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1、1主要内容：主要内容：v随机过程的基本概念及其统计特性随机过程的基本概念及其统计特性 v连续时间随机过程的微分和积分连续时间随机过程的微分和积分 v随机过程的平稳性和遍历性随机过程的平稳性和遍历性 v联合平稳随机过程联合平稳随机过程v正态随机过程正态随机过程 v马尔可夫链马尔可夫链 第1页/共49页2随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 随机过程随机过程 与时间相关与时间相关 第2页/共49页31.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性 自然界事物的变化分为两大类：自然界事物的变化分为两大类：确定性确定性过程过程和和随机随机过程过程。确定性过程：确定性过程：1 1）每次
2、试验得到的观测）每次试验得到的观测 过程都相同。过程都相同。2 2）具有确定形式的变化）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时过程，或可用一个时 间间t的确定函数表示。的确定函数表示。随机过程：随机过程：1 1）每次试验得到的观测）每次试验得到的观测 过程都不同。过程都不同。2 2）没有确定的变化形式）没有确定的变化形式 或不能用一个时间或不能用一个时间t 的确定函数表示。的确定函数表示。正弦信号正弦信号示波器的噪声电压示波器的噪声电压第3页/共49页4一一定义定义 1.1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测从试验可知，每次得到的结果不同，
3、且变化的规律从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律不能用不能用一个一个确定的函数来描述确定的函数来描述噪声电压的起伏波形噪声电压的起伏波形 第4页/共49页52 2、观察具有随机振幅、观察具有随机振幅 或随机相位或随机相位 的电压波形的电压波形若若A A和和 为常数，为常数，是（是（0 0，2 2）的随机取值的随机变）的随机取值的随机变量，电压波形为量，电压波形为随机相位信号随机相位信号 第5页/共49页6若 和 为常数，是随机取值的随机变量，电压波形为随机振幅信号随机振幅信号 第6页/共49页7样本函数：样本函数：，都是，都是时间的函数，称为样本函数。时间的函数，称为样本函数。随机性：
4、一次试验，随机过程必取一个样随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是随机性。因此，随机过程不仅是时间时间t的函数，还是可能结果的的函数，还是可能结果的函数，记为函数，记为，简写成，简写成。第7页/共49页8=3 3、随机过程的定义、随机过程的定义定义定义1 1：设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=S=，对其每一个元素，对其每一个元素 都以某种法则确定一个样本函数都以某种法则确定一个样本函数 ，由全部，由全部元素元素 所确定的所确定的一族样本函数一族样本函数 称为随机过程，简记称为随机过程，简记为为
5、 。第8页/共49页9定定 义义 2 2 ：设设有有一一个个过过程程 X X(t t)，若若对对于于每每一一个个固固定定的的时时刻刻 ，是一个随机变量，则是一个随机变量，则X(t)X(t)称为随机过程。称为随机过程。第9页/共49页10随机过程的一般表征随机过程的一般表征随机过程随机过程样本函数集合样本函数集合 为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参量量。随机过程常用大写字母。随机过程常用大写字母 表示，样本函表示，样本函数常用小写字母数常用小写字母 表示，表示，k表示第表示第k个样本函数。个样本函数。样本变量集合样本变量集合随机过程随机过程第
6、10页/共49页11上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说：随机过程。具体的说：作观测时，常用作观测时，常用定义定义1，这样通过观测的试验，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用对随机过程作理论分析时，常用定义定义2，这样，这样可以把随机过程看成为可以把随机过程看成为n维随机变量，维随机变量，n越大采样越大采样时间越小，所得到的统计特性越准确。时间越小，所得到的统计特性越准确。第11页/共49页12随机过程随机过程四种不同情况下的理解：四种不同情况下的理解：一个随机过
7、程一个随机过程 一个确知的时间函数一个确知的时间函数一个随机变量一个随机变量一个确定值一个确定值1 和和 都是变量都是变量2 是变量而是变量而 固定固定3固定而固定而是变量是变量 4 和和都固定都固定 第12页/共49页13二二 随机过程的分类随机过程的分类 1按随机过程的时间和状态来分类按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程连续型随机过程：对随机过程任一时刻：对随机过程任一时刻的的取值取值都是连续型随机变量。都是连续型随机变量。离散型随机过程离散型随机过程：对随机过程任一时刻：对随机过程任一时刻的的取值取值都是离散型随机变量。都是离散型随机变量。第13页/共49页14离散随机序列：随机
