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1、第三章第三章 复变函数级数复变函数级数复变函数的无穷级数（新运算）复变函数的无穷级数（新运算）n n求和：求和：n n连续求和连续求和连续求和连续求和积分积分积分积分n n离散求和离散求和离散求和离散求和级数级数级数级数n n重要性：重要性：积分和级数是表达函数的两大工具积分和级数是表达函数的两大工具积分和级数是表达函数的两大工具积分和级数是表达函数的两大工具n n内容：内容：级数收敛性和求和方法级数收敛性和求和方法级数收敛性和求和方法级数收敛性和求和方法复变函数展开为级数（复变函数的级数表示）复变函数展开为级数（复变函数的级数表示）复变函数展开为级数（复变函数的级数表示）复变函数展开为级数（
2、复变函数的级数表示）级数的运算级数的运算级数的运算级数的运算3.1 幂级数幂级数n n复数项级数复数项级数 n n收敛性：收敛性：若级数若级数 的的部分和序列部分和序列 有有限极限有有限极限 ，则称该级数收敛，其和为，则称该级数收敛，其和为 ，否则该级数发散。，否则该级数发散。n n绝对收敛：绝对收敛：若若 组成的级数收敛，组成的级数收敛，则称该级数绝对收敛。则称该级数绝对收敛。绝对收敛绝对收敛 收敛收敛？n n收敛判别法收敛判别法1.1.基本法则基本法则Cauchy判据判据任给任给 ，必有，必有N存在，当存在，当 时时对任意的正整数对任意的正整数p有有 2.2.特殊法则特殊法则比较判别法比较
3、判别法由基本法则可知，若对充分大的由基本法则可知，若对充分大的k有有 ，则，则 发散发散发散发散 发散发散发散发散 收敛收敛收敛收敛 收敛收敛收敛收敛PP具体比较判别法具体比较判别法n n与标准级数比较，如几何级数与标准级数比较，如几何级数n n比值判别法（比值判别法（dAlembert判别法）判别法）n n根式判别法（根式判别法（Cauchy判别法）判别法）r1时级数发散；时级数发散；r=1时不一定。时不一定。n n级数的代数运算级数的代数运算若若 ，n n加减法：两收敛级数的和与差级数仍加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且收敛，且n n乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收乘法：两绝对收敛级
4、数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关敛，且其和与乘积项的排列次序无关k lk lb b0 0b b1 1b b2 2 a a0 0a a0 0b b0 0a a0 0b b1 1a a0 0b b2 2a a1 1a a1 1b b0 0a a1 1b b1 1a a1 1b b2 2a a2 2a a2 2b b0 0a a2 2b b1 1a a2 2b b2 2 n012n n除法是乘法的逆运算除法是乘法的逆运算k lk lb b0 0b b1 1b b2 2 a a0 0a a0 0b b0 0a a0 0b b1 1a a0 0b b2 2a a1 1a a1 1b b0
5、0a a1 1b b1 1a a1 1b b2 2a a2 2a a2 2b b0 0a a2 2b b1 1a a2 2b b2 2 n-101n n复变函数项级数复变函数项级数n n收敛性：收敛性：若复变函数项级数若复变函数项级数在某个区域在某个区域D内所有点处收敛，内所有点处收敛，则称该级数在则称该级数在D内收敛。内收敛。n n一致收敛性一致收敛性n n定义：若对任意定义：若对任意e 0，必有一个不依赖，必有一个不依赖于于z的的N(e)存在，使存在，使 时，有时，有 则函数项级数在则函数项级数在 D 上一致收敛。上一致收敛。n n特殊判别法：特殊判别法：正实常数项收敛级数正实常数项收敛级
