=eig(A)P=1 0 1;1 1 2;1 2 4P1=inv(P)；J=P1*A*PV=-0.5774 0.5774 -0.2182 -0.5774 0.5774 -0.4364 -0.5774 0.5774 -0.8729D=1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000P=1 0 1 1 1 2 1 2 4J=1 1 0 0 1 0 0 0 2符号计算Jo=jordan(A)Jo=2 0 0 0 1 1 0 0 1.4 系统的可控性和可观性MATLAB提供函数分别计算能控性矩阵和能观测性矩阵n可控性矩阵CO=ctrb(A,B)n可观测性矩阵OB=obsv(A,C
6、)可控性判定A=1 1 0;0 1 0;0 1 1;B=0 1;1 0;0 1;n=length(A)CO=ctrb(A,B);rCO=rank(CO);if rCO=n disp(System is controllable)elseif rCOn disp(System is uncontrollable)end n=3 CO=0 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 2 1 rCO=2 System is uncontrollable可观测性判定A=-3 1;1-3;B=1 1;1 1;C=1 1;1 1;D=0;n=length(A);OB=obsv(A,C);r
7、OB=rank(OB)if rOB=n disp(System is observable)elseif rOBn disp(System is unobservable)endOB=1 1 1 1 -2 -2 -2 -2rOB=1System is unobservable可控标准形若S为非奇异，逆矩阵存在，设为则，变换矩阵为PA=-2 2-1;0-2 0;1-4 0;B=0 1 1;n=length(A);CAM=ctrb(A,B);if det(CAM)=0 CAM1=inv(CAM);endP=CAM1(3,:);CAM1(3,:)*A;CAM1(3,:)*A*A;P1=inv(P);
8、A1=P*A*P1B1=P*B运行后运行后,可知系统的可控标准形矩阵对为可知系统的可控标准形矩阵对为:A1=0 1 0 0 0 1 -2 -5 -4B1=0 0 1可观测标准形则，变换矩阵为M=PT若V为非奇异，逆矩阵存在，设为.5 系统状态反馈与状态观测器利用反馈结构，研究在什么条件下能实现闭环系统极点的任意配置，以达到预期要求。状态反馈与状态观测器原理参见线性控制系统工程Module24，2524.1 The Structure of State Space Feedback Control（状态反馈控制的结构）1.State Variable Feedback Control Syste
9、mn the number of state variableIf the desired location of the closed-loop poles are ,the desired characteristic equation will be The eigenvalues of the closed-loop system will be given byWe can obtained ,to make the closed-loop poles to be located in desired position.The principle of designing a sta
10、te space controller 2.The sufficient and necessary condition of state feedback for closed-loop placement:(状态反馈实现极点配置的充要条件）The state variables of system are all controllable.极点配置:MATLAB直接用于系统极点配置计算的函数有acker和placeA,B为系统矩阵K=acker(A,B,P)P为期望极点向量K反馈增益向量nK=place(A,B,P)nK,prec,message=place(A,B,P)nPre为实际极点
11、偏离期望极点位置的误差nMessage是当系统某一非零极点偏离期望值位置大于10%时给出的警告信息.极点配置步骤:n(1)获得系统闭环的状态空间方程.n(2)根据系统性能要求,确定期望极点分布P.n(3)利用极点配置设计函数求取系统反馈增益K.n(4)检验系统性能.例:已知控制系统的系数矩阵为:A=-2-2.5-0.5;1 0 0;0 1 0,B=1 0 0,闭环系统的极点为S=-1,-2,-3,对其进行极点配置.n%极点配置nA=-2,-2.5,-0.5;1,0,0;0,1,0;nB=1,0,0;nP=-1,-2,-3;nK=acker(A,B,P)n%闭环系统矩阵nAc=A-B*Kn%验证
12、闭环系统的特征值neig(Ac)K=4.0000 8.5000 5.5000验证后发现配置结果正确,所以反馈控制器为K=4 8.5 5.5例:已知控制系统的传递函数为:判断系统的可控性并设计反馈控制器,使得闭环系统的极点为-2,-1 i,.n%判断系统的可控性nn1=10;d1=conv(conv(1,0,1 1),1,2);na,b,c,d=tf2ss(n1,d1);n=3;nCAM=ctrb(a,b);nif det(CAM)=0;n rcam=rank(CAM);nif rcam=n,n disp(系统可控)nelseif rcamn,n disp(系统不可控)nendnelseif d