8、过程的时间离散随机序列：随机过程的时间t只能取只能取某些时刻，如某些时刻，如，2，.，n，且这，且这时得到的随机变量时得到的随机变量是离散型随机变是离散型随机变量，即时间和状态是离散的。相当于采样后量，即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化。再量化。连续随机序列：随机过程的时间连续随机序列：随机过程的时间t只能取只能取某些时刻，如某些时刻，如，2，.，n，且这，且这时得到的随机变量时得到的随机变量是连续型随机变是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。过程的采样。第14页/共49页15状态状态时刻时刻连续型随机过程连续型随机过程连续
9、连续连续连续连续随机序列连续随机序列连续连续离散离散离散型随机过程离散型随机过程离散离散连续连续离散随机序列离散随机序列离散离散离散离散随机过程按时间和状态的分类随机过程按时间和状态的分类第15页/共49页162按样本函数的形式来分类按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。波形。确定的随机过程：随机过程的任意样本函确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。号。第16页/共49页173按
10、概率分布的特性来分类按概率分布的特性来分类高斯随机过程高斯随机过程瑞利随机过程瑞利随机过程对数正态随机过程对数正态随机过程马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程4按统计特性来分类按统计特性来分类平稳随机过程平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程5按随机过程在频域的带宽分类按随机过程在频域的带宽分类宽带随机过程宽带随机过程窄带随机过程窄带随机过程白噪声白噪声有色噪声有色噪声第17页/共49页18三三随机过程的概率分布随机过程的概率分布 随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率函数族中哪一个函数（样本）出现时是服
11、从某种概率分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描述方法。述方法。1、概率密度函数概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、或概率分布函数的描述方法是全面、完整的描述方法。完整的描述方法。2、数字特征数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的宏观、概括的描述方法。是的宏观、概括的描述方法。统计特性的描述方法分为两个大类：统计特性的描述方法分为两个大类：第18页/共49页19 当仪器记录随机过程当仪器记录随机过程
12、X(t)的变化过程时候，一般不可的变化过程时候，一般不可能能也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定在确定时时刻刻t1,t2,tn上的量。上的量。由随机过程的定义可知，在确定由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为值上，随机过程变为随随机变量，仪器记录的结果是机变量，仪器记录的结果是n维随机变量维随机变量X(t1),X(t2),X(tn)，如果说记录时间间隔如果说记录时间间隔t=ti-ti-1相当小相当小(n足够大足够大)时，多维时，多维随随机变量机变量 X(t1),X(t2),X(tn)可以足够完整表示出随机过可以足够完整表示出随
13、机过程程X(t)。在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替替对随机过程的研究，且对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当取值越大，代替的越精确。当n时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无无穷大情况的自然推广。穷大情况的自然推广。第19页/共49页20一维概率分布函数一维概率分布函数 随机过程随机过程X(t)X(t)在任意在任意t ti i T T的取值的取值X(tX(t1 1)是一维随机变量。是一维随机变量。概率概率PX(tPX(t1 1)x)x1 1 是取值是取值x
14、x1 1，时刻，时刻t t1 1的函数，记为的函数，记为F Fx x(x(x1 1;t;t1 1)=PX)=PX(t(t1 1)x)x1 1，称作随机过程，称作随机过程X(t)X(t)的一维分布函数。的一维分布函数。随机变量：随机变量：随机过程：随机过程：若若 的偏导数存在，连续随机过程概率密度函的偏导数存在，连续随机过程概率密度函数为数为一维概率密度函数一维概率密度函数 一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映随机过程在不同时刻状态之间的联系
