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1、第二节第二节 线性定常系统状态空线性定常系统状态空 间表达式的建立间表达式的建立系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数，系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此，一个因此，一个n 阶系统仅有阶系统仅有n 个状态变量可以选择个状态变量可以选择。D A B Cu(t)Y(t)X(t)获得状态空间表达式有三个途径：获得状态空间表达式有三个途径：由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。根据物理化学机理用解析的方法进行建立；根据物理化学机理用解析的方法进行建立；根据传递函数或高阶微分方程演化求得；根据传递函数或高阶微分方程演化求
2、得；由传递函数的实极点建立；由传递函数的实极点建立；一一、按系统的物理机理建立状态空间表达式、按系统的物理机理建立状态空间表达式 (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量确定系统的状态变量、输入变量、输出变量;(2)根据变量应遵循的物理、化学定理根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程运动规律的微分方程;(3)消去中间变量消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变得出状态变量的导数与各状态变量、输入变量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系;(4)将方程整理成状态方程、输出方
3、程的表准形式。将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。2 说明：说明：上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机来计算。合于用计算机来计算。1 步骤：步骤：状态变量的选择不是唯一的。状态变量的选择不是唯一的。按系统的物理机理建立状态空间按系统的物理机理建立状态空间表达式的表达式的例子例子1、R-L-C电网络系统电网络系统 解：以解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程作为中间变量，列写该回路的微分方程
4、选选 为系统两状态变量，则原方程可化成为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵方程：写成矩阵方程：基本思想基本思想：根据描述输入：根据描述输入-输出关系的微分方程或传递函数输出关系的微分方程或传递函数 建立其状态空间描述并化成几种标准形式。建立其状态空间描述并化成几种标准形式。二、根据系统微分方程和传递函数建立状态空间表达式二、根据系统微分方程和传递函数建立状态空间表达式1 输入函数中不含导数项，传递输入函数中不含导数项，传递 函数中没有零点函数中没有零点 若已知若已知 及及t0时的输入时的输入,则系统的行为就可则系统的行为就可唯一被确定。因此可选取唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1
5、)xn=y(n-1)作为状态变量作为状态变量,则微分方程可表示为则微分方程可表示为y=x 1系统的传递函数为：系统的传递函数为：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：形式形式1：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：状态方程为状态方程为:输出方程为输出方程为:系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范型型型型 若按下式选取如下状态变量若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x
6、2=y(1)/b0 xn=y(n-1)/b0,则微分方程可表示为则微分方程可表示为形式形式2：2 微分方程中包含输入函数导数项微分方程中包含输入函数导数项注意：方程中存在输入信号的导数项，有可能导致系统在状态空间方程中存在输入信号的导数项，有可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。因此，因此，X的选择要使状态方程的右边不出现的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将的导数项。通常将输入的导数项并入所选的状态变量中，输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出把状态变量取为输出y 和输入
7、和输入u 的各阶导数的适当组合。的各阶导数的适当组合。（1）能控规范型）能控规范型引入中间变量引入中间变量z，以，以u作为输入、作为输入、z作为输出的不含输入导数项作为输出的不含输入导数项的微分方程，即的微分方程，即(1-17)U(s)z(s)Y(s)定义如下一组状态变量定义如下一组状态变量(1-18)可得状态方程：可得状态方程：输出方程为输出方程为其向量其向量-矩阵形式为矩阵形式为式中它的状态方程与它的状态方程与传递函数中无零点的形式传递函数中无零点的形式2的状态方程相同，但输出方程的状态方程相同，但输出方程是不相同的。根据这个差别，就可以根据传递函数分子分母多项式的系是不相同的。根据这个差
