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1、圆、与圆有关的位置关系（圆、与圆有关的位置关系（1）、圆的基本元素、圆的基本元素:圆心、半径圆心、半径、圆的对称性、圆的对称性:圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆是轴对称图形是轴对称图形.3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系:定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等,所对的所对的弦、所对弦心距的也相等弦、所对弦心距的也相等.推论推论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两个圆心角如果两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦、两两条弦、两条弦心距中有一组量相等条弦心距中有一组量相等,那么
2、它那么它 们所对应的其余各组量都们所对应的其余各组量都分别相等分别相等.4、过三点的圆、过三点的圆:(1)定理定理:不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.(2)三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点.5、垂径定理、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧对的两条弧.圆的相关概念圆的相关概念填空、填空、1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧_，所对的弦，所对的弦_；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么在同圆或等圆中，如果
3、弧相等，那么_相等，相等，_相等；相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么在同圆或等圆中，如果弦相等，那么_相等，相等，_相等；相等；、垂径定理：、垂径定理：_。、半圆或直径所对的圆周角都是、半圆或直径所对的圆周角都是_。、的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_。、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等，都等于该弧所对的于该弧所对的_的一半，相等的圆周角所对的的一半，相等的圆周角所对的_相相等。等。如图，在如图，在 O中，中，AB是是 O的的直径，直径，AOC130，则，则D的度数为的度数为_ 一、一、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视
4、：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形”若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧.2 2、垂径定理的逆定理、垂径定理的逆定理CDAB,n由由 CD是是直直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.(1)直径直径(过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦；(2)(3)平分弦平分弦；(4)平分劣弧；平分劣弧；(3)(5
5、)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意:“直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗这句话对吗?()错错OABCDMOABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例1 1、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16 AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cm挑战自我挑战自我想一想想一想v4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGH注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意
6、：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法练习练习2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4，弦，弦AC=，求圆求圆O的半径。的半径。反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO例例2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径，直径CEAB于于D，求半径求半径OC的长。的长。垂径垂径直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于
7、点于点F.例例3：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16，求，求AE-BF的长。的长。练习练习3:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。图中相等的线段有图中相等的线段有:在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两两条弧条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相有一组量相等等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OABDABD
8、如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 .OABCOBACDEOABC 定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角所对的圆周角相等相等,都等于这弧都等于这弧所对的所对的圆心角的一半圆心角的一半.推论推论:直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 .直角直角直径直径判断判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.(3)
9、等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.()()()1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、AB、AC是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定3、如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于()；A150 B130 C120 D604、在ABC中，A70，若O为ABC的外心，BOC=；若O为ABC的内心，BOC=图1图2 1、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_ cm；2、如图1,已知O
10、，AB为直径，ABCD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ；3、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；4、已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（）A.AB=2CD；B.AB2CD；D.不能确定图1图2.p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的这个三角形叫
11、做圆的内接内接三角形，这个圆叫做三角三角形，这个圆叫做三角形的形的外接外接圆，圆心叫做三角形的圆，圆心叫做三角形的外心外心）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：（1）对角互补；对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内任意一个外角都等于它的内对角对角反证法的三个步骤：反证法的三个步骤：1、提出假设、提出假设2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确1、O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、d分别分别是方程是方程x26x80的两根，则点的两根，则点A与与 O的位置关系是（的位置关系是
12、（）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则OM=_ cm.3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，ABCD可以是可以是（）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3 练：有两个同心圆，半径分别为练：有两个同心圆，半径分别为和和r，是圆环内一点，则是圆环内一点，则的取值的取值范围是范围是.rOPR1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;2
13、2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.五五.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的判定定理切线的判定定理v定理定理 经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线.CDOA如图如图OAOA是是OO的的半径半径,且且CDOACDOA,CDCD是是OO的切线的切线.（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）（）切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半
