控制系统的状态空间描述课件.ppt

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1、第一章第一章控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 1/4/202311、状态空间描述、状态空间描述2、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、离散系统的数学描述、离散系统的数学描述5、用、用MATLAB进行数学建模和模型转换进行数学建模和模型转换 第一章第一章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述1/4/20232第一节第一节 状态空间描述状态空间描述1.1.1 1.1.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念1.1.2 1.1.2 状态空间方程的建立状态空间方程的建立1.1.3 1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程化高阶

2、微分方程为状态空间方程 1/4/20233动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。术语术语术语术语 ：q 状态状态状态状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=tot=to时刻的初始状态能记忆系统在时刻的初始状态能记忆系统在 ttot=tot=to时输入时输入的时间函数，那么，系统在的时间函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为就完全确的任何瞬间的行为就完全确定了。定了。最小个数最小个数最小个数最小个数：意味着这组变量

3、是互相独立的。意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。1/4/20234qq状态空间状态空间状态空间状态空间：以状态变量以状态变量 为坐标轴所为坐标轴所构成的构成的n n维空间。在某一特定时刻维空间。在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空是状态空间的一个点。间的一个点。qq状态轨迹状态轨迹状态轨迹状态轨迹：以以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。qq状态向量状态向量状态向量状态向量：把把 这几个状态变量看成是这

4、几个状态变量看成是向量向量 的分量，则的分量，则 称为状态向量。记作：称为状态向量。记作：或：或：1/4/20235qq状态方程状态方程状态方程状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数；是线性或是线性或非线性函数。非线性函数。通式为：通式为：通式为：通式为：1/4

5、/20236将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：状状状状态态态态向向向向量量量量输输输输入入入入向向向向量量量量系系系系数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵输输输输入入入入矩矩矩矩阵阵阵阵1/4/20237qq输出方程输出方程输出方程输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：果关系。方程形式如下：其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量是输出变量个数，个

6、数，是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。通式为：通式为：通式为：通式为：1/4/20238将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：输出向量输出向量输出向量输出向量输输输输出出出出矩矩矩矩阵阵阵阵关关关关联联联联矩矩矩矩阵阵阵阵1/4/20239(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。代表一个动力学系统。说明说明说明说明 ：qq动态方程或状态空

7、间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：其中其中其中其中：A、B、C、D矩阵含义同上。矩阵含义同上。1/4/202310(3)(3)定常系统：定常系统：A,B,C,DA,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关；时变系统：时变系统：A,B,C,DA,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数；定常系统定常系统 ；时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的区别：系统输出

8、与状态的区别：系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。(4)(4)非线性非线性系统状态空间表达式：系统状态空间表达式：和和 是是x x与与u u的某类非的某类非线性函数。可以用线性系统来近似线性函数。可以用线性系统来近似1/4/202311常用符号常用符号常用符号常用符号：系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积

9、分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器1/4/202312 状态变量的选取状态变量的选取状态变量的选取状态变量的选取 ：建立状态空间表达式的前提建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）角线标准型和约当标准型）一、从系统一、从系统一、从系统一、从系统物理物理物理物理机理建立机理建立机理建立机理建立动态方程动态方程动态方程动态方程：1.1.2 状态空间方程的建立状态空间方程的建立1/4/202313【

10、例例1 1】如下图所示电路，如下图所示电路，为输入量，为输入量，为输出为输出量。量。建立方程：建立方程：和和 可以表征该电路系统的行为，就是该可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量系统的一组状态变量1/4/202314可以改写为可以改写为可以改写为可以改写为取状态变量取状态变量取状态变量取状态变量指定指定指定指定作为输出作为输出作为输出作为输出有有有有或或或或1/4/202315电路微分方程也可以写为电路微分方程也可以写为电路微分方程也可以写为电路微分方程也可以写为取状态变量取状态变量取状态变量取状态变量矩阵形矩阵形矩阵形矩阵形式为式为式为式为状态空间表状态空间表达式非唯一达式非唯