6、数 有有 则则 在在 D 上一致收敛。上一致收敛。n n一致收敛级数性质：一致收敛级数性质：连续性：连续性：在有限（开）区域在有限（开）区域D内内 连续，连续，在在D内任意闭区域上内任意闭区域上 一致一致收敛，则和函数收敛，则和函数 在在D内连续。内连续。n n一致收敛级数性质：一致收敛级数性质：积分性质：积分性质：在有限（开）区域在有限（开）区域D内内 解析，解析，在在D内任意闭区域上内任意闭区域上 一致一致收敛，则其和在收敛，则其和在D内解析且可沿内解析且可沿l逐项逐项积分，即积分，即n n一致收敛级数性质：一致收敛级数性质：微商性质：微商性质：在有限（开）区域在有限（开）区域D内内 解析
7、，解析，在在D内任意闭区域上内任意闭区域上 一致一致收敛，则其和在收敛，则其和在D内解析且可逐项微内解析且可逐项微商任意多次，即商任意多次，即n n幂级数幂级数n n定义：定义：主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数；级数；称为以称为以a为中为中心的幂级数。心的幂级数。n n收敛特性：以收敛特性：以a为中心的幂级数为中心的幂级数在某个圆在某个圆 内收敛且绝对收敛内收敛且绝对收敛在在 上绝对一致收敛上绝对一致收敛在圆外在圆外 发散发散收敛圆收敛圆 收敛半径收敛半径收敛收敛发散发散n nAbel定理：定理：幂级数幂级数 在某点在某点 处处收敛收敛 它在它在 上
8、收敛且绝对收敛上收敛且绝对收敛 它在它在 上绝对一致收敛上绝对一致收敛证：（利用比较判别法）证：（利用比较判别法）级数级数 在在 内收敛内收敛 收敛收敛n n推论：若幂级数在某点推论：若幂级数在某点 处发散，则处发散，则它在它在 处发散处发散n n收敛半径的求法（比值或根式判别法）收敛半径的求法（比值或根式判别法）n n幂级数运算性质：幂级数运算性质：幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分、逐项微商。任意次逐项积分、逐项微商。例例1例例23.2 泰勒级数及解析延拓泰勒级数及解析延拓nTaylor展开定理：展开定理：已知已知f(z)在在z=a处解析
9、，处解析，z0为为f(z)距离距离a点最近的奇点，则点最近的奇点，则 其中其中 ，且展开唯一。，且展开唯一。证：证：1）利用解析函数的积分特征）利用解析函数的积分特征 Cauchy积分公式积分公式 2）将）将 展开为以展开为以a为中心的幂级数为中心的幂级数 3）逐项积分）逐项积分 4）再利用）再利用Cauchy导数公式导数公式具体计算：具体计算：展开：展开：逐项积分：逐项积分：利用导数公式：利用导数公式：唯一性：唯一性：n nTaylor展开方法：展开方法：n n基本方法（基本方法（Taylor展开定理）展开定理）n n特殊方法（幂级数运算）特殊方法（幂级数运算）线性运算线性运算 乘除运算乘除
10、运算 复合运算复合运算 微积分运算微积分运算n nTaylor展开例子：展开例子：例例1 求求 ez 在在 邻域的邻域的Taylor 展开。展开。解：因为解：因为 故故收敛半径收敛半径例例2 求求 ez 在在 邻域的邻域的Taylor 展开。展开。解：因为解：因为 故故收敛半径：收敛半径：例例3 求求 和和 在在 z=0 邻域的邻域的Taylor 展开展开类似的有类似的有例例4 求求 在在 z=0 邻域的邻域的Taylor展开展开例例5 求求 （a为任意复常数）为任意复常数）在在z=0邻域的泰勒展开邻域的泰勒展开当当a 整数时，整数时，f(z)为多值函数，须在指定叶为多值函数，须在指定叶上展开
11、。上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上是其支点，若取负实轴上(-,-1)为割线，规定为割线，规定 （k为整数）为整数）-1-因因所以有所以有例例6 求求 在在z=1邻域的泰勒展开邻域的泰勒展开若取负实轴若取负实轴(-,0)为割线，规定为割线，规定 （k为整数）为整数）因因有积分有积分代入并逐项积分代入并逐项积分无穷远点邻域的无穷远点邻域的Taylor展开：展开：若存在若存在R使使f(z)在以在以z=0为圆心为圆心R为半径的圆为半径的圆外（包括外（包括z=）解析）解析 只需作变换只需作变换n n解析延拓解析延拓n n延拓：定义域扩大延拓：定义域扩大n n定义：定义：函数函数f(z)在在d上解析
