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1、现代控制理论基础现代控制理论基础主讲：王划一主讲：王划一山东大学控制学院第第2 2讲讲第一章 控制系统的状态空间模型1-1 系统的状态空间表达式1-2 由微分方程求状态空间表达式1-3 由传递函数求状态空间表达式1-4 由结构图建立状态空间表达式1-5 由状态空间表达式转换为传递函数1-6 状态方程的线性变换1-7 多变量系统的传递函数阵 数学模型：描述系统动态行为的数学表达式，数学模型：描述系统动态行为的数学表达式，称为控制系统的数学模型。称为控制系统的数学模型。 经典理论经典理论模型：模型：用一个高阶微分方程或传递函用一个高阶微分方程或传递函数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定数描
2、述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定输入的响应来表征。输入的响应来表征。 实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能完全揭示系统内全部运动状态的。完全揭示系统内全部运动状态的。 我们把这种输入我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统输出描述的数学模型称为系统的外部描述，内部若干变量，在建模的
3、中间过程，的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程，被当作中间变量消掉了。被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。解过程中，还可以方便地考虑初始条
4、件产生的影响。因而能同时确定系统内部的全部运动状态。因而能同时确定系统内部的全部运动状态。 所谓所谓“状态状态”是指描述系统动态行为的基本变量是指描述系统动态行为的基本变量的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系统的动态行为。统的动态行为。相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法 0),(xxfx 设二阶系统的常微分方程为：设二阶系统的常微分方程为：式中式中 是是x和和 的线性或非线性函数。的线性或非线性函数。),(xxfx 1-1.状空间表达式一一.状态及状态空间状态及状态空间 则说明二阶方程只有两个
5、实际的未知变量。我们则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们称称x和 为相变量相变量。 如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。状态就完全被确定了。 若采用若采用x和和 作为平面的直角坐标轴，则系统在作为平面的直角坐标轴，则系统在每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变变化化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该轨迹线表征系统状态的变化过程，称为轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹相轨迹。x x ),(xxfx 若表示为若表示为xx 0
6、0( ,)x x 则由则由x1与与x2张成的平面即为状态平面。张成的平面即为状态平面。 12 , xxxx 令 由由 所组成的平面坐标系称为所组成的平面坐标系称为相平面相平面 xx 过去，用解析法求二过去，用解析法求二阶微分方程不很方便，阶微分方程不很方便，在工程上出现了作图求在工程上出现了作图求解的方法。即先用几何解的方法。即先用几何作图法画出作图法画出x与与 的相的相轨迹图，再利用图形分轨迹图，再利用图形分析系统或求近似解。析系统或求近似解。x 1.1.状态：状态：定义：能够定义：能够完全描述完全描述系统时域行为的一个系统时域行为的一个最小最小变量组变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变
7、，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意：注意：完全描述：若给定完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初时刻这组变量的值（初始状态）又已知始状态）又已知tt0 时系统的输入时系统的输入u(t)，则系统在，则系统在 tt0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。例：例：RLCRLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量网络如下图所示，试选择系统的状态变量 按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递函数求解系统的行为，即：函数求解系统的行为，即：
8、Y(s)=G(s)U(s)，只能求只能求出输入出输入输出关系。输出关系。这只是求出了零状态下的单个这只是求出了零状态下的单个输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是完整描述。完整描述。RCu(t)y(t)Li( )cdiLRiuu tdt写出网络的回路方程写出网络的回路方程: 这个方程有两个独立的未知变量这个方程有两个独立的未知变量i和和uc,只要求只要求出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。 在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有关，且与初始状态有关
