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1、12-1 12-1 概概 述述第第1212章章 结构矩阵分析结构矩阵分析 * *1.1.结构矩阵分析方法（属有限元法）结构矩阵分析方法（属有限元法）:分析杆件结构分析杆件结构* *2.2.结构矩阵分析基本思路：结构矩阵分析基本思路：先分后合，即先拆后搭先分后合，即先拆后搭* *3.3.矩阵力法与矩阵位移法简介矩阵力法与矩阵位移法简介2. 结构矩阵分析基本思路结构矩阵分析基本思路 简单概括为：简单概括为：“先分再合，拆了再搭先分再合，拆了再搭” 根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行成原结构，进行整体分析整体分析建立结点力与结点建立结点力与结点
2、位移之间的关系（结构刚度方程）位移之间的关系（结构刚度方程） 。返返 回回 将结构离散成有限的单元，进行将结构离散成有限的单元，进行单元分析单元分析建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。方程）。 解算刚度方程，完成结构计算。解算刚度方程，完成结构计算。结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标，结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标， “对号入座、同号相加对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。组集整体刚度矩阵。二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题1、用直接刚度法组集刚度矩阵单元
3、刚度矩阵单元刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵 (1)(1)2222(1)(1)2121(1)(1)1212(1)(1)1111(1)(1)k k k kk k k kk k1221 (2)(2)3333(2)(2)3232(2)(2)2323(2)(2)2222(2)(2)k k k kk k k kk k2332 (2)(2)3333(2)(2)3232(2)(2)2323(2)(2)2222(1)(1)2222(1)(1)2121(1)(1)1212(1)(1)1111k k k k 0 0 k k k kk k k kk k k kK K0 2332112 22 22 22 21 11
4、11 11 14i4i 2i2i 0 0 2i2i 4i4i4i4i 2i2i2i2i 4i4i0 233211练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。整体刚度矩阵 (1)(1)2222(1)(1)2121(1)(1)1212(1)(1)1111(1)(1)k k k kk k k kk k1221 (2)(2)3333(2)(2)3232(2)(2)2323(2)(2)2222(2)(2)k k k kk k k kk k2332 (3)(3)4444(3)(3)4343(3)(3)3434(3)(3)3333(2)(2)3333(2)(2)3232(2)(2
5、)2323(2)(2)2222(1)(1)2222(1)(1)2121(1)(1)1212(1)(1)1111k k k k k k k kk k k k k k k kk k k kk k k kK K0000 0 0 233211 3 33 33 33 32 22 22 22 21 11 11 11 14i4i 2i2i2i2i 4i4i4i4i 2i2i 2i2i 4i4i4i4i 2i2i2i2i 4i4i 0 0 00 0 0 (3)(3)4444(3)(3)4343(3)(3)3434(3)(3)3333(3)(3)k k k kk k k kk k3443单元刚度矩阵解：4423
6、1432142211 1i i2 2i i1333 3i i4三、用有限单元法计算例三、用有限单元法计算例12-1（P18）1、确定结点、划分单元、建立坐标系；、确定结点、划分单元、建立坐标系；3、求单元刚度矩阵：、求单元刚度矩阵：4、求整体刚度矩阵：、求整体刚度矩阵：2、求（等效）结点荷载矩阵：、求（等效）结点荷载矩阵：5、建立整个结构的刚度方程：、建立整个结构的刚度方程：6、引入支承条件，修改刚度方程：、引入支承条件，修改刚度方程：7、解方程，求结点位移：、解方程，求结点位移：8、绘内力图。、绘内力图。12.4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换一、整体坐标系与局部坐标系一、整体
7、坐标系与局部坐标系 1 1、两种坐标系建立的必要性、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须进行坐标变换。进行坐标变换。2 2、整体坐标系、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。3 3、局部坐标系：、局部坐标系： 专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。将以上方程组写成矩阵的形式：将以上方程组写成矩阵的形式： 43214321cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin0 0 sin cos FFFFFFFF 进一步
8、：进一步： (e)(e)(e)FF称为称为“轴力单元坐标轴力单元坐标变换矩阵变换矩阵”，该矩阵，该矩阵为正交矩阵。为正交矩阵。 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin0 0 sin cos )(e正交矩阵的特点：正交矩阵的特点： （1 1）任一行或任一列元素的平方和等于）任一行或任一列元素的平方和等于1 1； （2 2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。）不同行或列对应元素乘积之和等于零。 T1(e)(e)二、先处理法二、先处理法 1、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位移分量编码，直接建立移分量编码，直接建
