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1、第第1章章向量与矩阵向量与矩阵 矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算，着重讨论方阵的运算，方阵的逆矩阵。第第1章章目录目录第 1.1 节 向量基本知识第 1.2 节 矩阵及其运算第 1.3 节 n阶方阵第 1.4 节 可逆矩阵第第1.1节节向量基本知识向量基本知识1.二维向量和三维向量二维向量和三维向量二维向量（平面向量）二维向量（平面向量）三维向量（空间向量）三维向量（空间向量）2.n维向量维向量n维向量的概念维向量的概念n维向量的线性运算维向量的线性运算n n维向量空间维向量空间 内积内
2、积 返回返回二维向量二维向量定定义义1在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，取取一一个个固固定定点点O为为始始点点（一一般般称称为为原原点点），取取另另一一点点A为为终终点点作作一一线线段段OA，该该线线段段既既有有大大小小又又有有方方向向，这这样样的线段称为的线段称为平面向量平面向量，记作，记作 或或.若向量的终点若向量的终点A与始点与始点O重合，则该向量称为重合，则该向量称为零向量，记作零向量，记作，其大小为零，方向任意，其大小为零，方向任意.1.二维向量和三维向量二维向量和三维向量与向量大小相等，方向相反的向量称为与向量大小相等，方向相反的向量称为 的的负向量，即负向量，即-=-=-.二
3、维向量与三维向量示意二维向量与三维向量示意平面向量平面向量a aMNAB 空间向量A二维二维(平面平面)向量的线性运算向量的线性运算规定：规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等.定义定义2 2平面向量的加法和数乘运算统称线性运算平面向量的加法和数乘运算统称线性运算.定义定义3 3(1)向量加法向量加法 设设，为为两两个个平平面面向向量量，称称+为为这这两两个个向向量量的的和和，-为两个向量的差为两个向量的差.(2)数乘向量数乘向量 称称k k 为为数数k k与与向向量量 的的数数乘乘.k k 是是大大小小为为 的的k k倍倍 的的向向
4、量量，当当k k00时时方方向向与与 相相同同；当当k k00)-ka(k0)二维（平面）向量及线性运算的坐标表示二维（平面）向量及线性运算的坐标表示平平面面解解析析几几何何中中，引引进进了了坐坐标标（或或分分量量）的的概概念念.即即在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，一一个个平平面面向向量量唯唯一一对对应应着着一一个个二二维维有有序数组序数组（a1，a2），），称称a1，a2为该向量的坐标。为该向量的坐标。线性运算可以归结为坐标之间的运算线性运算可以归结为坐标之间的运算二维向量空间二维向量空间xyzo图示三维（空间）向量三维（空间）向量三维向量三维向量定定义义4在在空空间间直直角角坐坐标标
5、系系中中，取取一一个个固固定定点点O为为始始点点（一一般般称称为为原原点点），取取另另一一点点A为为终终点点作作一一线线段段OA，该该线线段段既既有有大大小小又又有有方方向向，这这样样的的线线段段称称为为空间向量空间向量，记作，记作 或或 .三维（空间）向量及线性运算三维（空间）向量及线性运算向量模的坐标表示向量模的坐标表示xyzo三维向量（空间向量）的模和单位向量三维向量（空间向量）的模和单位向量例题例题例例1例例2三维（空间）向量的数量积三维（空间）向量的数量积定义定义5例例3三维（空间）向量的正交三维（空间）向量的正交定义定义6例例4三维向量空间三维向量空间其中第i个数ai称为向量的第i
6、个分量分量.向量一般用,等表示.2.n维向量维向量定义定义6n个数个数a1,a2,an组成的一个有序数组组成的一个有序数组(a1,a2,an)称为称为n维向量维向量.注意注意:(1)本书中本书中n维向量一般指实数域维向量一般指实数域R上上n维向量维向量.(2)当需要区分时，称当需要区分时，称 为列向量，称为列向量，称 T为行向量为行向量.定义定义7零向量零向量:0=(0,0,0)负向量负向量:-=(-a1,-a2,-an)向量相等向量相等:设设=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),称称=,若若ai=bi(i=1,2,n)定义定义8(线性运算线性运算)设设=(a1,a2,an),=(b