11、一状态变量选状态变量选取非唯一取非唯一1/4/202316练习练习建立右图所示系统的状态空间表达式建立右图所示系统的状态空间表达式建立右图所示系统的状态空间表达式建立右图所示系统的状态空间表达式根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律选择状态变量选择状态变量机械系统的机械系统的状态空间表状态空间表达式达式1/4/202317 练习练习 R-C-L R-C-L 网络如图所示网络如图所示。e(t)-e(t)-输入变量，输入变量，-输出变量。试求其状态空间描述输出变量。试求其状态空间描述 解解解解 ：1.)1.)确定状态变量确定状态变量 两个储能元件两个储能元件C C和和L L，故选故选 和和 为状态变为状

12、态变量，组成状态向量量，组成状态向量 x=x=R R1 1L Lu uc cu uR2R2R R2 2c ci ic ci iL L1/4/2023182)根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：个回路的微分方程：将将 代入上式，消去中间变量代入上式，消去中间变量 ，并整理得：，并整理得：所以状所以状态方程态方程为：为：1/4/202319右电路图可知右电路图可知:所以输所以输出方程出方程为：为：所以系所以系统各矩统各矩阵为：阵为：1/4/202320 例例22电枢控制式电机控制系统原理如图电枢控制式电机控制系统原理如图1-31-3所所示，试建立电动机的状态空间

13、方程。示，试建立电动机的状态空间方程。图图1-3 电枢控制式电机控制系统原理图电枢控制式电机控制系统原理图 1/4/2023211 1、根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势、根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势 ，其大，其大小为小为2 2、在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩与电枢电在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩与电枢电路的电流成正比，即路的电流成正比，即3 3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：4 4、对电机转轴，根据牛顿定律，有对电机转轴，根据牛顿定律，有1/4/202322取电枢回路电流取电枢回路电流 、转角、转角 及其电机

14、轴角速度及其电机轴角速度 为系为系统的三个状态变量统的三个状态变量 ，取电机轴转角，取电机轴转角 为系统输为系统输出，电枢控制电压出，电枢控制电压 为系统输入，我们有为系统输入，我们有或或 这是一个三阶系统这是一个三阶系统1/4/202323如果我们对电机轴转角如果我们对电机轴转角 不感兴趣，在本例中我不感兴趣，在本例中我们可以取电枢电路电流们可以取电枢电路电流 及电机轴角速度及电机轴角速度 为为系统的两个状态变量系统的两个状态变量 ，取电机轴角速度，取电机轴角速度 为系统输出，电枢控制电压为系统输出，电枢控制电压 为系统输入，我为系统输入，我们有们有或或 这是一个二阶系统这是一个二阶系统1/

15、4/202324 例例33设有一倒立摆安设有一倒立摆安装在马达驱动车装在马达驱动车上，如图上，如图1-41-4所示。所示。控制力控制力u u作用于小作用于小车上。假设倒立车上。假设倒立摆只在图摆只在图1-41-4所在所在的平面内运动，的平面内运动，摆杆的重心就是摆杆的重心就是摆球的重心，试摆球的重心，试求该系统的数学求该系统的数学模型。模型。1/4/202325解：解：设小小车和和摆杆的杆的质量分量分别为和和 ，摆杆长，摆杆长 ，所以摆杆重心的水平位，所以摆杆重心的水平位置为置为 ，垂直位置为，垂直位置为 。按照物理定律，摆杆和小车的运动。按照物理定律，摆杆和小车的运动方程如下：方程如下：摆杆

16、的杆的转动方程：方程：摆杆重心的水平运动：摆杆重心的水平运动：1/4/202326摆杆重心的垂直运动摆杆重心的垂直运动小车的水平运动：小车的水平运动：1/4/202327因为我们必须保持倒立摆垂直，所以可假设因为我们必须保持倒立摆垂直，所以可假设 和和 的量值很小，因而使得的量值很小，因而使得 ，并且并且由于由于摆杆的杆的转动惯量很小，可看作量很小，可看作对以上方程线性化，可以推导出系统微分方程数学对以上方程线性化，可以推导出系统微分方程数学模型：模型：1/4/202328若定义状态变量若定义状态变量 系统的输出量系统的输出量 系统模型系统模型 1/4/2023291.1.3 1.1.3 化高