9、立“修正的整体刚度方程修正的整体刚度方程”的方法。的方法。 2、有关先处理法的基本概念、有关先处理法的基本概念（1）位移分量编码）位移分量编码a）仅对未知的独立位移分量编码）仅对未知的独立位移分量编码b）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。123)1 ,0 ,0(1)4 ,3 ,2(2)7 ,6 ,5(3)8 ,6 ,5(4)0 ,0 ,0(5xyxxx1231(0,1,2)5 ,4 ,3(2)6 ,4 ,3(3)9 ,8 ,7(45(10,0,0)xyxxx（4）练习：试确定图示结构坐标系，并对结点、单元、位移分量进）练习：试确定图示结构坐标
10、系，并对结点、单元、位移分量进行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。 T)3(110 1 9 8 6 5m T)3(7 0 6 5 0 2m 5)3 ,2(JE4)3 , 1(JE 5)3 ,2(JE4)3 , 1(JE 4)3 ,3(JN0)3 ,2(JN2)3 , 1(JN7JN(3,3)6JN(2,3)5JN(1,3)略去轴向变形略去轴向变形y123)1 ,0 ,0(1)3 ,0 ,2(2)4 ,0 ,2(3
11、)5 ,0 ,2(4)0 ,0 ,0(8xxxx)7 ,0 ,6(5)8 ,0 ,6(6)10,9 ,6(7)11,9 ,0(9456xxx考虑轴向变形考虑轴向变形123)1 ,0 ,0(1)4 ,3 ,2(2)7 ,6 ,5(3)8 ,6 ,5(4)0 ,0 ,0(8xyxxx)11,10,9(5)12,10,9(6)15,14,13(7)17,16,0(9456xxx2 2、整个结构的等效结点荷载、整个结构的等效结点荷载 将单元等效结点荷载按将单元等效结点荷载按“单元定位编码单元定位编码”累加到整个累加到整个结构的等效结点荷载中去：结构的等效结点荷载中去：元号元号个非结点荷载作用的单个非结
12、点荷载作用的单第第非结点荷载总数非结点荷载总数 j ejnf 将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷载相加，可得综合结点荷载：载相加，可得综合结点荷载： edcppp 综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原结构的支座反力、杆端位移；而综合结点荷载作用下的结构的支座反力、杆端位移；而综合结点荷载作用下的杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。四、综合结点荷载的确定四、综合结点荷载的确定 )ej(nf1jeepp 例题：例题： 求图示结构综合结点荷载。求图示结构综
13、合结点荷载。解：解：、建立坐标系；、建立坐标系；、确定结点、划分单元、确定结点、划分单元1、（局）单元固端力：、（局）单元固端力：2、单元等效结点荷载：、单元等效结点荷载：3 12ql 2ql -0 12ql -2ql -0F 8pl 2pl -0 8pl -2pl -0F T222FT1F ）（）（ 1 0 0 0 0 0 0cx cy 0 0 0 0 cy- 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0cx cy0 0 0 0 cy- p )1()1()1(ecxcxFfT 8pl 2p0 8pl2p0 8pl0 - 2p 8pl0 2pT 0 0 12 3 4 TfTF 12ql-
14、 2ql 0 12ql 2ql 0 p 22)2()2()2(e 2 3 40 05ppMql2l2l2xyxx1)500( 3,2) 100( 1,xyxx1)432(2, T22T5e 4e32e1ee12ql 12ql8pl 2ql 2p 8l p p p p p pp 12345 Td0 M p0 0 p 12345 T22edc12ql -M12ql8pl- p2ql 2p 8plppp 12345 TfTF)2(22)2()2()2(e12ql- 2ql 0 12ql 2ql 0 p 234005 )1()1()1(e p fTF 8pl0 - 2p 8pl0 2p(1)T 0 0
15、12344、结构等效结点荷载、结构等效结点荷载5、直接作用在结点上的荷载、直接作用在结点上的荷载6、综合结点荷载、综合结点荷载练习：练习： 求图示结构综合结点荷载。求图示结构综合结点荷载。 T322123213edc8lpM 12qlM p 8lp12ql8pl 2ql2p 2pppp 1234562xyx1324xyxx32x x11 12p3p1Mql2l2l1p2l2l2M12.8 平面杆件结构分析举例平面杆件结构分析举例一、解题步骤一、解题步骤（1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。对单元
16、、结点、及结点位移分量进行编号。（2）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。 （3）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。 （4）建立整个结构的刚度矩阵。）建立整个结构的刚度矩阵。 （5）求综合结点荷载。）求综合结点荷载。 （6）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。 （7）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。 二、平面杆件结构分析举例（二、平面杆件结构分析举例（P34、p38）4800 0 1200 800 - 0 02400 0 2 1200 -1200 0 - 401200 0 800 1200 -0 1600 KT4030200dPT833315102533333.PPPeeeTmkNkNkNmkN)(.)()()(.PPPedc16672440453333324.166740453.3333 4800 0 1200 800 - 0 02400 0 2 1200 -1200 0 - 401200 0 800 1200 -0 1600 4321(rad.)105.1217(m)101.9567(m)101.2748(rad.)103.30783444