7、1,b2,bn),向量加法向量加法+=(a1+b1,a2+b2,an+bn);向量减法向量减法-=(a1-b1,a2-b2,an-bn);向量数乘向量数乘k=(ka1,ka2,kan).n维向量及其运算维向量及其运算设设,0为为n维向量维向量,k,l为数域为数域F中的数中的数,则则1.+=+(加法交换律加法交换律)2.+(+)=(+)+(加法结合律加法结合律)3.+0=4.+(-)=05.k(+)=k+k(数乘分配律数乘分配律)6.(k+l)=k+l(数乘分配律数乘分配律)7.(kl)=k(l)(数乘结合律数乘结合律)8.1=线性运算性质线性运算性质n维向量空间定义维向量空间定义n=1一维空间
8、一维空间直线空间直线空间n=2二维空间二维空间平面空间平面空间n=3三维空间三维空间立体空间立体空间n4n维空间维空间无几何表示无几何表示例例1.1.3某仓库储存某仓库储存4种货物，种货物，A、B、C、D.存储情况见下表存储情况见下表.负号表示调出货物负号表示调出货物.设设ABCD第一次第一次调进调进100250500200第二次第二次调进调进200 1000250现存现存货物量货物量则现存货物量则现存货物量300150500450例例1.1.5已知已知n维向量维向量解解称向量组称向量组 1,1,2 2,，n n为基本单位向量组，为基本单位向量组，称向量称向量 为为基本单位基本单位向量组向量组
9、 1,1,2 2,，n n的线性组合的线性组合.一般地，我们称由线性运算组合成的式子一般地，我们称由线性运算组合成的式子为为s个向量个向量1,2,s的线性组合，的线性组合，i为为n维向量，维向量，ki(i=1，2，,s)为实数为实数.例已知向量已知向量解解注注这里行向量和列向量没有严格区分。这里行向量和列向量没有严格区分。练习练习n维向量的内积、长度维向量的内积、长度1.n维向量的内积维向量的内积定义定义为向量与内积.内积的性质内积的性质2.长度（范数）长度（范数）()()()()()()()()当且仅当当且仅当=0时，时，,=0.称之为向量称之为向量的长度的长度(范数范数).注：长度为注：长
10、度为1的向量的向量,即为单位向量即为单位向量.定义定义3.正交正交定义定义若若，=0，称向量称向量与与正交正交.1.判断下列向量组是否正交？判断下列向量组是否正交？(1)(2,0),(1,1);(2)(2,0,0),(0,1,-1)；不正交不正交正交正交正交正交第第1.2节节矩阵及其运算矩阵及其运算 1.矩阵概念 2.线性运算 3.矩阵乘法 4.矩阵转置 5.矩阵的初等变换返回返回1.矩阵概念矩阵概念注注矩阵一般用大写字母矩阵一般用大写字母A、B，,表示表示.由定义知，确定一个矩阵的两个要素由定义知，确定一个矩阵的两个要素是是维数维数mn及及元素元素.例例1解解例例2牛仔裤具有不同的品牌和型号
11、，某专卖店现库存牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤牌牛仔裤23条条：腰围（英寸）腰围（英寸）数量（条）数量（条）2833011326343库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下：库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下：牌子牌子数量（条）数量（条）L5，5，3，4CF1，7，0，0BO6，2，2，2BA3，0，0，3试通过矩阵将上面的信息表示出来试通过矩阵将上面的信息表示出来.WLCFBOBA28303234每条线上的数字表示连接每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数该两城市的不同通路总数.该图该图提供的通路信息提供的通路信息,试用矩阵形式试用矩阵形式
12、表示表示(称之为通路矩阵称之为通路矩阵).41322例例3（通路矩阵）（通路矩阵）3例4试写出游戏试写出游戏“石头、剪子、布石头、剪子、布”的二人零和对策中的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得分，败者得-1分，平手分，平手各得零分各得零分.甲方乙方011101110例例5 一个公司有一个公司有5家零售店，第一家有家零售店，第一家有10台电视台电视t，15个立体电唱个立体电唱机机s，9个磁带架个磁带架d，12个录音机个录音机r；第二家有第二家有20t，14s，8d，5r；第三家有第三家有16t，8s，15d，6r；第四家有第四家有25t，15s，7d，16