17、阶微分方程为状态空间方程化高阶微分方程为状态空间方程线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为在经典控制理论中在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：解决问题解决问题解决问题解决问题:选取适当的状态变量选取适当的状态变量,并由并由 定出相应的系数矩阵定出相应的系数矩阵A A、B B、C C、D.D.两类问题两类问题两类问题两类问题：1 1、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项2 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项1/4/202330微分方程形式微分方程形式:1 1、微分方程中不包含输入函数的导

18、数项微分方程中不包含输入函数的导数项微分方程中不包含输入函数的导数项微分方程中不包含输入函数的导数项2.2.）将上两边对将上两边对将上两边对将上两边对t t求导求导求导求导，化为状态变量，化为状态变量 的一阶微的一阶微分方程组分方程组.1.1.）选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量.若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定则系统行为被完全确定 故选择故选择 为系统的一组状态变量。为系统的一组状态变量。输出及输出及其各阶导数其各阶导数 令令:1/4/2023313.3.）化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：化为向量矩阵形式：状态方程为状态方程为:输出方程为

19、输出方程为:1/4/2023325.5.）说明：说明：说明：说明：状态变量是状态变量是输出输出y及及y的各阶导数的各阶导数系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方特点：主对角线上方1个元素为个元素为1，最下面一行为，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为，称为友矩阵友矩阵4.4.）画模拟结构图：画模拟结构图：画模拟结构图：画模拟结构图：1/4/202333 例例例例11 设系统输入设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。解解解解：若选若选 ，可导出系数矩阵，可导出系数矩阵A，B，C 模拟结构图模拟结构

20、图模拟结构图模拟结构图1/4/2023342 2、微分方程中包含输入函数的导数项微分方程中包含输入函数的导数项微分方程形式：微分方程形式：状态变量选择原则：状态变量选择原则：状态变量选择原则：状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。分析：分析：分析：分析：如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，将法，将输出及输出的各阶导数选为状态变量输出及输出的各阶导数选为状态变量，则得到，则得到的状态方程的模拟结构图如下，的状态方程的模拟结构图如下，1/4/2023351.1.）选择状态变

21、量选择状态变量选择状态变量选择状态变量:为了使系统状态方程中不出现为了使系统状态方程中不出现u的导数项，状的导数项，状态变量可以这样选择：态变量可以这样选择：式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.整理整理(2)式得式得:由结构图可以看出由结构图可以看出:1/4/2023361/4/202337联立联立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：输出方程输出方程输出方程输出方程:状态方程状态方程状态方程状态方程:A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了2.2.）求）求）求）求

22、思路思路:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的的形式，并代入形式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中，根据根据u及其及其各阶导数的系数相等的原则求解：各阶导数的系数相等的原则求解：1/4/202338由式由式(2)可以得到下式可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量：令令由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得：(7)1/4/202339将式将式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，中，根据左右等式中根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则

23、可得到：为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成：1/4/202340 例例例例22 系统输出系统输出-输入微分方程为下式，求其状态空间表达式。输入微分方程为下式，求其状态空间表达式。解解解解：系数系数:按按(8)式求得：式求得：1/4/202341写出状态空间表达式写出状态空间表达式:说明：说明：说明：说明：这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。解决方法解决方法解决方法解决方法：一般将微分方程转换为传递函数，由传递：一般将微分方程转换为传递函数，由传递 函数来实现。函数来实现。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：1/4/2023421.2 1.2

24、状态空间方程的线性变换状态空间方程的线性变换 1.2.1 1.2.1 状态向量线性变换状态向量线性变换 1.2.2 1.2.2 化系数矩阵为对角标准形化系数矩阵为对角标准形 1.2.3 1.2.3 化系数矩阵为约当标准形化系数矩阵为约当标准形 1/4/202343 线性非奇异变换线性非奇异变换：如果如果P P非奇异阵，则将非奇异阵，则将 变换称为线性非变换称为线性非奇异变换。奇异变换。用途用途用途用途 通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。线或约当标准型。系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性：含义含义含义含义：同

25、一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。1.2.1 1.2.1 状态向量线性变换状态向量线性变换1/4/202344两组状态变量的关系：两组状态变量的关系：其中：其中：例例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统考虑系统 为：为：非奇异变换后非奇异变换后 ，等价系统方程等价系统方程1/4/2023451）若选择非奇异变换阵若选择非奇异变换阵P为：为：结论结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性非唯一性2）若选择非奇异变换阵若选择非奇异变换阵P

