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1、2.12.1随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性2.22.2平稳随机过程平稳随机过程2.32.3高斯随机过程高斯随机过程2.42.4随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.52.5窄带随机过程窄带随机过程2.62.6正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 第第 2 2 章随机信号分析章随机信号分析返回主目录第第 2 章章 随机过程随机过程 2.1 2.1 随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性 随机过程随机过程 信号参数变化过程分成为两类。信号参数变化过程分成为两类。1 1）、信信号号参参数数变变化化过过程程具具有有必必然然的的变变化化规规律律，用用
2、数数学学语语言言来来说说，其其变变化化过过程程可可以以用用一一个个或或几几个个时时间间t t的的确确定定函函数数来来描描述述，这这类类过过程程称称为为确确定定性性过过程程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。2 2）、信信号号参参数数变变化化过过程程没没有有一一个个确确定定的的变变化化规规律律，用用数数学学语语言言来来说说，这这类类事事物物变变化化的的过过程程不不可可能能用用一一个个或或几几个个时时间间t t的的确确定定函函数数来来描描述述，这这类类过过程程称称为为随随机机过过程程。下下面面我我们们给给出出一一个个例子：例子：在相同的工作环境和测试条件下
3、记录n台性能完全相同的接收机输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随随机机过过程程的的定定义义：设设S Sk k(k=1,(k=1,2,2,)是是随随机机试试验验。每每一一次次试试验验都都有有一一条条时时间间波波形形，称称为为样样本本函函数数或或实实现现，记记作作x xi i(t)(t)，所所有有可可能能出出现现的的结结果果的的总总体体xx1 1(t),(t),x x2 2(t)(t)，,x xn n
4、(t)(t)，就就构构成成一一随随机机过过程程，记记作作(t)(t)。(t)(t)代代表表随随机机过过程程，表表示示无无穷穷多多个个样本函数的总体样本函数的总体，如图，如图 2-1 2-1 所示。所示。图 2-1样本函数的总体 上上例例中中接接收收机机的的输输出出噪噪声声波波形形也也可可用用图图 2 2-1 1 表表示示：把把对对接接收收机机输输出出噪噪声声波波形形的的观观测测看看作作是是进进行行一一次次随随机机试试验验，每每次次试试验验之之后后，(t)(t)取取图图中中所所示示的的样样本本空空间间中中的的某某一一样样本本函函数数，至至于于是是空空间间中中哪哪一一个个样样本本，在在进进行行观观
5、测测前前是是无无法法预预知知的的，这这正正是是随随机机过程随机性的具体表现。其过程随机性的具体表现。其基本特征基本特征体现在两个方面：体现在两个方面：1 1）、它是一个时间函数；）、它是一个时间函数；2 2）、在在固固定定的的某某一一观观察察时时刻刻t t1 1，全全体体样样本本在在t t1 1时时刻刻的的取取值值(t(t1 1)是一个不含是一个不含t t变化的随机变量。变化的随机变量。随随机机过过程程是是依依赖赖时时间间参参数数的的一一族族随随机机变变量量。随随机机过过程程具具有有随随机机变变量量和和时时间间函函数数的的特特点点。在在以以下下研研究究随随机机过过程程时时正正是是利利用用了了这
6、两个特点。这两个特点。随机过程的统计特性随机过程的统计特性 由由于于随随机机过过程程具具有有两两重重性性，可可以以用用与与描描述述随随机机变变量量相相似似的的方方法，法，来描述它的统计特性。来描述它的统计特性。设设(t)(t)表表示示一一个个随随机机过过程程，在在任任意意给给定定的的时时刻刻t t1，其其取取值值(t(t1 1)是是一一个个一一维维随随机机变变量量。而而随随机机变变量量的的统统计计特特性性可可以以用用分分布布函函数数或或概概率率密密度度函函数数来来描描述述。我我们们把把随随机机变变量量(t(t1 1)小小于于或或等等于于某某一一数值数值x x1 1的概率的概率P P(t(t1
7、1)x)x1 1，简记为简记为 F F1 1(x(x1 1,t,t1 1)即即 F F1 1(x(x1 1,t,t1 1)=P)=P(t(t1 1)x)x1 1 (2.1-1)(2.1-1)上上式式称称为为随随机机过过程程(t)(t)的的一一维维分分布布函函数数。如如果果F F1 1(x(x1 1,t t1 1)对对x x1 1的偏导数存在，即有的偏导数存在，即有 则则称称f f1 1(x(x1 1,t t1 1)为为(t)(t)的的一一维维概概率率密密度度函函数数。显显然然，随随机机过过程程的的一一维维分分布布函函数数或或一一维维概概率率密密度度函函数数仅仅仅仅描描述述了了随随机机过过程程在
8、在各各个个孤孤立立时时刻刻的的统统计计特特性性，而而没没有有说说明明随随机机过过程程在在不不同同时时刻刻取取值值之间的内在联系，为此需要进一步引入之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数二维分布函数。任任给给两两个个时时刻刻t t1 1,t t2 2，则则随随机机变变量量(t(t1 1)和和(t(t2 2)构构成成一一个个二二元元随随机变量机变量(t(t1 1),(t),(t2 2)，F F2 2(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2)=P)=P(t(t1 1)x)x1 1,(t,(t2 2)x)x2 2 (2.1-3)(2.1-3)称为随机过程称为随机过程(t)(t)