13、r；第五第五家有家有5t，12s，20d，18r.试用矩阵表示试用矩阵表示各家零售店的存货各家零售店的存货.用用行行表表示示商商品品,用用列列表表示示零零售售店店,那那么么下下面面矩矩阵阵表表示示各家零售店的存货各家零售店的存货.这是一个这是一个54矩阵矩阵2.2.矩阵的线性运算矩阵的线性运算矩阵相等矩阵相等矩阵加法矩阵加法矩阵减法矩阵减法数乘矩阵数乘矩阵则称矩阵矩阵A和和B相等相等.记作A=B矩阵相等必须满足矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.矩阵的相等矩阵的相等定义定义设有两个设有两个mn矩阵矩阵称为称为矩阵矩阵A与与B的和的和.记作记作注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算注：
14、只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.矩阵的加法矩阵的加法定义定义设有两个设有两个mn矩阵矩阵接例接例5 已知公司的已知公司的5家零售店关于商品电视家零售店关于商品电视t，立体电唱机立体电唱机s，磁带架磁带架d，录音机录音机r存货存货用矩阵表示如下用矩阵表示如下:若若公公司司又又给给它它的的各各个个零零售售店店发发货货，数数量量为为D，新新的的存存货量分别是多少？货量分别是多少？则现存货量用矩阵表示为则现存货量用矩阵表示为如果该日各个零售店各个商品销售数量为如果该日各个零售店各个商品销售数量为M,则各个零售店当天各种商品则各个零售店当天各种商品剩余数量如何求出剩余数量如何求出?(思考思考)(i)
15、A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(iii)A+O=O+A=A(iv)A-A=A+(-A)=O其中其中A、B、C和零矩阵和零矩阵O是同型矩阵是同型矩阵.例例1矩阵的加法满足下列运算规律矩阵的加法满足下列运算规律解解数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法定义定义数数k与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作kA或或A k，简称数乘，简称数乘，规定为规定为数乘矩阵运算规律：数乘矩阵运算规律：(i)k(A+B)=kA+kB(ii)(k+h)A=kA+h A(iii)k(h A)=(k h)A(iv)1A=A其中其中A、B为为m n 矩阵；矩阵；k、h为数为数.(续续)若公司要求各个零售店年底对现存
16、四种商品若公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折打折10%处理，设处理，设打折前的存货价值矩阵是打折前的存货价值矩阵是V,打折打折后各个后各个零售店零售店四种商品的存货价值是多少呢？四种商品的存货价值是多少呢？利用数乘矩阵可得利用数乘矩阵可得例例2 2解解例例3 3解解引例引例矩阵的乘法矩阵的乘法由已知得由已知得某服装商店一天的销售量如下表：且知某服装商店一天的销售量如下表：且知每条每条W牌牛仔裤的利润是牌牛仔裤的利润是15元；元；每条每条L牌牛仔裤的利润是牌牛仔裤的利润是17.5元；元；CF牌是牌是20元、元、BO牌是牌是12.5元、元、BA牌是牌是20元元.WLCFBOBA2830323
17、4问题问题1.在这一周之内在这一周之内.，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？问题问题2.30号牛仔裤的利润总和是多少？号牛仔裤的利润总和是多少？WLCFBOBA28303234问题问题3.所有牛仔裤的销售利润总和是多少？所有牛仔裤的销售利润总和是多少？设为设为A总利润总利润862.5元元问题问题2.30号牛仔裤的利润总和是多少？号牛仔裤的利润总和是多少？问题问题3.所有牛仔裤的销售利润总和是多少？所有牛仔裤的销售利润总和是多少？矩阵矩阵A与与B的的乘积乘积是一个是一个mn矩阵矩阵矩阵乘法定义矩阵乘法定义注注只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二只有当第一个矩
18、阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.其中其中记作记作C=AB.注注按此定义，一个按此定义，一个1s矩阵与一个矩阵与一个s 1矩阵的乘矩阵的乘积是一个积是一个1阶方阵，也就是一个数阶方阵，也就是一个数.如前例中求得如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和携手销售各个型号牛仔裤利润总和.这表明乘积矩阵这表明乘积矩阵AB=C的第的第i行第行第j列元素列元素cij是是A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.例例4 4解解由该例可知，在一由该例可知，在一般情况下，矩阵的般情况下，矩阵的乘法不满足交
