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1、第5章 矩阵MATLAB为工程技术人员提供了方便、强大的数值计算功能。同一般的计算机语言不同的是，MATLAB是一种边解释边执行的语言，其风格更像数学语言，因此工程人员在利用MATLAB解决数学问题时，并不需要很多编程方面的知识，只需懂得基本的MATLAB语法即可。MATLAB为用户提供了大量的数值计算函数，这些函数封装了一些常用的数值计算功能。利用这些数值计算函数，用户能够从繁琐的编程工作中解放出来，集中精力于问题的解决思路。本书将数值计算分为三章分别讨论，包括本章及下一章的初等数值计算和第13章的高级数值计算。初等数值计算是数值计算的基础部分，包括矩阵的基本代数运算，矩阵分析、初等函数分析
2、、数理统计分析，本章主要讨论与矩阵相关的矩阵基本代数运算、矩阵分析、稀疏矩阵等内容。5.1 矩阵基本代数运算矩阵是MATLAB基本的运算单元，矩阵基本代数运算是MATLAB数值计算最基础的部分，包括矩阵的加、减、乘、除四则运算、幂运算、比较运算和逻辑运算。读者要特别注意矩阵的按位运算和矩阵运算的差别，矩阵的按位运算是对矩阵各元素的运算，而矩阵的矩阵运算是依据线性代数中定义的运算。这里对本节所涉及矩阵的相关数学符号作一个统一，矩阵用大写字母表示，如、；矩阵的第行、列元素用带下标的小写字母表示，如、；表示的转置矩阵；表示的Hermite转置。5.1.1 矩阵加、减5.1.2 矩阵乘法5.1.3 矩
3、阵除法矩阵除法是矩阵乘法的逆运算，MATLAB中的矩阵乘法算子有两种，如表。5.1.4 矩阵的幂5.1.5 矩阵的按位运算矩阵的按位运算定义为矩阵各元素的运算，这是MATLAB中经常用到的一种运算方式。矩阵的按位运算符前面一般有一个（.）作为前导符，下面列出了矩阵的几种按位运算符。5.2 矩阵分析矩阵分析在解线性方程组、信号处理、控制理论等方面有重要应用，本节以求解线性方程组为切入点，引出MATLAB中矩阵分析相关的一系列内容，包括矩阵行列式、条件数，矩阵的秩，矩阵特征值和特征向量，矩阵分解，矩阵的谱分析等。5.2.1 求解线性方程信号处理、控制理论、物理学等领域中的很多问题都可以归结到下面的
4、线性方程组5.2.2 矩阵行列式关于矩阵行列式的相关定义这里不作赘述，如有疑问，请参考任何一本线性代数方面的书籍。如N阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵A非奇异，否则A奇异。当线性方程系数矩阵非奇异，则线性方程有唯一解。对N阶方阵A，MATLAB中由函数得到行列式，下面是求N阶方阵行列式的例子。5.2.3 矩阵的逆上一小节中，当线性方程系数矩阵A非奇异，即时，方程有唯一解，该唯一解由下式得到：x=Ab。这里的Ab定义为A-1*b，A-1为A的逆矩阵。A-1满足AA-1=A-1A=I。其中I为N阶单位矩阵。MATLAB中inv(A)求A的逆矩阵A-1。以下是逆矩阵应用的一些例子，这些例子也验
5、证了前文给出的关于逆矩阵的性质。5.2.4 矩阵条件数5.2.5 矩阵范数范数是从整体上描述向量或矩阵元素大小的度量，对MN矩阵A，常用的范数有以下几种：5.2.6 矩阵的秩5.2.7 矩阵特征值和特征向量5.2.8 矩阵分解矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积。中提到的EVD即是一种矩阵分解。表列出了一些常用的矩阵分解及其对应的MATLAB实现函数。5.2.9 矩阵函数5.3 稀疏矩阵利用计算机对大型矩阵进行数值计算时，需要考虑的一个问题是存储和执行效率的问题。稀疏矩阵的提出，
6、正是为了解决这一问题。从数学性质上看，稀疏矩阵与一般的矩阵没有差别，但在数据存储和执行算法上有着很大的不同。本节在讲述稀疏矩阵时，经常与一般矩阵作对比，使读者对稀疏矩阵的概念和使用方法有一个更加透彻的理解。本节中将一般的矩阵称为全矩阵（Full Matrix），以区别于稀疏矩阵。5.3.1 稀疏矩阵与全矩阵5.3.2 稀疏矩阵的创建与转换MATLAB提供了一系列的函数用于稀疏矩阵的创建，如表所示。5.3.3 稀疏矩阵的操作一般地，能用于全矩阵的操作函数对稀疏矩阵都是有效的，并且具有相似的操作规则，如下：下标寻访赋值函数。用于矩阵拼接的函数，如cat，horzcat、vertcat、repmat
7、，若输入参数中有一个为稀疏矩阵，则返回结果为稀疏矩阵。矩阵变形函数，如ctranspose、flipdim、fliplr、flipud、reshape、rot90、transpose，这些函数都是单输入函数，若输入为稀疏矩阵，则返回结果也为稀疏矩阵。矩阵结构信息函数，如isempty、isscalar、isvector、length、ndims、numel、size。矩阵数据类型信息函数，如ischar、isfloat、isinteger、islogical、isnumer、icisreal，这些函数对稀疏矩阵输入同样返回稀疏矩阵。5.3.4 稀疏矩阵的运算一般矩阵的四则运算对稀疏矩阵都是有效的，但是返回结果有可能是稀疏矩阵或者是全矩阵，这要视具体情况而定。对于单个稀疏矩阵的输入，很多函数都返回稀疏矩阵，但也有一部分函数返回全矩阵。对于多个矩阵输入，若其中有一个以上的全矩阵，则大部分的函数都将返回全矩阵。对于二元元算，如矩阵的加减、乘、除，只要其中有一个为全矩阵，则结果返回全矩阵；稀疏矩阵与标量的加减法返回全矩阵。稀疏矩阵的数乘为稀疏矩阵。稀疏矩阵的幂仍然是稀疏矩阵。