9、的的二维分布函数。二维分布函数。概率密度函数是概率分布函数的导数 则称则称f f2 2(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2)为为(t)(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数。同同理理，任任给给t t1 1,t t2 2,t tn n，则则(t)(t)的的n n维维分分布布定定义义为为：Fn(xFn(x1 1,x,x2 2,x,xn n;t;t1 1,t,t2 2,t,tn n)=P)=P(t(t1 1)x1,(t)x1,(t2 2)x)x2 2,(t(tn n)x)xn n 如果存在如果存在 则则称称f fn n(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n;t t1 1,
10、t,t2 2,t,tn n)为为(t)(t)的的n n维维概概率率密密度度函函数数。显显然然，n n越越大大，对对随随机机过过程程统统计计特特性性的的描描述述就就越越充充分分，但但问问题题的的复复杂杂性性也也随随之之增增加加。在在一一般般实实际际问问题题中中，掌掌握握二维分布函数就已经足够了。二维分布函数就已经足够了。随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分分布布函函数数或或概概率率密密度度函函数数虽虽然然能能够够较较全全面面地地描描述述随随机机过过程程的的统统计计特特性性,但但在在实实际际工工作作中中，有有时时不不易易或或不不需需求求出出分分布布函函数数和和概概率率密密度度函函数数，而而用用
11、随随机机过过程程的的数数字字特特征征来来描描述述随随机机过过程的统计特性，更简单直观。程的统计特性，更简单直观。1.1.数学期望数学期望 设设随随机机过过程程(t)(t)在在任任意意给给定定时时刻刻t t1 1的的取取值值(t(t1 1)是是一一个个随随机机变变量，其概率密度函数为量，其概率密度函数为f f1 1(x(x1 1,t,t1 1)，则，则(t(t1 1)的数学期望为的数学期望为 注注意意，这这里里t t1 1是是任任取取的的，所所以以可可以以把把t t1 1直直接接写写为为t,t,x x1 1改改为为x,x,这这时时上上式式就就变变为为随随机机过过程程在在任任意意时时刻刻的的数数学
12、学期期望望，记记作作a(t)a(t)，于是于是 a(t)a(t)是是时时间间t t的的函函数数，它它表表示示随随机机过过程程的的n n个个样样本本函函数数曲曲线的摆动中心，即线的摆动中心，即均值均值。2.2.方差方差（2.23）2 2（2.24）D D(t)(t)常记为常记为 2 2(t)(t)。方方差差等等于于均均方方值值与与数数学学期期望望平平方方之之差差。它它表表示示随随机机过过程程在在时刻时刻t t对于均值对于均值a(t)a(t)的偏离程度。的偏离程度。均均值值和和方方差差都都只只与与随随机机过过程程的的一一维维概概率率密密度度函函数数有有关关，因因而而它它们们描描述述了了随随机机过过
13、程程在在各各个个孤孤立立时时刻刻的的特特征征。为为了了描描述述随随机机过过程程在在两两个个不不同同时时刻刻状状态态之之间间的的联联系系，还还需需利利用用二二维维概概率率密密度引入新的数字特征。度引入新的数字特征。3.3.相关函数相关函数 衡衡量量随随机机过过程程在在任任意意两两个个时时刻刻获获得得的的随随机机变变量量之之间间的的关关联联程程度度时时，常常用用协协方方差差函函数数B(tB(t1 1,t t2 2)和和相相关关函函数数R(tR(t1 1,t t2 2)来来表表示示。协方差函数定义为协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2)=f2(x1,x2;t1,t
14、2)dx1dx2 式式中中，t t1 1与与t t2 2是是任任取取的的两两个个时时刻刻；a(ta(t1 1)与与a(ta(t2 2)为为在在t t1 1及及t t2 2时刻得到的数学期望；时刻得到的数学期望；f f2 2(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2)为二维概率密度函数。为二维概率密度函数。相关函数相关函数定义为定义为 R(t1,t2)=（2.26）二者关系为 B(t1,t2)=R(t1,t2)a(t1)a(t2)(2.27)1 1）、若）、若a(ta(t1 1)=0)=0或或a(ta(t2 2)=0)=0，则，则B(tB(t1 1,t,t2 2)=R(t)=R(t
15、1 1,t,t2 2)。2 2）、若）、若t t2 2t t1 1，并令，并令t t2 2=t=t1 1+，则，则R(tR(t1 1,t,t2 2)可表示为可表示为 R(t R(t1 1,t,t1 1+)+)。3）、若、若t t2 2=t=t1 1 ，R R（0 0）=E=E2 2（t)t)均方值均方值 以以上上分分析析表表明明：相相关关函函数数依依赖赖于于起起始始时时刻刻t t1 1及及t t2 2与与t t1 1之之间间的的时时间间间间隔隔,即即相相关关函函数数是是t t1 1和和 的的函函数数。协协方方差差和和相相关关函函数数可可以以描描述随机过程随时间的变化程度述随机过程随时间的变化程
16、度越平缓越大，反之越小。越平缓越大，反之越小。由于B(tB(t1 1,t t2 2)和R(tR(t1 1,t t2 2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差自协方差函数和自相关自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互互协协方方差差及互互相相关关函函数数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为：B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2)而互相关函数定义为：R(t1,t2)=E(t1)(t2)2.2平稳随机过程平稳随机过程 定义定义 平平稳稳随随机机过过程程是是指指它它的的统统计计特特性性不不随随时时间间的的推推移移而而变变化化。设随机
17、过程(t)，tT,若对于任意n和任意选定t1t2tn,tkT，k=1,2,n，以及为任意值，且x1,x2,xnR，有fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=fn(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)(2.3-1)则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有 f1(x1,t1)=f1(x1)和 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)以上两式可由式（2.3-1）分别令n=1和n=2,并取=-t1得证。于是，平稳随机过程(t)的均值 为一常数，这