19、换律，乘法不满足交换律，即即 ABBA.且两个非零矩阵的且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵乘积可能是零矩阵.例例5 5解解(i)(AB)C=A(BC);(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)k(AB)=(kA)B=A(k B),(其中其中k为数为数).矩阵的乘法不满足交换律，矩阵的乘法不满足交换律，如果如果AB=BA时时,称称A,B为为可交换可交换矩阵矩阵.矩阵的乘法运算规律矩阵的乘法运算规律 （假设运算都是可行的）（假设运算都是可行的）注意注意矩阵的转置矩阵的转置定义定义把矩阵把矩阵A的行列互换得到一个的行列互换得到一个nm矩阵，称为矩阵，称为A 的转置的转置,
20、记作记作AT.例如例如(i)(AT)T=A(ii)(A+B)T=AT+BT证明证明(iv)记记由矩阵的乘法定义，由矩阵的乘法定义，(AB)T的的一般项为一般项为运算规律运算规律（假设运算都是可行的）（假设运算都是可行的）(iii)(kA)T=k AT(iv)(AB)T=BTAT设设对于多个矩阵相乘，有对于多个矩阵相乘，有解法解法1解法解法2例例6 6综合练习综合练习综合练习综合练习矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义对对mn矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换：矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换：(ii)以非零数以非零数k乘某行的所有元素；乘某行的所有元素；(iii)把某一行的所有元素的把某
21、一行的所有元素的k倍倍加到另一行对应的元素上去加到另一行对应的元素上去.初等行变换：初等行变换：注注将上述定义中将上述定义中“行行”改为改为“列列”即为初等列变换定义即为初等列变换定义.(i)对调两行；对调两行；(i)对调两列；对调两列；(ii)以非零数以非零数k乘某列的所有元素；乘某列的所有元素；(iii)把某一列的所有元素的把某一列的所有元素的k倍倍加到另一列对应的元素上去加到另一列对应的元素上去.初等列变换初等列变换注注初等行（列）变换统称初等变换初等行（列）变换统称初等变换.教材重点讨论初教材重点讨论初等行变换等行变换.例如例如等价矩阵等价矩阵(i)反身性，反身性，AA；(ii)对称性
22、，若对称性，若AB则则BA；(iii)传递性，若传递性，若AB，BC则则AC.定义定义如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵B，称称矩阵矩阵A、B等价等价.注注（1）等价作为一种关系满足以上三个性质）等价作为一种关系满足以上三个性质.（2）等价也可以应用于线性方程组或向量组，）等价也可以应用于线性方程组或向量组，例如线性方程组与其同解方程等价等等例如线性方程组与其同解方程等价等等.矩阵等价关系满足以下性质：矩阵等价关系满足以下性质：行阶梯形矩阵与行最简形矩阵行阶梯形矩阵与行最简形矩阵经列初等变换经列初等变换一一般般地地继续行初等变换继续行初等变换称为行阶梯形矩阵称为
23、行阶梯形矩阵特点：特点：横线下方全是横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行行每阶只有一行，阶数即非零行行数；数；竖线后面第一个元素为非零元竖线后面第一个元素为非零元.也称为行最简形矩阵也称为行最简形矩阵特点：特点：各阶第一个非零元都是各阶第一个非零元都是1，所在列其余元素均为，所在列其余元素均为0.称为标准形矩阵称为标准形矩阵特点：特点：左上角是一个单位矩左上角是一个单位矩阵，其余元素均为阵，其余元素均为0.一般标准形矩阵一般标准形矩阵矩阵矩阵A经过初等变换总可经过初等变换总可以化为这种标准形；以化为这种标准形；该标准形由该标准形由m、n、r完完全确定全确定.用例说明：用例说明：矩阵的高斯