12、，如果能够把它的解上解析，如果能够把它的解析区域扩大，即析区域扩大，即 在在D内解析内解析 （）这种延拓称为这种延拓称为d上解析函数由上解析函数由d到到D-d的的解析延拓。解析延拓。n n唯一性定理：唯一性定理：若在区域若在区域D内两解析内两解析函数函数 Fk,k=1,2，在，在D上内某条曲线上内某条曲线l上上 相等则必在整个相等则必在整个区域区域D内相等。内相等。（证明：利用级数特征）（证明：利用级数特征）n n解析延拓方法解析延拓方法n n基本方法：基本方法：利用解析函数级数或积分特征利用解析函数级数或积分特征利用解析函数级数或积分特征利用解析函数级数或积分特征例：例：3.3 洛朗级数及奇
13、点分类洛朗级数及奇点分类n非正整幂级数非正整幂级数n n非正整幂级数非正整幂级数 非负整幂级数非负整幂级数收敛收敛发散发散n n收敛性：收敛性：n n在圆外在圆外 收敛且绝对收敛；收敛且绝对收敛；n n在在 上绝对一致收敛，上绝对一致收敛，n n在圆内在圆内 发散；发散；n n在圆外在圆外 定义一个解析函数定义一个解析函数收敛收敛发散发散PP根据根据Taylor展开定理，展开定理，在在 z=点解析的函数可点解析的函数可以在其邻域展开为非正以在其邻域展开为非正整幂级数整幂级数n nLaurent级数级数n n定义：整幂级数定义：整幂级数 称为以称为以a为为中心的洛朗级数；它由非负整幂级数和中心的
14、洛朗级数；它由非负整幂级数和非正整幂级数组成非正整幂级数组成n n收敛性：收敛性：n n在以在以a为中心的环内为中心的环内 收敛收敛且绝对收敛且绝对收敛n n其和在环内解析其和在环内解析n nLaurent展开定理：展开定理：已知已知f(z)在环内在环内 解析，则解析，则 ，其中其中 c为环内将为环内将z=a围在其内的任意光滑曲线。围在其内的任意光滑曲线。且展开唯一。且展开唯一。证：证：复通区域复通区域Cauchy积分公式积分公式把被积函数展开为幂级数把被积函数展开为幂级数 逐项积分逐项积分解析函数的积分特征解析函数的积分特征n n几点说明：几点说明：n n若函数若函数f(z)在在 内解析，则
15、展开内解析，则展开退化为泰勒展开退化为泰勒展开n n尽管洛朗展开系数尽管洛朗展开系数an的公式与泰勒的公式与泰勒展开系展开系数的积分公式形式一样，但一般来说数的积分公式形式一样，但一般来说n nLaurent展开方法：展开方法：n n基本方法：展开公式基本方法：展开公式n n特殊方法：利用幂级数运算特殊方法：利用幂级数运算n n线性运算线性运算n n乘积运算乘积运算n n复合运算复合运算n n微积分运算微积分运算例例 1 求求 在环内在环内 的洛朗展开的洛朗展开n n基本方法：基本方法：n n特殊方法：特殊方法：例例 2 求求 在环内在环内 的的洛朗展开洛朗展开例例 3 在在 的邻域内将的邻域
16、内将 展开展开为洛朗级数为洛朗级数例例 4 在在 的邻域内将的邻域内将 展开展开为洛朗级数为洛朗级数n奇点分类：孤立奇点与非孤立奇点奇点分类：孤立奇点与非孤立奇点 已知已知z=z0是单值函数是单值函数f(z)的奇点，若在的奇点，若在其一个邻域内除它外都解析，则称其一个邻域内除它外都解析，则称z=z0为函数的孤立奇点，否则称为非孤立为函数的孤立奇点，否则称为非孤立奇点。奇点。z0z0 邻域邻域几个例子：几个例子：n n函数函数 ，z=0,i,为其孤为其孤立奇点；立奇点；n n函数函数 仅在仅在Re(z)=0处可导，所以复平面上所有点均为非孤处可导，所以复平面上所有点均为非孤立奇点立奇点;n n函
17、数函数 奇点为奇点为z=0和满足和满足方程方程 的点即的点即为孤立奇点为孤立奇点;为非孤立奇点。为非孤立奇点。n n孤立奇点分类：孤立奇点分类：n n有限孤立奇点分类：设有限孤立奇点分类：设z=z0是是f(z)有限孤立有限孤立奇点且有洛朗展开奇点且有洛朗展开 按展开中负幂项的个数分类：按展开中负幂项的个数分类：n n可去奇点：展开中不含负幂项可去奇点：展开中不含负幂项n nm阶极点：展开中含有有限个负幂项阶极点：展开中含有有限个负幂项n n本性奇点：展开中含有无穷多个负幂项本性奇点：展开中含有无穷多个负幂项几个例子：几个例子：n nz=1是函数是函数 的一阶极点的一阶极点n nz=0是函数是函