18、表表示示平平稳稳随随机机过过程程的的各各样样本本函函数数围围绕绕着着一一水水平平线线起起伏伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差 2 2(t)=(t)=2 2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数:R(t1,t2)=E(t1)(t1+)=仅仅是是时时间间间间隔隔=t=t2 2-t-t1 1的的函函数数，而而不不再再是是t t1 1和和t t2 2的的二二维维函函数数。以以上上表表明明，平平稳稳随随机机过过程程(t)(t)具具有有“平平稳稳”的的数数字字特特征征：它它的的均均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔
19、有关有关，即即 R(t1,t1+)=R()注注意意到到式式（2.3 2.3-1 1）定定义义的的平平稳稳随随机机过过程程对对于于一一切切n n都都成成立立，这这在在实实际际应应用用上上很很复复杂杂。但但仅仅仅仅由由一一个个随随机机过过程程的的均均值值是是常常数数，自自相相关关函函数数是是 的的函函数数还还不不能能充充分分说说明明它它符符合合平平稳稳条条件件，为为此此引引入另一种平稳随机过程的定义入另一种平稳随机过程的定义：设设有有一一个个二二阶阶随随机机过过程程(t)(t)，它它的的均均值值为为常常数数，自自相相关关函函数数仅仅是是 的的函函数数，则则称称它它为为宽宽平平稳稳随随机机过过程程或
20、或广广义义平平稳稳随随机机过过程程。相相应应地地，称称按按式式（2.3 2.3-1 1）定定义义的的过过程程为为狭狭义义平平稳稳随随机机过过程程。因因为为广广义义平平稳稳随随机机过过程程的的定定义义只只涉涉及及与与一一维维、二二维维概概率率密密度度有有关关的的数数字字特特征征，所所以以一一个个狭狭义义平平稳稳随随机机过过程程只只要要它它的的均均方方值值E E 2 2(t)(t)有有界界，则则它它必必定定是是广广义义平平稳稳随随机机过过程程，但但反过来一般不成立。反过来一般不成立。通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的信信号号及及噪噪声声，大大多多数数可可视视为为平平稳稳的的随随机机过过程程。以以
21、后后讨讨论论的的随随机机过过程程除除特特殊殊说说明明外外，均均假假定定是是平平稳的，稳的，且均指广义平稳随机过程，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程简称平稳过程。各态历经性各态历经性 平平稳稳随随机机过过程程在在满满足足一一定定条条件件下下有有一一个个有有趣趣而而又又非非常常有有用用的的特特性性，称称为为“各各态态历历经经性性”。这这种种平平稳稳随随机机过过程程，它它的的数数字字特特征征（均均为为统统计计平平均均）完完全全可可由由随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现的的数数字字特特征征（均均为为时时间间平平均均）来来替替代代。也也就就是是说说，假假设设x(t)x(t)是是平平稳稳随随机机
22、过过程程(t)(t)的的任任意意一一个个实实现现，它它的的时时间间均均值值和和时时间间相相关关函数分别为函数分别为如果平稳随机过程使下式成立如果平稳随机过程使下式成立：则称该平稳随机过程具有各态历经性。则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各各态态历历经经”的的含含义义：随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现都都经经历历了了随机过程的所有可能状态随机过程的所有可能状态。意意义义：无无需需（实实际际中中也也不不可可能能）获获得得大大量量用用来来计计算算统统计计平平均均的的样样本本函函数数，而而只只需需从从任任意意一一个个随随机机过过程程的的样样本本函函数数中中就就可可获获得得它它的的所所有有的的
23、数数字字特特征征，从从而而使使“统统计计平平均均”化化为为“时时间间平平均均”，使实际测量和计算的问题大为简化。，使实际测量和计算的问题大为简化。注注意意：具具有有各各态态历历经经性性的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程，但但平平稳稳随随机机过过程程不不一一定定是是各各态态历历经经的的。在在通通信信系系统统中中所所遇遇到到的随机信号和噪声，的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 对对于于平平稳稳随随机机过过程程而而言言，它它的的自自相相关关函函数数是是特特别别重重要要的的一一个个函函数数
24、。其其一一，平平稳稳随随机机过过程程的的统统计计特特性性，如如数数字字特特征征等等，可可通通过过自自相相关关函函数数来来描描述述；其其二二，自自相相关关函函数数与与平平稳稳随随机机过过程程的的谱谱特特性性有有着着内内在在的的联联系系。因因此此，我我们们有有必必要要了了解解平平稳随机过程自相关函数的性质。稳随机过程自相关函数的性质。设设(t)(t)为实平稳随机过程，为实平稳随机过程，则它的自相关函数则它的自相关函数 R()=E(t)(t+)具有下列主要性质：具有下列主要性质：（1）R(0)=E2(t)=S (t)的平均功率 （2）R()=E2(t)(t)的直流功率 这里利用了当时，(t)与(t+
25、)没有依赖关系，即统计独立，且认为(t)中不含周期分量。（3）R()=R(-)的偶函数这一点可由定义式（2.2-6）得证。（4）|R()|R(0)R()的上界 （5）R(0)-R()=2 方差，(t)的交流功率 当均值为0时，有R(0)=2。平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度1 1、平稳随机过程、平稳随机过程(t)(t)的功率谱密度的功率谱密度P P()()随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 式中，FT()是f(t)的截短函数fT(t)（见图 2-2）所对应的频谱函数。我们可