24、消元法矩阵的高斯消元法 任何一个任何一个mn矩阵矩阵A都可以经过行初等变换化为行阶梯都可以经过行初等变换化为行阶梯形形.对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形.化化简时使用以下矩阵的简时使用以下矩阵的高斯消元法高斯消元法.矩阵高斯消元法的步骤：矩阵高斯消元法的步骤：（3）对对除除去去第第一一行行以以外外的的行行重重复复以以上上作作法法，则则将将矩矩阵阵化化为行阶梯形；为行阶梯形；（4）将将最最后后一一个个非非零零行行中中的的首首个个非非零零元元，通通过过乘乘以以某某常常数数化化为为1，并并将将其其所所在在列列该该非非零零元元上上面面的的元元素素都都消消
25、为为零零，依此，由下向上递推，最后将依此，由下向上递推，最后将A化为行最简形化为行最简形.（1）取取矩矩阵阵中中元元素素a11 0为为主主元元，如如果果a11=0为为零零，通通过过行行交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行；交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行；（2）用主元）用主元a11将第一列中将第一列中a11以下的其他元素消为零；以下的其他元素消为零；例例1解解例例2继续行初等变换，继续行初等变换，标准形例例3此题建议学生完成此题建议学生完成.解解第第1.3节节n阶方阵阶方阵1.1.方阵概念方阵概念2.2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(方阵方阵)3.3.线性变换线性变换4.4.方阵的
26、运算方阵的运算方阵的其他运算方阵的其他运算5.5.初等矩阵初等矩阵返回返回定义定义1.3.1由由n2个数排成的个数排成的nn矩阵矩阵称为称为n阶方阵阶方阵.记作记作A=定定义义1.3.2由由方方阵阵左左上上角角元元素素到到右右下下角角元元素素表表示示的的位位置置称称为为方方阵阵的的主主对对角角线线，主主对对角角线线元元素素的的和即称为方阵的迹，记作和即称为方阵的迹，记作:i，j=1，2，n1.方阵概念方阵概念所有所有n n2 2个元素全为零的矩阵称为个元素全为零的矩阵称为n n阶零阵，记作阶零阵，记作(1)零阵零阵2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(方阵方阵)在方阵运算中起数字在方阵运算中起数字
27、“0”作用，作用，零阵的零阵的迹等于迹等于0.例如例如(1)对角矩阵对角矩阵定义定义所有非主对角线元素全等于零的所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为阶矩阵称为对角矩阵对角矩阵.是一个四阶对角矩阵是一个四阶对角矩阵.2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(方阵方阵)当对角线元素都相等时有：当对角线元素都相等时有：定义定义如果如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为则称此矩阵为n阶数量矩阵阶数量矩阵,或标量矩阵或标量矩阵.当当a=1时时,对角元全为对角元全为1，其他元素都是零其他元素都是零的的对角阵称为单位矩阵对角阵称为单位矩阵.(2)数量矩阵数量矩阵视
28、作数乘单视作数乘单位阵位阵定义定义如果如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为则称此矩阵为上三角矩阵上三角矩阵.如果如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为则称此矩阵为下三角矩阵下三角矩阵.A为为n阶上三角矩阵；阶上三角矩阵；B为为n阶下三角矩阵阶下三角矩阵.(3)三角形矩阵三角形矩阵在下列矩阵中在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：练习练习定义定义如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足A=AT，则称矩阵则称矩阵A为为对称矩阵对称矩阵.对称矩阵对称矩阵A=（aI
29、 j）中的元素满足中的元素满足aij=aji，i，j=1，2，n即即A中元素关于主对角线为对称中元素关于主对角线为对称.性质性质（1）对称矩阵对称矩阵A与与B的和也是对称矩阵的和也是对称矩阵（2）数乘对称矩阵仍为对称矩阵）数乘对称矩阵仍为对称矩阵.(4)对称矩阵对称矩阵定义定义如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足AATATAE，则称矩阵则称矩阵A为为正交矩阵正交矩阵.性质性质（1）若A为正交矩阵,则AT也是正交矩阵;（2）正交矩阵A与B的乘积也是正交矩阵.(5)正交矩阵正交矩阵3.线性变换线性变换称此矩阵为线性变换的称此矩阵为线性变换的系数矩阵系数矩阵.线性变换与矩阵线性变换与矩阵存在着一一对应存
