离散傅里叶变换DF.ppt

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1、 3.1 引引 言言 在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简写为DFT）。它本身也是有限长序列。作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列

2、的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶

3、变换离散傅里叶变换3-23-2傅里叶变换的几种可能形式傅里叶变换的几种可能形式时时 域域频频 域域傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换一、连续时间，连续频率一、连续时间，连续频率一、连续时间，连续频率一、连续时间，连续频率傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换(FT)(FT)(FT)(FT)这是连续时间，非周期信号这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续的傅里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数的、非周期的频谱密度函数X(j)。时域连续时域连续频域非周期频域非周期时域时域非周期非周期频域频域连续连续二、连续时间，离散频率二、连续时间，离散频率二、连续时间，离散频率二

4、、连续时间，离散频率傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数(FS)(FS)(FS)(FS)这是连续时间，周期信号这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号。例如信号x(t)=sin100 t只有只有一个频率分量。一个频率分量。X(jK 0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。为谐波序号。时域时域周期周期频域频域离散离散三、离散时间，连续频率三、离散时间，连续频率三、离散时间，连续频率三、离散时间，连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变

5、换序列的傅里叶变换(DTFT)(DTFT)(DTFT)(DTFT)由第一章采样定理的知识，我们由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期知道：时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是化，且这个周期是 s s。时域离散时域离散频域周期频域周期四、离散时间，离散频率四、离散时间，离散频率四、离散时间，离散频率四、离散时间，离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)(DFT)(DFT)上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不不适于计算机运算适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才

6、方便用计。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。算机运算。思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：期化。于是有：时域时域离散、离散、周期周期频域频域周期、离散周期、离散 四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续散和周期

7、周期和离散各种形式的傅里叶变换 3.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设是一个周期为N的周期序列，即r为任意整数周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列的基频（2/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为（3-1）式中,k,r为整数。由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说,离散傅里叶级数的谐波成分只

8、有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，不然就会产生二义性。因而可展成如下的离散傅里叶级数，即（3-2）式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，是k次谐波的系数。下面我们来求解系数，这要利用复正弦序列的正交特性，即r=mN,m为整数其他r（3-3）将式（3-2）两端同乘以，然后从n=0到N-1的一个周期内求和，则得到把r换成k可得（3-4）这就是求k=0到N-1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列，即这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数的说法是一致的。可以看出，时域

9、周期序列的离散傅里叶级数在频域（即其系数也是一个周期序列。因而与是频域与时域的一个周期序列对，式（3-2）与式（3-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为（3-5）W WN N的性质的性质1.1.周期性周期性2.2.共轭对称性共轭对称性3.3.可约性可约性4.4.正交性正交性使用WN，式（2-4）及式（2-2）可表示为:（3-6）（3-7）式中，DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变换。从上面看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。所以，这种无限长序列实际上只有一个

10、周期中的N个序列值有信息。因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。例例3-1 设为周期脉冲串（3-8）因为对于0nN-1，,所以利用式（2-6）求出的DFS系数为（3-9）在这种情况下，对于所有的k值均相同。于是，将式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式（3-10）例例3-2已知周期序列如图3-2所示，其周期N=10,试求解它的傅里叶级数系数。图3-2例3-2的周期序列（周期N=10）由式（3-6）（3-11）这一有限求和有闭合形式（3-12）图3-3图3-2所示序列的傅里叶级数系数的幅值式（3-6）中的周期序列可看成是对的第一个周期x(n)作Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角

11、2/N采样而得到的。令0nN-1其他n通常称x(n)为的主值区序列，则x(n)的Z变换为（3-13）把式（3-13）与式（3-6）比较可知（3-14）可以看出，当0kN-1时，是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化，的值呈周期变化。图3-4画出了这些特点。由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序列也可以解释为的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。因为（3-15）比较式（3-15）和式（3-6），可以看出这相当于以2/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。（3-16）例例3-3为了举例说明傅里叶级数系数和周期信号的一个周期的傅里叶变换之间的关系，我们

12、再次研究图2-2所示的序列。在序列的一个周期中：0n4其他（3-17）则的一个周期的傅里叶变换是（3-18）可以证明，若将=2k/10代入式（2-18），即图3-5对图3-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值图3-6图3-3和图3-5的重叠图，它表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样其中，a,b为任意常数。二.序列的移位 证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。三.调制特性 如果 则有 证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。四.周期卷积和*重点*1.如果 则：2.两个周期序列的周

13、期卷积过程*（1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到 可计算出：mm012345计算区m（3）将右移一位、得到可计算出：m012345m计算区m计算区m（4）将 再右移一位、得到可计算出：（5）以此类推，n计算区2332233223323.频域卷积定理 如果 ，则3-5 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（DFT）DFT的定义的定义上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。设x(n)为有限长序列，

14、长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓，即表示成:这个关系可以用图2-8来表明。通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”，故x(n)是的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成用(n)N表示（nmodN），其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令0n1N-1,m为整数则n1为n对N的余数。例如，是周期为N=9的序列，则有：利用前面的矩形序列RN(n)，

15、式可写成同理，频域的周期序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:我们再看表达DFS与IDFS：这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:0kN-10nN-1x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT),称式第二式为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都