14、径的直线是圆的切线.切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要作要作出过这一点的半径出过这一点的半径，再证明直线垂直于这再证明直线垂直于这条半径即可；条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂再证明这条垂线段等于半径即可线段等于半径即可切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径.CDCD切切O O于于,OA,OA是是O O的半的半径径CDOACDOA.切线的性质定理也可理解为切线的性质定理也
15、可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个任意两个，那么，那么第三个也成立。第三个也成立。经过切点、经过切点、垂直于切线、垂直于切线、经过圆心。经过圆心。如如任意两个任意两个1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_；3、下列四个命题中正确的是（）与圆有公共点的直线是该圆的切线；垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A
16、.B.C.D.例1、如图，已知：AB为O的直径，直线AC和O相切于A点，AP为O的一条弦求证:CAP=B 另外，如右上图，若将条件改为AB为O的弦，那么结论还成立吗？说明理由。证明：直线AC和O相切于A点，AB为O的直径CAB=90，P=9011+CAP=90，1+B=90CAP=B 思路：连结AO并延长，交O于D点,连结PDD由得，CAP=D,而D=B,CAP=B返回 例例2 2、如图、如图,在在RtABCRtABC中中,BCA=90,BCA=90,以以BCBC为直径的为直径的OO交交ABAB于点于点P,QP,Q是是ACAC的中点的中点.判断直线判断直线PQPQ与与OO的位置关系的位置关系,
17、并说明理由并说明理由.解：猜想直线解：猜想直线PQPQ与与OO相切，理由如下：相切，理由如下：连结连结OPOP，CPCPBC为O的直径BPC=APC=90在RtACP中,Q为斜边AC的中点PQ=CQ1=21234OP=OC3=4而BCA=90即1+3=902+4=90即OPPQ(又OP为O的半径)PQ为O的切线连结OP、OQ，利用三角形中位线去说明也可以。返回另解：例3.已知,如图,D(0,1),D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:y=2x4与y轴交于P.试猜想PC与D的位置关系，并说明理由.判断在直线PC上是否存在点E，使得SEOC=4SCDO,若存在，求出点E的坐标；若
18、不存在，请说明理由.解：令x=0，得y=-4;令y=0,得x=-2C(-2,0),P(0,-4)又D(0,1)OC=2,OP=4,OD=1,DP=5在RtCOD中,CD2=OC2+OD2=4+1=5在RtCOP中,CP2=OC2+OP2=4+16=20在CPD中,CD2+CP2=5+20=25,DP2=25CD2+CP2=DP2CDP为直角三角形,且DCP=90PC为D的切线.直线y=-2x-4 思考：返回PC是O的切线，理由如下：解：假设在直线PC上存在这样的点E(x0,y0),使得SEOC=4S CDO，E点在直线PC：y=-2x-4上，当y0=4时有：当y0=-4时有：在直线PC上存在满
19、足条件的E点，其的坐标为(-4,4),(0,-4).返回课堂练习：已知：如图，AB是O的直径，P是O外一点，PA是O的切线，弦BCOP，请判断PC是否为O的切线，说明理由 返回如图，如图，AB是是 O的弦，的弦，OCOA交交AB于点于点C，过点，过点B的直线交的直线交OC的的延长线于点延长线于点E，当，当CE=BE时，直线时，直线BE与与 O有怎样的位置关系？并证有怎样的位置关系？并证明你的结论明你的结论已知：如已知：如图图，A是是OO上一点，半径上一点，半径OC的延的延长线长线与与过过点点A的直的直线线交于交于B点，点，OC=BC，（1）求）求证证：AB是是OO的切的切线线；（2）若）若AC
20、D=450，OC=2，求弦，求弦CD的的长长ABOCD交点个数交点个数 名称名称0外离外离1外切外切2相交相交1内切内切0内含内含同心圆是内含的特殊情况同心圆是内含的特殊情况d,R,r 的关系的关系dR rd R+rd=R+rR-r d R+rd=R-rd R-r六六.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 两圆有多种位置关系，图中不存在的两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是位置关系是 O的半径为的半径为3cm，点，点M是是 O外一点，外一点，OM=4 cm，则以，则以M为圆心且与为圆心且与 O相切的相切的圆的半径是圆的半径是 A AB BC CO O七七七七.三角形的外接圆和内切圆：三角形的
21、外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A AB BC CI I三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心内心内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的外心外心外心外心实质实质性质性质三角形的外心三角形的外心三角形的内心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距
22、离相等锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外.ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？补充：各边都和圆相切的四边形叫做圆的补充：各边都和圆相切的四边形叫做圆的外切四边形，外切四边形，这个圆叫做四边形的这个圆叫做四边形的内切圆内切圆性质：性质：圆的外切四边形的圆的外切四边形的两组对边的和相等两组对边的和相等例：圆外切等腰梯形的腰长为6，则此梯形的周长是.24一一、判断。1、三角形的外心到三
23、角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点 （）二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比三、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1C C四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_30cm如图，如图，O是是ABC的外接的外接圆，已知圆，已知ACO30，求，求B的度数的度数如图，如图，O是是ABC的外
24、接圆，且的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求求 O的半径的半径 ABCO如如图图，ABCABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，AC=BC，D为为 O中弧中弧AB上一点，延上一点，延长长DA至点至点E，使，使CE=CD（1）求）求证证：AE=BD；（2）若）若ACBCCBC，求，求证证：AD+BD=CDn从圆外一点向圆所引的两条切线长从圆外一点向圆所引的两条切线长相等相等;并且这一点和圆心的连线平分并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角两条切线的夹角.ABPO12ABCODEFABCOODEF切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆半径与三边关系
25、半径与三边关系.n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2v1.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的，则这条弦所对的圆心角是圆心角是,圆周角是圆周角是.60度度30或或150度度2：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果如果 AOC=140，求，求 B的度数的度数3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长为上一点的距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为_.D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AOC=140 D=70 B=180 70 =
26、110 2或或4cm如图，如图，I是是ABC的内的内切圆，与切圆，与AB、BC、CA分别相切于点分别相切于点D、E、F，DEF50，求，求A的度数的度数4.4.怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜破镜重圆重圆？ABCP5、如图，如图，AB是是 O的任意一条弦，的任意一条弦，OCAB，垂，垂足为足为P，若，若 CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这你能帮老师求出这面镜子的半径吗？面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径6.如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，BD是圆是圆O的弦，的弦，BD到到C，AC=AB，BD与与CD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？补充：补充：若B=70,则DOE=E40 7、如图、如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的中点的中点D,DEBC于于E证明证明:DE是圆是圆O的切线的切线.ABCDEO.