15、。随机过程在不同时刻状态之间的联系。随机过程统计特性：概率分布函数随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数概率密度函数第20页/共49页21二维概率分布函数二维概率分布函数 FX(x1,x2;t1,t2)=PX(t1)x1,X(t2)x2 为了描述在任意两个时刻为了描述在任意两个时刻t t1 1和和t t2 2的状态间的内在联系的状态间的内在联系,可以引入二维随机变量可以引入二维随机变量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2)的分布函数的分布函数F FX X(x(x1 1,x,x2 2；t t1 1,t,t2 2)，它是二随机事件，它是二随机事件X(tX(t1 1)x)x1 1 和和
16、X(tX(t2 2)x)x2 2 同时出现同时出现的概率，即的概率，即称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的二维分布函数。的二维分布函数。若若F FX X(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2)对对x x1 1，x x2 2的二阶混合偏导存在，即的二阶混合偏导存在，即 为随机过程为随机过程X(X(t)的二维概率密度。的二维概率密度。二维概率密度函数二维概率密度函数注意：注意：X(X(t1 1)及及X(X(t2 2)为同一随机过程上的随机变量。为同一随机过程上的随机变量。二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反应出随机
17、过程的全部统计特性。能完整的反应出随机过程的全部统计特性。第21页/共49页22n 维概率分布函数和概率密度函数维概率分布函数和概率密度函数随机过程随机过程 在任意在任意n个时刻个时刻 的取值的取值 构成构成n维随机变量维随机变量 即为即为n维空间的随机矢量维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随。类似的，可以定义随 机过程机过程 的的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度函数为维概率密度函数为 显然，显然，n越大随机过程的越大随机过程的n n维分布律描述的特性维分布律描述的特性也越趋完善，理论上说，可以无限增加也越趋完善，理论上说，可以无限增加n，使，使 n 维维分布律更加全面地反应分布律更加
18、全面地反应X(X(t)的统计特性，但实际上，的统计特性，但实际上，n 越大分析处理会变得越复杂。越大分析处理会变得越复杂。第22页/共49页23性质：性质：若若 统计独立，则有统计独立，则有 第23页/共49页24四四随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机随机变量变量的数字特征的数字特征（期望、方差、相关系数）（期望、方差、相关系数）通常是通常是确定值确定值。随机随机过程过程的数字特征的数字特征（期望、方差、相关函数期望、方差、相关函数）通常是通常是确定性函数确定性函数。随机过程的数字特征的计算方法随机过程的数字特征的计算方法:先把时间先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法固定，然后用随机
19、变量的分析方法来计算。来计算。第24页/共49页251数学期望（均值函数）数学期望（均值函数）显然，显然，是某一个是某一个平均函数平均函数，随机过，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：随机过程的均值是时间随机过程的均值是时间t的函的函数，称为数，称为均值函数。均值函数。物理意义物理意义：如果随机过程表示：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。统计平均值。第25页/共49页26 统计均值是对随机过程中统计均值是对随机过程中所有样本函数所有样本函数在时间在
20、时间t的所的所有取值进行概率加权平均，所以又称为有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均集合平均。它反。它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律，映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本是所有样本函数在各个时刻摆动的中心。函数在各个时刻摆动的中心。第26页/共49页272 2 均方值和方差均方值和方差 随机过程随机过程 在任一时刻在任一时刻t的取值是一个随的取值是一个随机变量机变量 。我们把。我们把 二阶原点矩称为随机过二阶原点矩称为随机过程的程的均方值均方值，把二阶中心矩记作随机过程的，把二阶中心矩记作随机过程的方差方差。即即：且且 方方差、均方值都是时间差、均方值都是时间t的函数
21、，描述了随的函数，描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望的分散程度。机过程诸样本函数围绕数学期望的分散程度。第27页/共49页28物理意义：物理意义：如果如果 表示噪声电压，则表示噪声电压，则均方值均方值 表示消耗在单位电阻上的瞬表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值。时功率统计平均值。方差方差 表示消耗在单位电阻上的瞬时交表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值。流功率统计平均值。标准差：标准差：实际应用中，标准差用它作为描述随机过实际应用中，标准差用它作为描述随机过程散布程度的指标。程散布程度的指标。第28页/共49页29方差方差-单位电阻上的电压单位电阻上的电压-消耗在单位电阻上的瞬