26、为：为：对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵1/4/202346对于系统矩阵对于系统矩阵A，若存在一非零向量若存在一非零向量 ，使得：，使得：系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量 则：则：矩阵矩阵A对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量矩阵矩阵A的特征值（的特征值（A特征方程的根）特征方程的根）矩阵矩阵A的特征方程的特征方程矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式使使 ，则称，则称 为为A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.设设 为为A的一个特征值，若存在某个的一个特征值，若存在某个n维非零向量维非零向量 ，由定义可知由定义可知由定义可知由定义可

27、知：1/4/202347一个一个n维系统的维系统的 方阵方阵A，有且仅有有且仅有 n 个独立的特征值。个独立的特征值。特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质特征值及传递函数阵的性质 ：对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。（特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性特征值和传递函数阵的不变性）A为实数方阵，则其为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。个特征值或为实数，或为共轭复数对。系统系统2:特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵 系统系统1:

28、特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵 1/4/2023484）设设 为系统矩阵为系统矩阵A的特征值的特征值,是是A属于特属于特征值的特征向量。当征值的特征向量。当 两两相异时，两两相异时，线线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵Q必是非奇异的。必是非奇异的。1/4/2023495）若系统矩阵若系统矩阵A具有形式：具有形式：则其特征多项式为：则其特征多项式为：特征方程为：特征方程为：1/4/202350 特征向量的计算特征向量的计算特征向量的计算特征向量的计算：1）先求出系统矩阵先求出系统矩阵A的所有特征值。的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征

29、向量。对于每个特征值，计算其特征向量。例例例例：求下列矩阵求下列矩阵A的特征向量。的特征向量。解解解解：1)计算特征值计算特征值 A的特征方程为：的特征方程为：A的特征值：的特征值：1/4/202351 时特征向量：时特征向量：时特征向量：时特征向量：2）计算特征向量计算特征向量 时特征向量：时特征向量：1/4/202352一、将状态方程化为对角线标准型一、将状态方程化为对角线标准型1 1、状态方程化为对角线标准型的步骤：状态方程化为对角线标准型的步骤：状态方程化为对角线标准型的步骤：状态方程化为对角线标准型的步骤：1 1）先求出系统矩阵先求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。2 2）

30、对于每个特征值，计算其特征向量。并由此对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成非奇异变换阵组成非奇异变换阵P P。3 3）由变换矩阵由变换矩阵P P和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出 ，其中对角阵，其中对角阵 可以由特征值直接写出，只需求出可以由特征值直接写出，只需求出 即可。即可。1/4/202353定理定理定理定理1 1：对于线性定常系统对于线性定常系统 ，如果，如果A特征值特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过通过变换变换 ，将原状态方程，将原状态方程 化为对角线化为对角线规范形式规范形式 。其中其中其中其中：1/4/202354证明：证明：1

31、 1）找非奇异变换阵找非奇异变换阵找非奇异变换阵找非奇异变换阵由特征值性质由特征值性质 4)知，由知，由A特征向量构成的矩阵特征向量构成的矩阵 是非奇异的，故可以选择是非奇异的，故可以选择P为变换阵为变换阵,其中其中2 2）求）求）求）求1/4/202355特征值定义特征值定义上式两端左乘上式两端左乘 得：得：证毕！证毕！证毕！证毕！1/4/202356 例例例例 将线性定常系统将线性定常系统 化为对角线标准化为对角线标准型型.其中：其中：当当 时，时，2)确定非奇异矩阵确定非奇异矩阵P 解解解解:1)求其特征值求其特征值:1/4/202357取取:当当 时，时，取取:同理当同理当 时，时，得

32、得:取任意数取任意数1/4/2023583）求）求对角线标准型为：对角线标准型为：1/4/202359证明：略证明：略(提示，根据特征值和特征向量的定义证明提示，根据特征值和特征向量的定义证明)。定理定理定理定理2 2：对线性定常系统，如果其特征值对线性定常系统，如果其特征值 互异，互异，且系数矩阵且系数矩阵且系数矩阵且系数矩阵A A是友矩阵是友矩阵是友矩阵是友矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个是一个范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵，具有如下形式：，具有如下形式：1/4/202360 例例例例：线性定常系统线性定常系