9、，此时，要确定系统的完全关，且与初始状态有关，此时，要确定系统的完全行为，必须先知道这两方面的信息。行为，必须先知道这两方面的信息。 本例中，根据电路知识，只要知道了电感上本例中，根据电路知识，只要知道了电感上的初始电流的初始电流 i(0) 和电容的初始电压和电容的初始电压uc(0)以及输入以及输入u(t) ，就可确定电路的全部状态。，就可确定电路的全部状态。 故根据状态的定义，可选故根据状态的定义，可选 i 和和 uc为本系统的为本系统的状态变量。状态变量。最小变量组：即这组变量应是线性独立的。最小变量组：即这组变量应是线性独立的。例：例：RCRC网络如下图所示，试选择系统的状态变量网络如下
10、图所示，试选择系统的状态变量 在在t=t0时，若已知时，若已知u(t)及及uc1(t0), uc2(t0), uc3(t0) 。则由克希霍夫定律则由克希霍夫定律, ,可求得电路的解可求得电路的解。 故故uc1(t), uc2(t), uc3(t)均均可选作状态变量。可选作状态变量。u(t)RC2C1C3i1i2i3y(t)但因但因 uc1+uc2+uc3=0 显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立的，因此，最小变量组的个数应是二。的，因此，最小变量组的个数应是二。一般的：一般的：状态变量个数状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数系统含有独立储能元
11、件的个数 =系统的阶数系统的阶数对于对于n阶系统，有阶系统，有n个状态变量：个状态变量： x1(t), x2(t), xn(t)状态变量具有非唯一性的状态变量具有非唯一性的： 如上例中，最小变量组是如上例中，最小变量组是2 2个独立变量，个独立变量，可在可在 uc1,uc2,uc3中任选中任选2 2个，选法不唯一。个，选法不唯一。2. 状态空间：状态空间： 定义定义：由系统的：由系统的n个状态变量个状态变量x1(t), x2(t), , xn(t)为坐标轴，构成的为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为维欧氏空间，称为n维状态空维状态空间。间。 引入状态空间后，即可把引入状态空间后，即可把n个状态变
12、量用矢量个状态变量用矢量形式表示出来，称为形式表示出来，称为状态矢量状态矢量。记为：记为：121( )( )( )( )nnx tx tx txt 又表示为：又表示为：x(t) Rn x(t)属于属于n维状态空间维状态空间 引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。系统在某时刻的状态。 换一种说法即状态空间是由所有状态矢量换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成组成的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。3.3.状态轨线：状态轨线： 定义：系统状态矢量定义：系统状态矢量的端点的端点在状态
13、空间中所在状态空间中所移动的路径，称为系统的移动的路径，称为系统的状态轨线状态轨线，代表了状态，代表了状态随时间变化的规律。随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10, x20, x30 。在。在u(t)作用下作用下 ，系统的状态开始变，系统的状态开始变化，运动规律如下：化，运动规律如下：3x1x2x10 x20 x30 x0t1t2t3t可见，状态向量的状态空间表示，将向可见，状态向量的状态空间表示，将向量的代数结构和几何概念联系起来。量的代数结构和几何概念联系起来。二二. .状态空间表达式状态空间表达式 是一组一阶微分方程
14、组和代数方程组成，它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。述。1.1. 建立方法：建立方法：例例1-1.1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式试建立机械位移系统的状态空间表达式. .y(t)u(t)kf弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统m解：由牛顿第二定律：解：由牛顿第二定律： 列基本方程：列基本方程：Fma 22d ydymu tfkydtdt即：即： 22dydymfkyu tdtdt 选择状态变量：选择状态变量：( )( )1x ty t ( )( )2x ty t 故得：故得：( )212
15、1kfx txxummm 而而( )1y tx )()(21txtx将以上方程组写成矢量矩阵形式将以上方程组写成矢量矩阵形式11220101xxxukfxxmmm ( )1210 xy tx 即即CxyBuAxx 完整描述完整描述 系统的完整描述，必须具有两部分内容，前系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1 1）首先根据基本规则列基本方程；）首先根据基本规则列基本方程； 2 2）选择系
16、统的状态变量；（按状态定义选）选择系统的状态变量；（按状态定义选） 3 3）列写系统的状态方程和输出方程，即得状）列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。态空间表达式。2.2.一般形式：一般形式：上例中上例中二阶系统的二阶系统的状态空间表达式又可表示成状态空间表达式又可表示成矩阵矢量方程形式矩阵矢量方程形式xAxBuyC x2 12 11 1 其中：其中： 1 210C 2 101bm 2 201Akfmm 对于一般的对于一般的n阶线性定常系统（阶线性定常系统（n个状态，个状态，r个个输入，输入，m个输出）个输出）多输入多输出系统多输入多输出系统对象对象输出输出元件元件u1 u2 u