18、数 的本性奇点的本性奇点n n 无穷远孤立奇点分类：设无穷远孤立奇点分类：设z=是是f(z)的孤立的孤立奇点且在其邻域有洛朗展开奇点且在其邻域有洛朗展开 按展开中正幂项的个数分类：按展开中正幂项的个数分类：n n可去奇点：展开中不含正幂项可去奇点：展开中不含正幂项n nm阶极点：展开中含有有限个正幂项阶极点：展开中含有有限个正幂项n n本性奇点：展开中含有无穷多个正幂项本性奇点：展开中含有无穷多个正幂项几个例子：几个例子：n nz=是函数是函数 的的5阶极点阶极点n nz=是函数是函数 的本性奇点的本性奇点n n 孤立奇点分类：孤立奇点分类：按极限分类：按极限分类：n n可去奇点：可去奇点：n
19、 n单极点：单极点：n nm阶极点：阶极点：n n本性奇点：本性奇点：不存在不存在例子：例子：n nz=0是函数是函数 e1/z 的本性奇点，在的本性奇点，在0z 的环的环域内，它的域内，它的 Laurent 级数为级数为1.z 沿正实轴沿正实轴0 时，时，1/z ,故故 e1/z 2.z 沿负实轴沿负实轴0 时，时，1/z ,故故 e1/z 3.z 沿虚轴，按沿虚轴，按i/(2n)0 时，时，e1/z 14.z 按序列函数函数函数函数 e e1/1/z z 的实部与虚部的实部与虚部的实部与虚部的实部与虚部n n孤立奇点类型判断：孤立奇点类型判断：n n奇点的判断：（解析的判断）奇点的判断：（
20、解析的判断）初等函数无意义的点（支点除外）初等函数无意义的点（支点除外）n n孤立奇点的判断：（解析性的判断）孤立奇点的判断：（解析性的判断）三大特征：（导数、积分、级数）三大特征：（导数、积分、级数）n n孤立奇点类型的判断：孤立奇点类型的判断：n n基本法则：（洛朗展开和极限特征）基本法则：（洛朗展开和极限特征）n n特殊法则：特殊法则：n n特殊法则：特殊法则：一个函数加减（乘除）在一个函数加减（乘除）在z点解析（且不点解析（且不为零）的函数不改变为零）的函数不改变z点的奇点类型点的奇点类型若若z点是点是f(z)的本性奇点，是的本性奇点，是g(z)的非本性的非本性孤立奇点，则孤立奇点，则
21、z点是点是f g,fg,f/g的本性奇点的本性奇点函数函数f(z)对对z微商不改变其（有限）孤立奇微商不改变其（有限）孤立奇点类型，但改变极点阶数；对无限孤立奇点类型，但改变极点阶数；对无限孤立奇点，微商可能将极点变成可去奇点点，微商可能将极点变成可去奇点有限点有限点z是函数是函数f(z)的的m阶零点阶零点 有限点有限点z是是1/f(z)的的m阶极点阶极点n n有限阶支点：有限阶支点：作变换作变换在在 平面单叶圆环上展开平面单叶圆环上展开1.1.1.1.无负幂项：解析型支点；无负幂项：解析型支点；2.2.2.2.有限个负幂项：极点型支点有限个负幂项：极点型支点3.3.3.3.无限个负幂项：本性
22、奇点型支点无限个负幂项：本性奇点型支点例：例：求求 在在 z0=0 的展开的展开 z0=0为一阶支点。作变换为一阶支点。作变换 在在 平面单叶圆环上展开平面单叶圆环上展开小结小结n n引入新运算：复变函数无穷级数运算引入新运算：复变函数无穷级数运算n n解解析析函函数数的的级级数数特特征征：TaylorTaylor展展开开定定理理和和LaurentLaurent展开定理展开定理n n奇奇点点的的分分类类：孤孤立立奇奇点点与与非非孤孤立立奇奇点点；孤孤立奇点的分类：级数特征和极限特征立奇点的分类：级数特征和极限特征n n本章基本要求：本章基本要求：TaylorTaylorTaylorTaylor展开和展开和展开和展开和LaurentLaurentLaurentLaurent展开展开展开展开孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类