22、时功率消耗在单位电阻上的瞬时功率-消耗在单位电阻上的瞬时交流功率消耗在单位电阻上的瞬时交流功率-消耗在单位电阻上的瞬交流功率的消耗在单位电阻上的瞬交流功率的 统计平均值统计平均值消耗在单位电消耗在单位电阻上的总的平阻上的总的平均功率均功率平均交流平均交流功率功率平均直流平均直流功率功率第29页/共49页303自相关函数自相关函数 数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过程不同时间的内在联系。程不同时间的内在联系。比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。比较具有相同数
23、学期望和方差的两个随机过程。第30页/共49页31自相关函数用来描述自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状随机过程任意两个时刻状态之间的内在联系，通常态之间的内在联系，通常用用 描述。描述。描述了整个随机过程描述了整个随机过程任任意两个不同时刻意两个不同时刻的内在关的内在关系：线性相关性系：线性相关性若若则则第31页/共49页32自相关函数的物理意义自相关函数的物理意义自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关 函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，
24、其相关性函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性 应是最强的，所以应是最强的，所以 最大。最大。反映不同随机过程的波形变化反映不同随机过程的波形变化第32页/共49页334自协方差函数自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协自协方差函数方差函数，简称，简称协方差函数协方差函数。用。用表表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。程度。中中心心化化自自相相关关函函数数第33页/共49页34自协方差和自相关函数的关系自协方差和自
25、相关函数的关系 自协方差和方差的关系自协方差和方差的关系令令则则自相关系数自相关系数 第34页/共49页35随机过程的随机过程的不相关不相关和和独立独立以及以及正交正交的关系：的关系：如果如果,则称则称 和和 是是不相关不相关的。的。如果如果 ,则称则称 和和 是是正交正交的。的。如果如果则称随机过程在则称随机过程在和和时刻的状态是相互时刻的状态是相互独立独立的。的。正交正交独立独立不相关不相关充分条件充分条件正态随机过程正态随机过程第35页/共49页36例：求随机相位正弦波例：求随机相位正弦波的数字期的数字期望，方差及自相关函数。式中，望，方差及自相关函数。式中，为常数，是为常数，是区间区间
26、0，上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。解：由题可知：解：由题可知：数学期望数学期望第36页/共49页37方差方差第37页/共49页38自相关函数自相关函数第38页/共49页39例例 设随机过程设随机过程 ，其中，其中V V是在（是在（0 0，1 1）是均）是均 匀分布的随机变量，求过程匀分布的随机变量，求过程X X（t t）的均值和自相）的均值和自相 关函数。关函数。第39页/共49页40解解 由于由于X和和V之间有确定的函数关系之间有确定的函数关系x=vt，使用求随机变，使用求随机变 量函数的期望值运算的规则：量函数的期望值运算的规则：有有相关函数：相关函数：第40页/共49页41
27、例例 设随机振幅信号为设随机振幅信号为 其中其中 为常数，为常数，V是标准正态随机变量。是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方 差函数。差函数。第41页/共49页42解解第42页/共49页43五五随机过程的特征函数随机过程的特征函数1一维特征函数一维特征函数随机过程随机过程在任一特定时刻在任一特定时刻t的取值是的取值是一维随机变量，其特征函数为一维随机变量，其特征函数为:其反变换为：其反变换为：n阶矩阶矩第43页/共49页442二维特征函数二维特征函数其反变换为：其反变换为：第44页/共49页453n维特征函数维特征函数第45页/共49页46例例 设设 为相互独立的随机变量序列，为相互独立的随机变量序列，其分布为其分布为 求随机过程求随机过程 的一维分布。的一维分布。第46页/共49页47若 存在，则有 设 ，为常数，则n维随机变量 的特征函数为设 的特征函数为 ，而 的特征函数为 ，则 相互独立的充要条件为47第47页/共49页48解解Xk的特征函数为：的特征函数为：Yk的特征函数为：的特征函数为：由特征函数的定义可得：由特征函数的定义可得：第48页/共49页49感谢您的观看！第49页/共49页