26、以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数(t)的平均功率S则可表示成 上式给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度P()，但很难直接用它来计算功率谱。2 2、功率谱、功率谱P P()()与相关函数与相关函数 确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即其傅里叶反变换为于是于是 R（0）因为
27、R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，P()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系,即 或简记为 R()P()以以上上称称为为维维纳纳-辛辛钦钦关关系系，它它是是联联系系频频域域和和时时域域两两种种分分析析方方法法的的基基本本关关系系式式。在在平平稳稳随随机机过过程程的的理理论论和和应应用用中中是是一一个个非常重要的工具。非常重要的工具。根根据据上上述述关关系系式式及及自自相相关关函函数数R()R()的的性性质质，不不难难推推演演功功率谱密度率谱密度P P()()有如下性质：有如下性质：（
28、1）P()0，非负性；（2.2-20）（2）P(-)=P()，偶函数。（2.2-21）随机过程随机过程宽平稳随机过程宽平稳随机过程各态历经性各态历经性统计平均统计平均 算术平均算术平均维纳维纳-辛钦关系辛钦关系R(t1,t1+)=R()R()P()YN例 2 1某随机相位余弦波 (t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。（1）求(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论(t)是否具有各态历经性。解 (1)先考察(t)是否广义平稳。若(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间 间隔有关，(t)为广义平稳随机过程。1、(t)的数学期望为 2、(t)的自相
29、关函数为 (t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔有关，所以(t)为广义平稳随机过程。根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R()P()，则因为 cosc (-c)+(+c)所以，功率谱密度为 P()=(-c)+(+c)平均功率为 S=R(0)=(2)现在来求(t)的时间平均。根据式（2.2-6）可得 比较统计平均与时间平均，得a=,R()=，因此，随机相位余弦波是各态历经的。2.3高斯随机过程高斯随机过程 定义定义 若随机过程(t)的任意n维（n=1,2,）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn;t
30、1,t2,tn)式中,ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即1 b12 b1n2B21 1 b2n3Bn1 bn2 1|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且 重要性质重要性质 （1）由式(2.3-1)可以看出,高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。（2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也
31、是狭义平稳的。（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk有bjk=0，这时式（2.5-1）变为fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=(2.3-2)也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。=f(x1,t1)f(x2,t2)f(xn,tn)式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 2-3所示。由式（2.3-3）和图2-3可知f(x)具有如下特性：(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)且有 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为图2-3
32、 正态分布的概率 3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即 这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：（1）误差函数和互补误差函数。误差函数的定义式为 它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即 erfc
33、(x)=1-erf(x)=它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x2)即可近似有 （2）概率积分函数和Q函数。概率积分函数定义为(x)=(2.3-10)这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数，有()=1。Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为 比较式（2.3-8）与式（2.3-10）和式（2.3-11），可得 现在让我们把以上特殊函数与式（2.3-6）进行联系，以表示正态分布函数F(x)。若对式（2.3-6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/，就有dz=dt，再与式（2.3