30、在着一一对应关系关系.例如例如称此矩阵为上述线性变换的称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵系数矩阵.显然该矩阵即为前面提及显然该矩阵即为前面提及正交矩阵正交矩阵.其它三种常见的线性变换其它三种常见的线性变换恒等变换恒等变换单位阵单位阵线性变换线性变换对角矩阵对角矩阵三角矩阵三角矩阵对应下对应下(上上)三角矩阵的线性变换三角矩阵的线性变换例例2解解3.方阵的运算方阵的运算方方阵阵作作为为行行数数与与列列数数相相等等的的一一类类矩矩阵阵，同同样样可可以以进进行行第第1.2节节中中定定义义的的各各种种运运算算，并并满满足足相相应应的的运运算算律律，方方阵阵的的和和，差差，数数乘乘，乘乘积积及转置矩阵仍为
31、方阵及转置矩阵仍为方阵.例例1例题例题例例2注注一般情况下，两个一般情况下，两个n阶方阵相乘不满足交换律，阶方阵相乘不满足交换律，ABBA。但是但是其乘积仍为其乘积仍为n阶方阵。阶方阵。例例3 3解解定义定义设设A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，k为正整数为正整数,称为称为A的的k次幂次幂.注注A k就是就是k个个A连乘连乘.显然只有方阵的幂才有意义显然只有方阵的幂才有意义.规定规定:A0=E.(i)A k Al=A k+1 (ii)(A k)l=A k l其中其中k、l为正整数为正整数.（1）n阶方阵的幂阶方阵的幂运算律运算律例如例如方阵的其他运算方阵的其他运算因为矩阵乘法一般不满足交换律，所
32、以对于两个因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶方阶方阵阵A与与B，(AB)k一般不等于一般不等于A k B k.即即如果如果Ak=O，不一定有不一定有A=O.例如取例如取注注例例1 1解解例例2（n为自然数）为自然数）解解（2）矩阵多项式）矩阵多项式设设（*）为为x的的多多项项式式，A为为n阶阶矩矩阵阵，E为为n阶阶单单位位阵阵，称称（*）为关于）为关于A的的矩阵多项式矩阵多项式.解解例例1课堂练习课堂练习定义定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为称为 初等矩阵初等矩阵（初等方阵）（初等方阵）.三种初等变换对应着三种初等矩阵，以三种初等
33、变换对应着三种初等矩阵，以3 3阶单位阵为例予以说明阶单位阵为例予以说明.(i)互换互换E E的的i、j 两行（或两行（或i i、j j两列两列),),记记E E i,j 5.初等矩阵初等矩阵例如例如(ii)E E的第的第i i行（或第行（或第i i列）乘以不等于零的数列）乘以不等于零的数k k，得得(iii)把把E E的第的第j行的行的k倍加到第倍加到第i行上行上(或第或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列上列上)，得，得例如例如例如例如矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系.初等矩阵性质和有关定理初等矩阵性质和有关定理性质性质 初等矩阵的转置矩阵
34、仍是初等矩阵初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵.设设A是是m行行n列矩阵，则列矩阵，则(1)对对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初阶初等等矩阵左乘矩阵左乘A.(2)对对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等阶初等矩阵右乘矩阵右乘A.例如例如例例1注注该矩阵仅经过一系列行变换，即该矩阵仅经过一系列行变换，即可化为标准形矩阵；可化为标准形矩阵；该该化简过程可以用连续左乘初等矩阵进行表示；化简过程可以用连续左乘初等矩阵进行表示；该该化简结果说明方阵化简结果说明方阵A 与单位阵等价与单位阵等价