33、统 ，其中，其中将状态方程化为对角线标准型将状态方程化为对角线标准型.解解解解：1 1）确定系统特征值）确定系统特征值）确定系统特征值）确定系统特征值.由：由：得：得：1/4/2023612)2)确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵P P系统状态方程对角系统状态方程对角线标准型为：线标准型为：3)3)求求求求1/4/202362定理定理3 对于于线性定常系性定常系统，当矩，当矩阵A具有重特征值，具有重特征值，但独立的特征向量的个数仍然为但独立的特征向量的个数仍然为n个。这时可以通个。这时可以通过过 变换，将变换，将A阵化为对角标准形。阵化为对角标准形。例例 己知矩己

34、知矩阵 ，试化，试化A为对角标准形为对角标准形 解：解：1、求系统特征值、求系统特征值有重根有重根1/4/2023632、确定非奇异变换阵、确定非奇异变换阵P 当当 时时 当当 时时1/4/202364 由于系由于系统有有3个独立特征向量，故原系个独立特征向量，故原系统状状态空空间方程可方程可化化为对角角标准形。准形。对应线性性变换阵P可求出为可求出为3、化对角标准形、化对角标准形1/4/202365二、二、化系数矩阵化系数矩阵A A为约当标准形为约当标准形 定理定理1-4 1-4 当矩阵当矩阵A A具有具有mm个重特征值，且对应于每个互异个重特征值，且对应于每个互异的特征值，只存在一个独立的

35、特征向量，则必存在一个非的特征值，只存在一个独立的特征向量，则必存在一个非奇异矩阵奇异矩阵P P，将，将A A阵化为约当标准形阵化为约当标准形其中其中 为约当块，其形式为为约当块，其形式为 1/4/202366其中其中 称为对应于称为对应于 的的广义特征向量广义特征向量此时非奇异矩阵此时非奇异矩阵P P的求法的求法假假设系系统有有n个重特征个重特征值，设为 ，对应特征向量为，对应特征向量为。由特征向量的定义，得到。由特征向量的定义，得到。此时变换矩阵为此时变换矩阵为 1/4/202367说明明如果如果n阶矩阵矩阵A有有m个重特征值个重特征值 ,n-m个互异特征值个互异特征值 .为确定线性变换矩

36、阵为确定线性变换矩阵P，可以按上述方法求出对应于，可以按上述方法求出对应于 的的m个特征向量个特征向量 。按前面求对角标准形的方法求出其余对应于按前面求对角标准形的方法求出其余对应于 的的n-m个特征向量个特征向量故对应线性变换矩阵为故对应线性变换矩阵为1/4/202368小结：状态方程化为约当标准型的步骤：小结：状态方程化为约当标准型的步骤：小结：状态方程化为约当标准型的步骤：小结：状态方程化为约当标准型的步骤：1 1）先求出系统矩阵先求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。2 2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特

37、征向量。并由此组成非奇值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵异变换阵P P。3 3）由变换矩阵由变换矩阵P P和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出，其中约当矩阵，其中约当矩阵 可以由特征值直接写出，只需求可以由特征值直接写出，只需求出出 即可。即可。1/4/202369例例 己知矩阵己知矩阵 ，试化，试化A为约为约当标准形当标准形解：解：1、求系统特征值、求系统特征值2、确定非奇异变换阵、确定非奇异变换阵 当当 1/4/202370再将再将代入代入，有，有当当时，1/4/202371所以有所以有，3、化、化约当当标准形准形1/4/202372定理定理定理定理1-51-51-5

38、1-5：如果系数矩阵如果系数矩阵A A是友矩阵是友矩阵 如果其特征值如果其特征值 是是n n重根，则将系统状态方程化为重根，则将系统状态方程化为JordanJordan约当标准型的非奇异矩阵约当标准型的非奇异矩阵P P，其形式为：，其形式为：1/4/202373例例 己知矩阵己知矩阵 ，试化，试化A为约为约当标准形当标准形解：解：1、求系统特征值、求系统特征值 2、确定非奇异、确定非奇异变换阵 系系统有三重特征有三重特征值，且系数矩，且系数矩阵为友矩友矩阵 1/4/202374求出变换阵求出变换阵 3、化、化约当当标准形准形1/4/2023751.3 1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵1.3.1