8、别，就可以根据传递函数分子分母多项式的系数写出系统的状态空间表达式。数写出系统的状态空间表达式。（2）能观测规范型能观测规范型1.）选择状态变量）选择状态变量式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.整理整理(1)式得式得:令令:联立联立(2)式和式和(3)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：输出方程输出方程输出方程输出方程:状态方程状态方程状态方程状态方程:从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了2.）求）求思路思路:由式由式(1)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形式，的形式，
9、并代入原始微分方程式中并代入原始微分方程式中，根据，根据u及其各阶导数的系及其各阶导数的系数相等的原则求解：数相等的原则求解：由式由式(1)(2)可以得到下式可以得到下式：增加一个中间变量：增加一个中间变量：令令由式由式(5)和式和式(4)可求得：可求得：(6)将式将式(4)和式和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等代入原始微分方程式中，根据左右等式中式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到：为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成：按能控规范型的状态和输出方程：按能控规范型的状态和输出方程：按能观测规范型：按能观测规范型：状态方程和输出方程如下：
10、状态方程和输出方程如下：三三.约当标准型约当标准型(根据传递函数实数根据传递函数实数 极点建立状态空间描述极点建立状态空间描述)不失一般性，讨论不失一般性，讨论此系统：此系统：也有一个也有一个q重极点：重极点：分析：分析：分析：分析：既有互异极点：既有互异极点：实现方法：实现方法：实现方法：实现方法：整理得整理得（1 1）对于互异极点部分：）对于互异极点部分：）对于互异极点部分：）对于互异极点部分：令令拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用留数定理留数定理留数定理留数定理计算：计算：（2 2）对于重极点部分：）对于重极点部分：）对于重极点部分：
11、）对于重极点部分：令令则：则：联立上两式得：联立上两式得：拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：联立联立(1)、(2)、(4)可得：可得：由由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：可得状态空间描述为：约当块对角线阵xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1 1-q+1q+1-n n-1 1-1 1 c11 c12 c1qcq+1 cn约当标准型状态结构图约当标准型状态结构图例例已知系统的已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式试求状态式。解解:11/211/223ux3x2x1y四四 离散时间系统的状态空间描述离散时间系统的状态空间描述 完全离散的系统，其输入量
12、、中间传递的信号、输出量等都完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；是离散信息；局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化；离散化；为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。间隔的；
13、在采样间隔内，其变量均保持常值。由差分方程或脉冲传递函由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程数建立动态方程 经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单单输出系统入手研究。输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一线性定常离散系统差分方程的一般形式为：般形式为：式中式中 表示表示 时刻，时刻，为采样周期；为采样周期；为为 时刻的输出量，时刻的输出量，为时刻为时刻 的输入量；的输入量；是与系统特性有关的常系数。是与系统特性有关的常系数。(1
14、)对式对式(1)进行进行 变换，整理为变换，整理为 称为脉冲传递函数。显见式称为脉冲传递函数。显见式(2)与前面的式子在形式上是相与前面的式子在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。例如，引入中间变量用的。例如，引入中间变量 ，则有，则有(2)(3)初始条件为零时，离散函数的变换关系为初始条件为零时，离散函数的变换关系为:定义如下一组状态变量：定义如下一组状态变量：于是于是(4)(5)(6)利用利用 反变换关系反变换关系由式由式(4)式式(6)可得动态方程可得动态方程(8)(7)其矢量其矢量-矩阵形式为矩阵形