35、.解解例例2注注化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即可化为标准形矩阵；可化为标准形矩阵；如果设如果设P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么那么PA=E.由等价矩阵定义知：由等价矩阵定义知：A与单位阵与单位阵E等价等价,即即AE.解解这里这里Pi代表施行的代表施行的初等变换初等变换,也代表对也代表对应的初等矩阵应的初等矩阵.第1.4节 可逆矩阵1.逆矩阵概念逆矩阵概念2.逆矩阵性质逆矩阵性质3.求逆矩阵方法求逆矩阵方法4.逆矩阵应用逆矩阵应用返回返回1.逆矩阵概念逆矩阵概念定义定义对于对于n阶方阵阶方阵A，如果有一个如果有一个n阶方阵阶方阵
36、B，使得使得AB=BA=E，则方阵则方阵A称为称为可逆矩阵可逆矩阵，简称简称A可可逆逆.方阵方阵B称为称为A的的逆矩阵逆矩阵.记为记为A-1.证证(2)设设B、C都是都是A的逆矩阵，则有的逆矩阵，则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.唯一性得证唯一性得证.结论结论(1)这时矩阵这时矩阵B亦可逆亦可逆,B的逆阵为的逆阵为A.即即B-1=A.注注 可逆矩阵也称为非退化阵可逆矩阵也称为非退化阵,也常被称为非奇异阵也常被称为非奇异阵;不可逆矩阵称为退化阵不可逆矩阵称为退化阵,也常被称为奇异阵也常被称为奇异阵.(2)如果方阵如果方阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.先给出
37、一个例子先给出一个例子.例例1注注 这是二阶方阵求逆阵的一种简便方法这是二阶方阵求逆阵的一种简便方法.解解一般地一般地答案答案练习练习性质性质1若若A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且(A-1)-1=A.证证性质性质2若若A可逆，数可逆，数k不为零，则不为零，则kA可逆，且可逆，且(kA)-1=k-1A-1.证证2.逆矩阵的性质逆矩阵的性质由由AA-1=E,得得A-1也可逆，且也可逆，且(A-1)-1=A.根据根据AA-1=E，由由(kA)(k-1A-1)=k k-1AA-1=E，即即kA可逆，且可逆，且(kA)-1=k-1A-1.证证性质性质3若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，且也可
38、逆，且(AT)-1=(A-1)T.证证性质性质4A、B为同阶方阵且均可逆，则为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且也可逆，且(AB)-1=B-1A-1.2.逆矩阵的性质逆矩阵的性质例例2证证例例3证证答案答案练习练习定义定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵初等矩阵.复习初等矩阵相关知识复习初等矩阵相关知识 设设A是是m行行n列矩阵，则列矩阵，则(1)(1)对对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初阶初等矩阵左乘等矩阵左乘A.(2)(2)对对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同
39、种n阶初等阶初等矩阵右乘矩阵右乘A.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵,且例如例如矩阵的初等变换与初等矩阵的关系矩阵的初等变换与初等矩阵的关系.前节例前节例2注注化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即可可化为标准形矩阵；化为标准形矩阵；如果设如果设P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么那么P一定是可逆阵；一定是可逆阵；由矩阵定义：由矩阵定义：AB=BA=E知，知，P是是A的逆阵的逆阵.解解例例2分析分析结论：只需将单位阵结论：只需将单位阵E经过同样的行初等变换，即可得经过同样的行初等变换，即可得A-1从而给出一种新的求逆阵方法从而给
40、出一种新的求逆阵方法初等变换法初等变换法.利用行初等变换求矩阵利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵：的逆矩阵：(i)构造构造n2n矩阵（矩阵（A|E）；）；(ii)对于（对于（A|E）连续施以行变换把连续施以行变换把A化为化为E,同时同时对对E施以完全相同的初等行变换，这时施以完全相同的初等行变换，这时E就化为就化为A 的逆阵的逆阵A-1.即即3.求逆矩阵方法求逆矩阵方法例例3解解继续进行初等变换，继续进行初等变换，注注 这是一种很重要的求逆及其相关运算的方法这是一种很重要的求逆及其相关运算的方法.(1)解形如解形如AX=B的矩阵方程的矩阵方程4.逆矩阵的应用逆矩阵的应用(2)解形如解形如Ax=b的