39、 1.3.1 由状态空间方程转换成传递由状态空间方程转换成传递函数阵函数阵 1.3.2 1.3.2 子系统串并联与闭环系统子系统串并联与闭环系统传递函数阵传递函数阵1/4/202376一、传递函数阵的引入一、传递函数阵的引入一、传递函数阵的引入一、传递函数阵的引入：2）MIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s)，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；状态空间表达式：状态空间表达式：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：根据传递函数定义，根据传

40、递函数定义，式式(1)拉氏变换，并令拉氏变换，并令 ，得式，得式(2)：1）SISO系统，一输入对一输出，用传递函数系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)描述，描述，G(s)是一个元素；是一个元素；整理（整理（2）式得：）式得：1/4/202377注意矩阵求逆注意矩阵求逆定义定义传递函数阵传递函数阵：说明说明说明说明：1）dim(G(s)=mr，其中其中dim()表示表示的维数。的维数。m是输出维数，是输出维数，r是输入维数。是输入维数。2）G(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i个输出中，由第个输出中，由第j个输入变量所引个输入变量所引起的输出和第起的输出和第j个输入变量

41、间的传递关系。个输入变量间的传递关系。3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的同一系统，不同的状态空间表达式对应的G(s)是相同的。是相同的。1/4/202378 例例例例 已知系统已知系统 求系统的求系统的G(s)解解解解：1/4/202379 例例例例 求由求由 表述系统的表述系统的G(s)解解解解：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传递函数阵公式得：由传递函数阵公式得：1/4/202380求得：求得：求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：1/4/202381传递函数阵：传递函数阵：子系统子系统 的动态方程为：的动态方程为：子系统子系统 的动态方程为：的动态方程为：子系统的模拟结构图如下

42、子系统的模拟结构图如下子系统的模拟结构图如下子系统的模拟结构图如下：1.3.2 子系统串并联与闭环系统传递函数阵子系统串并联与闭环系统传递函数阵 传递函数阵：传递函数阵：1/4/202382则有：则有：qq 两个子系统并联联结时：两个子系统并联联结时：两个子系统并联联结时：两个子系统并联联结时：子系统并联的前提：子系统并联的前提：组合系统状态空间表达式求法：组合系统状态空间表达式求法：组合系统状态空间表达式求法：组合系统状态空间表达式求法：1/4/2023831 1 1 1、状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式2 2 2 2、传递函数阵为：传递函数阵为：传递函数阵为：传递函

43、数阵为：分块对角阵性质分块对角阵性质 结论结论结论结论：当两系统并联时，组合系统的传递函数阵等于各子系当两系统并联时，组合系统的传递函数阵等于各子系统传递函数阵之和。统传递函数阵之和。1/4/202384qq 两个子系统串联联结时：两个子系统串联联结时：两个子系统串联联结时：两个子系统串联联结时：则有：则有：子系统串联的前提：子系统串联的前提：1 1 1 1、状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式1/4/2023852 2 2 2、传递函数阵为：传递函数阵为：传递函数阵为：传递函数阵为：回顾：分块矩阵求逆回顾：分块矩阵求逆 结论结论结论结论：当两系统串联时，组合系统的传递函数

44、阵等于后一子当两系统串联时，组合系统的传递函数阵等于后一子系统的传递函数阵乘以前一子系统的传递函数阵。系统的传递函数阵乘以前一子系统的传递函数阵。由于矩阵左右乘不等，注意顺序。由于矩阵左右乘不等，注意顺序。1/4/202386qq 两个子系统反馈联结时：两个子系统反馈联结时：两个子系统反馈联结时：两个子系统反馈联结时：关系：关系：子系统反馈联接的前提：子系统反馈联接的前提：不失一般性，令不失一般性，令 则有：则有：1/4/2023871 1 1 1、状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式2 2 2 2、传递函数阵为：传递函数阵为：传递函数阵为：传递函数阵为：注意注意注意注意：