15、式为简记为简记为 式中式中 为友矩阵，为友矩阵，是可控标准形。由上式可见，离散是可控标准形。由上式可见，离散系统状态方程描述了系统状态方程描述了 时刻的状态与时刻的状态与 时刻的状态、时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了 时刻的输时刻的输出量与出量与 时刻的状态、输入量之间的关系。时刻的状态、输入量之间的关系。例例 离散系统的差分方程为离散系统的差分方程为试写出该离散系统的一个状态空间描述。解解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数：于是直接写出它的一个状态空间描述为于是直接写出它的一个状态空间描述为于是直接写出它的一个状态空间描述为于是直接
16、写出它的一个状态空间描述为这里这里 ，五五.由系统框图建立状态空间描述由系统框图建立状态空间描述例：例：例：例：系统框图如下：系统框图如下：关键：关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：等效变换如下：图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：择积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：写成矩阵形式：写成矩阵形式：系统系统状态空间描述的结构图绘制步骤：状态空间描述的结构图绘制步骤：画出所有积分器；画出所有积分器；积分器的个数等于状态
17、变量数，每个积分器的输出表积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；器；用箭头将这些元件连接起来。用箭头将这些元件连接起来。六六 状态变量图状态变量图系统方框图系统方框图模拟结构图模拟结构图状态空间表达式状态空间表达式 系统方框图模拟结构图的画图步骤系统方框图模拟结构图的画图步骤:1)根据系统方框图，在适当位置画出积分器根据系统方框图，在适当位置画出积分器(个数为状态变量个个数为状态变量个数数)，积分器的输出表示对应的状态变量；，积分器的输出表示对应的
18、状态变量；2）根据给定的状态方程和输出方程画出相应的加法器和比例器；）根据给定的状态方程和输出方程画出相应的加法器和比例器；3）用箭头线表示出信号的传递关系）用箭头线表示出信号的传递关系。模拟结构图：仅由积分器、放大器、综合器和信号连线组成的图。模拟结构图：仅由积分器、放大器、综合器和信号连线组成的图。根据模拟接线图中状态变量之间的连接关系列出状态空间表达式。根据模拟接线图中状态变量之间的连接关系列出状态空间表达式。常用符号常用符号常用符号常用符号：系统框图系统框图：系统框图：系统框图：系统框图：系统框图：注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个
19、积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器例例例例 画出一阶微分方程的状态结构图。画出一阶微分方程的状态结构图。画出一阶微分方程的状态结构图。画出一阶微分方程的状态结构图。状态结构图状态结构图微分方程：微分方程：系统系统系统系统第三节第三节 由状态空间求传递函数由状态空间求传递函数传递函数矩阵的引入：传递函数矩阵的引入：传递函数矩阵的引入：传递函数矩阵的引入：1）SISO系统，用传递函数系统，用传递函数G(s)描述，描述，W(s)是一个元素；是一个元素；2）MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵矩阵W(s)，W(s)是一个矩阵，可以表征多个
20、输入对系统是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；输出的影响；已知线性定常系统取拉氏变换设初始条件X(0)=0,则式中严真性真性 例例例例 求由求由 所表述系统的所表述系统的W(s)解解解解：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传递函数矩阵公式得：由传递函数矩阵公式得：求得：求得：求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：一一 线性定常系统的运动线性定常系统的运动1 1 1 1）自由运动）自由运动）自由运动）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即：线性定常系统在没有控制作用，即u u0 0时，时，由初始状态引起的运动称自由运动。由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：齐次状态方程
21、的解：齐次状态方程的解：齐次状态方程的解：2 2 2 2）强迫运动：）强迫运动：）强迫运动：）强迫运动：线性定常系统在控制线性定常系统在控制u u作用下的运动，称为作用下的运动，称为强迫运动。强迫运动。非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：第四节第四节 线性定常系统态方程的解线性定常系统态方程的解二、二、零输入响应零输入响应(自由运动的状态解）自由运动的状态解）仿照标量函数 的解为 x=eat x0 对A定义矩阵指数函数结论：线性定常系统零输入响应X(t)具有如下形式X(t)=e At X0=(t)X0，t0(t)又称为系统的状态转移矩阵。其中拉氏变换
22、法拉氏变换法状态转移矩阵的物理意义：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵 三三 状态转移矩阵的计算方法状态转移矩阵的计算方法 直接求解法：根据定义直接求解法：根据定义 拉氏反变换法拉氏反变换法 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 待定系数法：待定系数法：凯利哈密顿定理凯利哈密顿定理求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。求出的解不是解析形式，适