17、rx1 x2 xny1 y2 ym 其中：其中：1( )ruu tu 控控制制矢矢量量; ;1myymy 维维输输出出矢矢量量Ann系系统统矩矩阵阵 阶 阶常常数数矩矩阵阵(Bnr控控制制矩矩阵阵 输输入入矩矩阵阵), 阶), 阶常常数数矩矩阵阵. .状状态态矢矢量量 )(txn nn rnnrm rm nmnrx(t )A x(t )B u(t )y(t )C x(t )D u(t )111111 一阶微分方程组一阶微分方程组代数方程代数方程C-输出矩阵输出矩阵 mn阶常数矩阵阶常数矩阵D-直连矩阵直连矩阵 mr阶常数矩阵阶常数矩阵3.一般线性时变系统：一般线性时变系统：x tA t x t
18、B t u ty tC t x tD t u t( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 区别在于：上述矩阵是时间区别在于：上述矩阵是时间t t的函数的函数( (变系数微分变系数微分方程方程) )4. 非线性定常系统非线性定常系统: x tfx tu ty tg x tu t( )( )( )( )( )( ) x tf x tu tty tg x tu tt( )( ), ( ),( )( ), ( ), 6.6.线性系统状态空间表达式的简便写法：线性系统状态空间表达式的简便写法： 由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态空间表
19、达式的基本形式是一样的，区别在于四个空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: : (A, B, C, D)定常定常 A(t), B(t), C(t), D(t)时变时变5.5.非线性时变系统：非线性时变系统：三三 . .线性系统的结构图线性系统的结构图和信号流图和信号流图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ：xAxBuyCxDu 按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C
20、(t)B(t)+xx y(t)u(t)dt1、结构图：、结构图：2、信号流图、信号流图D(t)u(t)B(t)( )x t dtx(t)C(t)y(t)A(t)在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入单输出系统例：单输入单输出系统111121122122221122( )( )( )( )x taaxbu tx taaxbxy tccx a11c1b1b2a22a21a12c2dtdt+x1x21x 2x y+u 由图可见，无论系统阶次多高，按图都可方便由图可见，无
21、论系统阶次多高，按图都可方便的进行模拟。且图中只有加法器和积分器。完全可的进行模拟。且图中只有加法器和积分器。完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。 例例1-2 1-2 ： 试建立电枢控制的直流电动机的状态试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。空间表达式，并画出其结构图。M Ra uaLaia Uf=const EaJ, fJ:电动机轴上的转动惯量电动机轴上的转动惯量f:负载为阻尼摩擦性质负载为阻尼摩擦性质解：由基本规律列写原始方程：解：由基本规律列写原始方程：aedECdt 电枢回路方程：电枢回路方程：22m ad
22、dC iJfdtdt转矩平衡方程转矩平衡方程:aa aaediduR iLCdtdt 反电势方程反电势方程:选状态变量选状态变量:123,axixx aeaaaaaRcxiiuLLL11 131aeaaaRCxxuLLL 23xx 313 mmaCCf dfxixxJJ dtJJ 故得状态方程：故得状态方程：12310001000aeaaamRCLLLxXxuCxfJJ 而输出方程为：而输出方程为： 123010 xYxx 最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图aRL dt aCL dt mCJdt 1aLfJ11+u(t)1x 2x 3x x1x
23、2x3+Y(t)小结：小结：状态空间表达式是现代控制理论中系统的状态空间表达式是现代控制理论中系统的数学模型。它是以状态变量为基本出发点，阐明数学模型。它是以状态变量为基本出发点，阐明了系统的状态变量是影响系统性能的因素，比简了系统的状态变量是影响系统性能的因素，比简单的输入单的输入输出描述更近了一步。输出描述更近了一步。1.1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：把输入到输出的控制过程分成了两阶段：输入输入动态过程动态过程微分方程组微分方程组状态状态变换过程变换过程代数方程组代数方程组输出输出即即 u(t)状态方程状态方程输出方程输出方程x(t)y=Cx+Duy(t)xAxBu2.2.状态变
24、量的个数等于系统的阶数，但状态变量的状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。（但由后面的分析可知。由于系统的特征值一。（但由后面的分析可知。由于系统的特征值不变，分析可控性和可观性及求传递矩阵等结果不变，分析可控性和可观性及求传递矩阵等结果均不受影响）。均不受影响）。3.3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对应，一般取储能元件的状态量作为状态变量。相对应，一般取储能元件的状态量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.4.状态空间表达式的数学模型形式不随变量的增加状态空间表达式的数学模型形式不随变量的增加变复杂变复杂 ，其形式是一致的。，其形式是一致的。结 束 2