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1、第七章第七章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念1在终极的分析中,一切知识都是历史.在抽象的意义下,一切科学都是数学.在理性的世界里,所有的判断都是统计学.-C.R.劳7.1 数理统计学的基本概念数理统计学的基本概念7.1.1 引例7.1.2 统计与数理统计概述7.1.3 总体与样本7.1.4 统计量3引例：某工厂生产大批电子元件.在实际应用中,我们可以提出许多感兴趣的问题1.这批元件的平均寿命如何?2.这批元件的寿命服从什么分布?3.如果你是使用单位.要求平均寿命能达到某个指定的数，例如小时问这批元件可否被接受？4.如何获得所需要的数据？7.1.1 7.1.1 引例引例47.1.2 7.1
2、.2 统计和数理统计学概述统计和数理统计学概述统计学统计学：在日常生活中：在日常生活中.”统计统计”相当于相当于”计数计数”.小至一个家庭小至一个家庭,单位单位,大至国家大至国家,都有许多计数即统都有许多计数即统计的工作计的工作.丹麦统计史学家哈尔德认为丹麦统计史学家哈尔德认为,”统计学统计学”和和”统统计学家计学家”词出于意大利语词出于意大利语:统计学即国情学统计学即国情学,对象是对象是国务活动家感兴趣的事实国务活动家感兴趣的事实,而统计学家则是而统计学家则是”处理处理国务的人国务的人”一、统计浅谈一、统计浅谈5 数理统计数理统计：它是：它是使用概率论和数学的方法使用概率论和数学的方法，研究
3、，研究怎样用有效的方法收集怎样用有效的方法收集（通过试验或观察）带有（通过试验或观察）带有随机误差的数据，随机误差的数据，并在设定的模型并在设定的模型（统计模型）（统计模型）之下，之下，对这种数据进行分析对这种数据进行分析（统计分析）以对所（统计分析）以对所研究的问题作出推断（统计推断）研究的问题作出推断（统计推断）1.数据必须带有随机性的影响数据必须带有随机性的影响,才能成为数理统才能成为数理统计学的研究对象计学的研究对象数据随机性的来源数据随机性的来源：国家国家:StateState.统计学统计学StatisticsStatistics6Example Example 1.全国人口抽样调查
4、全国人口抽样调查Example Example.比较两种小麦品种的优良比较两种小麦品种的优良（）（）是问题中所涉及的研究对象为数很大，我们不是问题中所涉及的研究对象为数很大，我们不可能全部加以研究，而只能用可能全部加以研究，而只能用“一定的方式一定的方式”挑选挑选其中一部分去考察。其中一部分去考察。（）（）数据随机性的另一种来源是试验的随机误差，数据随机性的另一种来源是试验的随机误差，这是指那种在试验过程中未加控制，无法控制，甚至这是指那种在试验过程中未加控制，无法控制，甚至不了解的因素所引起的误差。不了解的因素所引起的误差。7所谓有效的方法所谓有效的方法（）是可以建立一个在数学上可以处理并尽
5、可能简（）是可以建立一个在数学上可以处理并尽可能简单方便的模型来描述所得的数据；单方便的模型来描述所得的数据；（）数据中要包含尽可能多的，与研究的问题（）数据中要包含尽可能多的，与研究的问题有关的信息有关的信息8 从部分推断整体的性质，是一种在从部分推断整体的性质，是一种在对有关信息缺乏完全掌握的情况下进行推对有关信息缺乏完全掌握的情况下进行推断的方法断的方法 统计规律是关于群体统计规律是关于群体的规律，的规律，“统统计规律计规律”这个提法的启示是：教人看问题这个提法的启示是：教人看问题不可绝对化，因而有思想方法上的意义不可绝对化，因而有思想方法上的意义统计规律未必蕴涵因果关系统计规律未必蕴涵
6、因果关系数数理理统统计计的的特特点点归纳与演绎归纳与演绎统计规律与因果关系统计规律与因果关系二、数理统计的特点二、数理统计的特点:9Example 2Example 2:吸烟与肺癌的关系吸烟增加患肺癌，其他癌症以及诸如心脏病等严重疾病的危险，英国学者多尔与希尔从伦敦家医院中收集了名肺癌病人以及对照组另名患肺癌者的吸烟情况的资料，按吸烟斗还是纸烟，男或女，将烟吞进肺里与否等指标分类Example 1Example 1.设想有一枚价值高的钻石，想用一架天平尽可能准确地称出它的重量有多少？10统计结论统计结论:吸烟与患肺癌呈明显的正相关吸烟与患肺癌呈明显的正相关.如何理解这个统计规律的意义如何理解这
7、个统计规律的意义?首先首先,统计规律是关于群体的规律。统计规律是关于群体的规律。可能会有疑问：群体是抽象的，每件事都必须可能会有疑问：群体是抽象的，每件事都必须落实到具体的个体，患不患肺癌是每个人的事，这落实到具体的个体，患不患肺癌是每个人的事，这样关于群体中的趋势的规律有何意义？样关于群体中的趋势的规律有何意义？这种规律反映了某种客观存在的现实这种规律反映了某种客观存在的现实,有科学和有科学和认识意义。认识意义。对个体有警戒作用。对个体有警戒作用。11统计应用实例：1 1 孟德尔遗传定律的发现；孟德尔遗传定律的发现；中国患中国患SARSSARS的病人的死亡率是多少；的病人的死亡率是多少；太阳