23、合于计算机求解。1 1、根据状态转移矩阵的定义求解：、根据状态转移矩阵的定义求解：对所有有限的对所有有限的t t值来说，这个无穷级数都是值来说，这个无穷级数都是收敛的收敛的 。2 2 用拉氏变换法求解：用拉氏变换法求解：关键是必须首先求出（关键是必须首先求出（sI-AsI-A）的逆，再进）的逆，再进行拉氏反变换。行拉氏反变换。例例例例：用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解求矩阵求矩阵A A的状态转移矩阵的状态转移矩阵 解解解解 ：四、矩阵指数-状态转移矩阵 (t)的性质1)(0)=I 2),(t)与A满足交换律.3)(t1+t2)=(t1)(t2).4)(t)-1=(-t)，(t)的逆为时间的逆转
24、,系统的状态转移具 有双向性.7）若P为非奇异矩阵，则，5)(t)k=(k t).6)若nn矩阵A和B，满足AB=BA，则 e(a+b)t=e At e Bt若若线性定常系统的线性定常系统的非奇次状态方程非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：的解存在，则解形式如下：初始状态引起的响应，零输入响应初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应输入引起的响应,零状态响应零状态响应说明说明说明说明：与线性定常系统非齐次状态方程的解不同，齐次：与线性定常系统非齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。五五 线性定常非齐次方程的解线性定常非齐
25、次方程的解 证证证证：1）先把状态方程）先把状态方程 写成写成3）对上式在）对上式在 区间内进行积分，得区间内进行积分，得:2）两边左乘）两边左乘 ，利用，利用 的性质的性质（2-242-24）X(k+1)=G(k)X(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)X(k)+D(k)u(k)其中,X(k)是X(kT)的缩略形式，T为采样周期。当为常数阵时，构成线性定常离散系统。说明：将差分方程转换成状态空间表达式脉冲传递函数与状态空间表达式之间的互换等在形式上与连续系统一样。D(k)单位延迟G(k)C(k)y(k)X(k)H(k)X(k+1)u(k)一、表达形式D(k)单位延迟G(k)第五节第五节
26、离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式二二 线性定常系统的时间离散化线性定常系统的时间离散化连续系统采样器保持器D/A 数字计算机 A/DY(k)u(t)X(t)Y(t)u(k)X(k)1 基本约定 1)采样方式：取以常数T为周期的等间隔采样,采样时间宽度远远小于T,分析中视=0，则 y(k)=y(t)，t=kT y(k)=0 ，t kT 2)采样周期T：基于保证离散化变量在理论上可复原的要求，T的选择要符合采样定理，即 s2m ,其中 m为连续信号幅频谱的上限频率，s2/T，实际上取T=(0.10.05)/s。3)保持方式：为使离散化描述关系式和推导过程简单化,通常采用零阶保持方式
27、,在采样瞬时保持器输出u(t)的分量 u j(t)=u j(k)；在两个采样瞬时的区间上，u j(t)值保持前一采样瞬时的大小。2 线性定常系统的时间离散化线性定常系统的时间离散化离散化模型为离散化模型为离散化模型为离散化模型为：其中：其中：线性定常系统：线性定常系统：推导过程推导过程推导过程推导过程：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化设设 代入上式代入上式(1)中得到：中得到：将这些结果代入（将这些结果代入（2）式，得到：）式，得到：例例例例：请建立下列连续时间系统当采样请建立下列连续时间系统当采样周期为周期为T时的离散化模型时的离散化
28、模型。解解解解：先求连续系统的状态转移矩阵：先求连续系统的状态转移矩阵：所以：所以：三三 线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析递推法递推法(迭代法迭代法)：适合于线性定常和时变系统；适合于线性定常和时变系统；Z变换法：仅适合于线性定常系统。变换法：仅适合于线性定常系统。给定给定 时的初始状态时的初始状态x(0)，及任意时刻，及任意时刻 u(k)状态方程：状态方程：，G、H是定常矩阵。是定常矩阵。1 递推法递推法由迭代法得：由迭代法得：初始状态引起的响应初始状态引起的响应初始状态引起的响应初始状态引起的响应输入引起的响应输入引起的响应输入引起的响应输入引起的响应离散系统的状态方程：离散系
29、统的状态方程：对上式两边进行对上式两边进行Z变换：变换：对上式两边进行对上式两边进行Z反变换反变换将将(2-41)式和迭代法的式和迭代法的(2-40)式比较式比较2 Z变换法：变换法：得：得：得：得：证明：证明：证明：证明：求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。例例例例 ：式中：式中：给定初始状态为：给定初始状态为：已知定常离散时间系统的状态方程为已知定常离散时间系统的状态方程为 解解解解：1）迭代法）迭代法由于输入为单位阶跃函数，所以：由于输入为单位阶跃函数，所以：由于输入为单位阶跃函数，所以有：由于输入为单位阶跃函数，所以有：2）Z变换法变换法x(k)的的Z变换为：变换为：将将G、H、U(z)、x(0)代入代入x(k)的的Z变换式有变换式有:整理得：整理得：上式上式Z反变换有：反变换有：