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1、第四章 级数1 复数项级数11.复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作此时也称复数列an收敛于a.2定理一定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是证 如果 ,则对于任意给定的e0,就能找到一个正数N,当nN时,3反之,如果42.级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和.如果部分和数列sn收敛,5定理二定理二
2、级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an,tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和,由定理一,sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在,即级数 和 都收敛.6定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.7定理三定理三证8910另外,因为 的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.11解 1)因122)由于 an=n cos in=n ch n,因此,当n时,an.所以an发散
3、.例2 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?解 1)因 发散;收敛,故原级数发散.132)因 ,由正项级数的比值审敛法知 收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.3)因 收敛;也收敛,故原级数收敛.但因为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.142 幂级数151.幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.16存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(
4、z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于D内的某一点z0,极限s(z)称为级数 的和函数17这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为 ,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:18定理一(阿贝尔Abel定理)z0 xyO19证2021222.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外
5、都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.23显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy24当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.
6、在收敛圆上是否收敛,则不一定.25例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数,部分和为26273.收敛半径的求法2829303132例2 求下列幂级数的收敛半径333435364.幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.3738更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.3940Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛41423)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即434445464748