34、-10）联系，则有 F(x)=(2.3-15)若对式（2.3-6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/，就有dz=dt，再利用式（2.3-5），则不难得到 用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。F(X)=高斯白噪声高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 P()=(2.3-17)这种噪声被称为白白噪噪声声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即 R()=这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机
35、变量都是互不相关的。图 2-5画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。(P25)如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高高斯斯白白噪噪声声。应当指出，所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。2.4随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？1、平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立
36、在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即vo(t)=vi(t)*h(t)=若 vo(t)Vo(),vi(t)Vi(),h(t)H()，则有 V Vo o()=H()V()=H()Vi i()()(2.8-2)若线性系统是物理可实现的，则 vo(t)=或 如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足式（2.8-2）的关系。这样，就整个过程而言，便有 o(t)=(2.4-5)假定输入i
37、(t)是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程o(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。1.输出过程o(t)的数学期望:对式（2.4-5）两边取统计平均，有 式中利用了平稳性假设Ei(t-)=Ei(t)=a(常数)。又因为 求得H(0)=所以Eo(t)=aH(0)由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且Eo(t)与t无关。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 Ro(t1,t1+)=Eo(t1)o(t1+)=E 根据平稳性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-)有Ro(t
38、1,t1+)=h()h()Ri(+-)dd=Ro()可见,o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度 对上式进行傅里叶变换,有令则有即 可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。当我们想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接计算Ro()要简便得多。例 2 带带限限白白噪噪声声。试求功率谱密度为n0/
39、2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为H()=K0e-jt 0 其他 解 由上式得|H()|2=，|H。输出功率谱密度为Po()=|H()|2Pi()=，|H 可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，在此范围外则为零，如图 2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数 式中，H=2fH。由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。如图
40、 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数Ro()在=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:Ro(0)=n0fH 总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即4.输出过程输出过程o(t)的概率分布的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过下式，即 由于i(t)已假设是高斯型的，所以：1、在任一时刻的每项i(t-k)h(k)k都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也
41、是高斯随机变量。2、这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。3、但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。2.5窄带随机过程窄带随机过程 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所所谓谓窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度ffcffc，且且f fc c远远离离零零频频率率的的系系统统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2-6(b)所
42、示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。图2-6 窄带过程的频谱和波形示意 因此，窄带随机过程(t)可用下式表示:(t)=a(t)cosct+(t),a(t)0(2.5-1)等价式为(t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.5-2)其中c(t)=a(t)cos(t)(2.5-3)s(t)=a(t)sin(t)(2.5-4)式中,a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。由式（2.5-1）至(2.5-4)看出，(t)的统计特性可由a(t)
