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1、第三节第三节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则推广推广（1）多元复合函数求导的链式法则）多元复合函数求导的链式法则（2）多元复合函数的全微分）多元复合函数的全微分微分法则微分法则1一一.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则定理定理 如果函数如果函数 都在点都在点 可导可导,函数函数在点在点 处可微处可微,在点在点则复合函数则复合函数证证:设设 t 取增量取增量则相应中间变量有增量则相应中间变量有增量可导可导,且有链式法则且有链式法则2令令 ,则有则有(全导数公式全导数公式)时时,根式前加根式前加“”“”号号)3推广推广:1）中间变量多
2、于两个的情形。例如）中间变量多于两个的情形。例如则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下2）中间变量是多元函数的情形。例如）中间变量是多元函数的情形。例如则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下4又如又如当它们都具有可微条件时，则有当它们都具有可微条件时，则有注意注意:这里这里表示表示固定固定 y 对对 x 求导求导表示表示固定固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:连线相乘连线相乘,分线相加分线相加。与与不同不同5例例1.设设求 .解解：6例例2.求解解:7例例 3.设 求全导数解解:8解解 令令记记同理有同理有9于是于是101112解解13例例7:已知解解:14二二.复合函数的全微分复合函数的全微分设函数的全微分为这说明,无论 u,v 是自变量还是中间变量,其全微分表达式一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.则复合函数都可微,15例例8.解解:所以1617