8、黑子的活动有周期性的规律吗？太阳黑子的活动有周期性的规律吗？124.4.股票分析系统股票分析系统 5.5.经济统计分析经济统计分析 总体总体 选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值(数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质 统计量统计量 为了集中简单随机样本所带来的总体信息为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考考虑样本的函数虑样本的函数,且不含任何未知参数且不含任何未知参数,这样的这样的“不不含未知参数的样本的函数含未知参数的样本的函数”称为称为统计量统计量。统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布.15 对随机现象进行观测、试
9、验，对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理、对已取得的观测值进行整理、分析分析,作出推断、决策作出推断、决策,从而找出从而找出所研究的对象的规律性所研究的对象的规律性数数理理统统计计的的分分类类描述统计学描述统计学推断统计学推断统计学16参数估计 假设检验回归分析方差分析推断统计学推断统计学推断统计学17总体总体 研究对象全体元素组成的集合研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标,是一个随机变量或多维随机变量.若为一个随机变量,可记为X.例如,某钢铁厂生产的钢锭的强度.X 的分布函数和数字特征称为总体的的分布函数
10、和数字特征称为总体的分布函数和数字特征分布函数和数字特征.总体和样本总体和样本 7.1.3 基本概念基本概念18抽样抽样 做随机试验并记录其结果样本样本 从总体中抽取的部分个体进行观测.称 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示样本，n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.个体个体 组成总体的每一个元素 个体的数量指标,可以看作随机变量 X的某个取值.用 表示.19 设 是来自总体 X 的一个样本,它满足:一般地,对有限总体对有限总体,采用放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.当总体中个体的数目总体中个体的数目N
11、 与样与样本容量本容量 n 之比之比N/n 1010时时,可将不放回抽可将不放回抽样近似地看作放回抽样样近似地看作放回抽样.(1)与X 有相同的分布有相同的分布(2)独立性:相互独立相互独立则称 为简单随机样本为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本20设总体 X 的分布函数为F(x),为总体 X 的简单随机样本,若总体X 的概率密度函数为f(x),则 的联合概率密度函数为则 的联合分布函数为21设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量随机变量为统计量为统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义统计量统计量22例例 是未知参数,但不是统计量.是
12、一样本,是统计量,其中则若 ,已知,则为统计量23常用的统计量常用的统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量24为样本的样本的k k 阶原点矩阶原点矩为样本的样本的k k 阶中心矩阶中心矩25例如(5)顺序统计量顺序统计量设为样本,为样本值,且当取值为时,定义随机变量则称统计量为顺序统计量顺序统计量.其中,26 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的关系的关系故证明证明:1）27推导推导 设则2）28例例1 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240
13、,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解解令29则30例例2 2 设总体X 的概率密度函数为为总体的样本,求(1)(1)的数学期望与方差(2)(3)解解(1)31(近似),(3)由中心极限定理(2)32 7.3 统计量的分布统计量的分布 确定统计量的分布 抽样分布,是数理统计的基本问题之一.由于正态总体是最常见的总体,故本节 介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.问题：问题：计算往往很复杂方法：方法：求随机向量的函数的分布可得到抽样分布.33(1)(1)正态分布正态分布则特别地,则统计中常用分布统计中常用分布若i.i.d.若i.i.d.34(2)(2)分布分布 (n为自由度)定义定义 设相互独立相互独立,且都服从标准正态分布且都服从标准正态分布N(0,10,1),则n=1 时,其密度函数为35n=2 时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.36一般地,其中，在x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n 的37n=2n=3n=5n=10n=15 38分布的性质分布的性质39相互独立,证证 1设则40 作作 业业习题七 1，2,341