13、et(CAM)=0,n disp(系统不可控)nEndn程序运行结果为:系统可控.n由于系统是可控的,所以可以任意配置系统的极点.n%极点配置nP=-2,-1+i,-1-i;nK=place(a,b,P);n%显示极点配置信息nK,Prec,Mes=place(a,b,P)n%绘制系统阶跃响应曲线nsys=ss(a-b*K,b,c,d);npoles=pole(sys);%求极点,验证nstep(sys/dcgain(sys),10);%t为10秒的阶跃响应nAxis(0,10,0,1.5)运行结果:nK=n 1.0000 4.0000 4.0000nPrec=n 15nMes=n由运算结果知
14、道,配置过程中没有出错和警告信息.由反馈系统的阶跃响应曲线可知,闭环系统的动态性能良好.n所以状态反馈控制器为:nK=1 4 425.1 Observer A model of the system under studyThe approach taken to solve the problem is as following:(1)To construct a model of the system under study;(2)Assume(subject to certain restrictions)that the computed state variables are goo
15、d approximations to the true state variables;(3)From these computed state variables,a suitable controller for the actual system may be constructed using the techniques described in Module 24.Where,x are assumed to be unmeasured directly.状态观测器设计To decrease the error ,(that is error ),we take to corre
16、ct to make well approach :Select the matrix K to make the solution of this equation on error be convergent(收敛的收敛的),then,The gain matrix K is written as:The closed-loop poles of this model(observer)can be selected by selecting the gain matrix K,so that the state variables will be same as in the end.H
17、ence,we can use as the state variables in the state variable feedback system.q The closed-loop system with observerBC A+uxyBC A+K-G-r+状态观测器状态反馈25.2 The sufficient and necessary condition of constructing a state variable observerThe state variables of system are all observable.Observability criterion
18、:A system A,C is state observable if and only if状态观测器设计一般原理归结为使用极点配置法求观测器的增益矩阵GA,C为系统矩阵G=acker(A,C,P)P为观测器的期望极点向量G为观测器增益向量nK=place(A,C,P)例:设系统的状态空间表达式为:n试设计一个状态观测器,使极点为-3,-4,-5.解:(1)判断系统的能观性.n首先检验系统是否完全能观,程序如下:nA=0,0,2;1,0,9;0,1,0;nB=3,2,1;C=0,0,1;nob=obsv(A,C);nroam=rank(ob);nif roam=nn disp(系统可观)n
19、elseif roam=nn disp(系统不可观)nend程序结果为:系统可观表示该系统是可观的,存在状态观测器.n(2)设计状态观测器.n使用MATLAB的acker()函数来设计状态观测器,程序如下:nP=-3,-4,-5;nA1=A;B1=C;nK=acker(A1,B1,P);nH=(K)nahc=A-H*C程序结果如下:nH=n 62n 56n 12nahc=n 0 0 -60n 1 0 -47n 0 1 -12n即系统的状态观测器为:已知离散控制系统如下:n采样周期为0.01秒,试设计状态观测器,使极点为0.1 0.1i.解:对于离散控制系统,函数acker和 place的调用方法基本相同.(1)判断系统的可观测性程序如下:n%判断系统的能观性nA=0,1;-2,-1;nB=0,1;C=1,1;D=0;nT=0.01;nsys=ss(A,B,C,D,T);nob=obsv(sys);nunob=length(A)-rank(ob);nif unob=0n disp(系统可观)nelseif roam=0n disp(系统不可观)nend运行结果为:系统可观n(2)设计状态观测器.n%极点配置nP=0.1+0.1*i;0.1-0.1*i;nA1=A;B1=C;nK=acker(A1,B1,P);nH=(K)nahc=A-H*C由运行结果可知:系统的状态观测器为:n总结