43、，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为2。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。1.数数学期望学期望 对式（2.5-2）求数学期望:E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct (2.5-5)可得:Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.5-6)2.自相关函数自相关函数 R(t,t+)=E(t)(t+)=Ec(t)cosct-s(
44、t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t+)cosct cosc(t+)-Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)-Rsc(t,t+)sinctcosc(t+)+Rs(t,t+)sinctsinc(t+)式中Rc(t,t+)=Ec(t)c(t+)Rcs(t,t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t,t+)=Es(t)c(t+)Rs(t,t+)=Es(t)s(t+)因为(t)是平稳的，故有 R(t,t+)=R()这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔有关。若取使sinct=0 的所有t值，则式（2.5-7）应变为 R()=Rc(
45、t,t+)cosc-Rcs(t,t+)sinc(2.5-8)这时，显然应有 Rc(t,t+)=Rc()Rcs(t,t+)=Rcs()所以，式（2.5-8）变为 R()=Rc()cosc-Rcs()sinc (2.5-9)再取使cosct=0的所有t值，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5-10)其中应有 Rs(t,t+)=Rs()Rsc(t,t+)=Rsc()由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程(t)是平稳的，则c(t)与s(t)也必将是平稳的。进一步分析，式（2.5-9）和式（2.5-10）应同时成立，故有 Rc()=Rs()(2.5-11)Rcs()
46、=-Rsc()(2.5-12)可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有 Rcs()=Rsc(-)将上式代入式（2.5-12），可得 Rsc()=-Rsc(-)(2.5-13)同理可推得Rcs()=-Rcs(-)(2.5-14)式（2.5-13）、（2.5-14）说明，c(t)、s(t)的互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5-15)于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5-15)于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 R(0)
47、=Rc(0)=Rs(0)(2.5-16)即2=2c=2s (2.5-17)这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。另外，因为(t)是平稳的，所以(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在式（2.5-2）中有 取t=t1=0 时，(t1)=c(t1)取t=t2=32c时，(t2)=s(t2)所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、s(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）可知，c(t)、s(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它
48、的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，c和s的联合概率密度函数为 f(c,s)=f(c)f(s)=设a,的联合概率密度函数为f(a,)，则利用概率论知识，有 f(a,)=f(c,s)根据式（2.5-3）和式（2.5-4）在t时刻随机变量之间的关系 c=acos s=asin 得到 Cos sin-asin acos=于是f(a,)=af(c,s)=注意，这里a0,而在(0，2)内取值。再利用概率论中边际分布知识将f(a,)对积分，可求得
49、包络a的一维概率密度函数为 可见，a服从瑞利分布。同理，f(a,)对a积分可求得相位的一维概率密度函数为f()=可见，服从均匀分布。综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有下式成立：f(a,)=f(a)f()(2.5-23)2.6正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合
50、波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t)(2.6-1)式中,n(t)=nc(t)cosct-ns(t)sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A,c均为常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量。于是 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t)sinct =z(t)cosct+(t)(2.6-2)式中zc(t)=A cos+nc(t)(2.6-3)zs(t)=Asin+ns