41、二，三元线性方程组的二，三元线性方程组(1)解形如解形如AX=B的矩阵方程的矩阵方程例例1可以验证AX=B方法方法1利用初等变换法解利用初等变换法解AX=B,其中其中A可逆可逆.分析即即解解 利用矩阵的初等变换法利用矩阵的初等变换法.由由例例1(续续)解矩阵方程解矩阵方程AX=B，其中其中方法方法2如果先求出如果先求出A的逆阵，再利用矩阵乘法结果相同的逆阵，再利用矩阵乘法结果相同.例例1(续续)解矩阵方程解矩阵方程AX=B，其中其中解解方法方法3分析分析例例2继续行初等变换，继续行初等变换，继续行初等变换，继续行初等变换，例例3方法方法1解解方法方法2若若A-1，B-1存在，则由存在，则由A-
42、1左乘上式，左乘上式，B-1右乘右乘上式，有上式，有A-1AXBB-1=A-1CB-1,（A-1A）X（BB-1）=A-1CB-1,即即X=A-1CB-1.注注首先求出首先求出A、B逆阵逆阵（学生完成）（学生完成）例例4求矩阵求矩阵X使满足使满足AXB=C.解解于是于是求出求出A、B逆阵为逆阵为练习练习需要指出需要指出：注注：处理矩阵问题，也可以利用列初等变换，处理矩阵问题，也可以利用列初等变换，但一般用行变换作为常用方法但一般用行变换作为常用方法.(2)解形如解形如Ax=b 的二，三元线性方程组的二，三元线性方程组将线性方程组看作矩阵方程将线性方程组看作矩阵方程AX=B的特殊情形的特殊情形即
43、将即将b看作列矩阵，那么上述方法都可以应用看作列矩阵，那么上述方法都可以应用到解线性方程组中来到解线性方程组中来,包括包括:（I）应用矩阵乘法解线性方程组（适合低阶情形）应用矩阵乘法解线性方程组（适合低阶情形）（II）利用初等变换法解利用初等变换法解Ax=b,（这是解方程组的重（这是解方程组的重要方法）要方法）.（III）利用逆阵解利用逆阵解AX=B,要求要求A可逆可逆.(3)线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式线性方程组线性方程组例题例题解三元线性方程组：解三元线性方程组：（1）用初等变换解这个三元线性方程组）用初等变换解这个三元线性方程组解解（2）利用逆阵解这个三元线性方程组：）利用逆
44、阵解这个三元线性方程组：解解求得求得于是有于是有答案答案练习练习第第1.5节节数学实验数学实验1.命令命令A+B、k A、A.B用以计算用以计算矩阵的和、数乘、乘法；矩阵的和、数乘、乘法；2.2.命令命令TransposeA用以计算用以计算矩阵的转置；矩阵的转置；3.3.命令命令DetDetA 用用以计算方阵以计算方阵A的行列式；的行列式；4.4.命令命令MatrixPowerA,m用用以计算方阵以计算方阵A的的m m次幂；次幂；5.5.命令命令Inverse A 用用以求出矩阵以求出矩阵A的逆矩阵；的逆矩阵；6.6.命令命令RowReduce A 用用以将矩阵以将矩阵A化为行最简形，从而求化
45、为行最简形，从而求出出A的秩的秩.注注:进进行行矩矩阵阵运运算算时时，结结果果会会以以向向量量形形式式显显示示矩矩阵阵运运算算结结果果，如如果果在在运运算算命命令令最最后后加加上上“/MatrixForm”，则则会会给给出出运运算算结果的矩阵结果的矩阵.返回返回矩阵运算矩阵运算第第2步步:键入键入2A-3B/MatrixFormA.TransposeB/MatrixForm第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便得计算结果键，便得计算结果.例例1解 第第1步：打开步：打开Mathematica4.0窗口，键入窗口，键入第第2步步:键入键入DetAMatrixPowerA,10/MatrixFormInverse A/MatrixForm例例2解解第第1步：打开步：打开Mathematica4.0窗口，键入窗口，键入第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便得计算结果键，便得计算结果.第第2步步:键入键入InverseAA.B.B.InverseAA/MatrixForm第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便得计算结果键，便得计算结果.例例3解解第第1步：打开步：打开Mathematica4.0窗口，键入窗口，键入