45、上式上式上式上式存在的条件是至关重要的。存在的条件是至关重要的。存在的条件是至关重要的。存在的条件是至关重要的。1/4/202388例例 已知系统结构如图所示，求该组合系统结构图。已知系统结构如图所示，求该组合系统结构图。1/4/202389解：该系统可看作两个子系统反馈连接。由图可知，解：该系统可看作两个子系统反馈连接。由图可知，所以有所以有或或1/4/202390 假定离散假定离散时间是等是等间隔的，采隔的，采样周期周期为T。用。用 代代表表 ，用，用 代表代表 ，分别表示系统的输入序列，分别表示系统的输入序列和输出序列。和输出序列。1.4 离散系统的数学描述离散系统的数学描述 1.4.1

46、 1.4.1 离散系统状态空间方程离散系统状态空间方程一般的计算机控制系统或采样控制系统多属离散控制系统。一般的计算机控制系统或采样控制系统多属离散控制系统。1/4/202391离散系统一般用差分方程表示其输入输出信号的离散系统一般用差分方程表示其输入输出信号的关系，分两种情况关系，分两种情况一、差分方程中不含输入量差分项一、差分方程中不含输入量差分项 依次依次选取取 为状态变量为状态变量可得到系统的状态方程为可得到系统的状态方程为1/4/202392输出方程为输出方程为二、差分方程中含有输入信号的差分项二、差分方程中含有输入信号的差分项1/4/202393同样采用和前面同样采用和前面1.1.

47、3节线性系统相同的分析方法，可得到节线性系统相同的分析方法，可得到系统的状态空间描述为系统的状态空间描述为1/4/202394例例1-141-14 将高阶微分方程将高阶微分方程 变换为状态空间方程。变换为状态空间方程。解：解：1/4/202395例例1-151-15 将高阶微分方程将高阶微分方程 变换为状态空间方程。变换为状态空间方程。解：解：1/4/202396系系统状状态空空间方程方程为1/4/2023971.4.2 1.4.2 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵 z z变换变换x(0)=0 x(0)=01/4/202398例例1-16 已知已知线性定常离散系性定常离散系统方程方程为求其脉冲

48、求其脉冲传递函数矩函数矩阵。解：解：1/4/2023991.5 1.5 用用MATLABMATLAB进行数学建模和模型转换进行数学建模和模型转换 MATLAB是美国是美国MathWorks Inc.开发的一个用于科开发的一个用于科学和工程计算的大型综合软件，具有强大的数值计算和工程学和工程计算的大型综合软件，具有强大的数值计算和工程运算功能，完美的图形可视化数据处理能力，标准的开放式运算功能，完美的图形可视化数据处理能力，标准的开放式可扩充结构，极多的工具箱。目前在工程和非工程领域的科可扩充结构，极多的工具箱。目前在工程和非工程领域的科研、教学和开发中已得到广泛地应用。对控制领域，研、教学和开

49、发中已得到广泛地应用。对控制领域，MATLAB是应用最广的首选计算机工具。是应用最广的首选计算机工具。1.5.1 MATLAB简介简介一、使用一、使用MATLAB的窗口环境的窗口环境1/4/2023100 MATLAB的窗口环境的窗口环境 1/4/2023101MATLAB的程序类型包括脚本文件和函数的程序类型包括脚本文件和函数（function）文件，它们都是以）文件，它们都是以“.m”为扩展名的文本文为扩展名的文本文件。脚本文件是一些件。脚本文件是一些MATLAB的命令和函数的组合，类似的命令和函数的组合，类似DOS下的批处理文件。函数文件是有输入输出参数的下的批处理文件。函数文件是有输入

50、输出参数的M文文件。函数接受输入参数，然后执行并输出结果。用件。函数接受输入参数，然后执行并输出结果。用help命命令可以显示它的注释说明。文件名必须与函数名一致。令可以显示它的注释说明。文件名必须与函数名一致。MATLAB命令、函数和文件命令、函数和文件MATLAB的命令和函数很多，容易遗忘。这时可以用的命令和函数很多，容易遗忘。这时可以用help或或lookfor加函数名的方式获取帮助；也可以打开加函数名的方式获取帮助；也可以打开帮助窗口求助；另外还可以打开示例窗口学习。帮助窗口求助；另外还可以打开示例窗口学习。1/4/2023102二、二、MATLAB基本数学运算基本数学运算（1）MAT