16、有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。例例1 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT。解解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得到：k=0,1,N-1(n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。图2-9序列(n)及其离散傅里叶变换例例 2已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列，求它的N点DFT。解解由DFT的定义式

17、（2-30）利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得图2-10有限长序列及其DFT例例 3已知如下X(k):k=01k9求其10点IDFT。解解 X(k)可以表示为X(k)=1+2(k)0k9写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT为常数：3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 ，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。是 的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。例如：(1)(2)先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系

18、=,0nN-10,其他n如：N-1nx(n)0.n三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系四.从DFS到DFT,0kN-1,0nN-1或者：3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 本节讨论DFT的一些性质，它们本质上和周期序列的DFS概念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT表示N点DFT，且设:DFTx1(n)=X1(k)DFTx2(n)=X2(k)线性线性 式中，a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。2.和 的长度N1和N2不等时，选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。线性性质仍然成立这里包括三层意思：这里包

19、括三层意思：(1)先将先将x(n)进行周期延拓进行周期延拓(2)再进行移位再进行移位(3)最后取主值序列：最后取主值序列：二、序列的圆周移位二、序列的圆周移位1.定义定义一个有限长序列一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为的圆周移位定义为n0N-1n0周期延拓周期延拓n0左移左移2n0取主值取主值N-1 由于我们取主值序列，即只观察由于我们取主值序列，即只观察n=0到到N-1这一主值这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个排列一个N等等分的圆周上，

20、序列的移位就相当于分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故在圆上旋转，故称作称作圆周移位圆周移位圆周移位圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列序列:。2.圆周移位的含义圆周移位的含义3.时域圆周移位定理时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即则圆周移位后的DFT为证证利用周期序列的移位性质加以证明。再利用DFS和DFT关系这表明，有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移，而对频谱的幅度没有影响。4.频域圆周移位定理频域圆周移位定理对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一

21、个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：若则这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。周期为周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为对称分量分别定义为:有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为称分量分别定义为:总结：共轭对称性总结：共轭对称性纯虚序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用一次点的实数序列，试用一次 N点点D

22、FT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFT:例：求序列：例：求序列：x(n)=(n)+2 (n-1)+3(n-2)+4 (n-3)的的4点点DFT。例：求序列：例：求序列：x(n)=(n)+2 (n-1)+3(n-2)+4 (n-3)的的8点点DFT。四、四、DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 证证 如果令y(n)=x(n)，则式变成即这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。四.圆周卷积和*1.时域卷积定理设 和 均为长度为N的有限长序列，且 ，NN证明：相当于将作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：在主值区间，所以：N同样可证：N圆周卷积过程：圆周

23、卷积过程：1 1）补零）补零(当两序列不等长时当两序列不等长时)2 2）周期延拓）周期延拓(有限长序列变周期序列有限长序列变周期序列)3 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶周期序列的翻褶)4 4）圆周移位）圆周移位 5 5）相乘相加）相乘相加2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积*1.线性卷积的长度的长度为的长度为它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间，为长。例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.有限长序列的

24、线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积，而计算DFT可以采用它的快速算法快速傅里叶变换（FFT）（见第4章），因此圆周卷积与线性卷积相比，计算速度可以大大加快。但是实际问题大多总是要求解线性卷积。例如，信号通过线性时不变系统，其输出就是输入信号与系统的单位脉冲响应的线性卷积，如果信号以及系统的单位脉冲响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢？下面就来讨论这个问题。设x1(n)是N1点的有限长序列（0nN1-1），x2(n)是N2点的有限长序列（0nN2-1）。（1）先看它们的线性卷积x1(m)的非零区间为

25、0mN1-1x2(n-m)的非零区间为0n-mN2-1(2-43)将两个不等式相加，得到0nN1+N2-2在上述区间外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1。例如，图2-16中，x1(n)为N1=4的矩形序列（图2-16（a），x2(n)为N2=5的矩形序列（图2-16（b），则它们的线性卷积y1(n)为N=N1+N2-1=8点的有限长序列（图2-16（c）。（2）我们再来看x1(n)与x2(n)的圆周卷积。先假设进行L点的圆周卷积，再讨论L取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积

26、。设y(n)=x1(n)x2(n)是两序列的L点圆周卷积，LmaxN1,N2，这就要将x1(n)与x2(n)都看成是L点的序列。在这L个序列值中，x1(n)只有前N1个是非零值，后L-N1个均为补充的零值。同样，x2(n)只有前N2个是非零值，后L-N2个均为补充的零值。则LL（2-44）为了分析其圆周卷积，我们先将序列x1(n)与x2(n)以L为周期进行周期延拓它们的周期卷积序列为（2-45）前面已经分析了y1(n)具有N1+N2-1个非零值。因此可以看到，如果周期卷积的周期LN1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来，从而出现混叠现象。只有在LN1+N2-1

27、时，才没有交叠现象。这时,在y1(n)的周期延拓中，每一个周期L内，前N1+N2-1个序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)个点上的序列值则是补充的零值。圆周卷积正是周期卷积取主值序列L因此所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为（2-47）满足此条件后就有即x1(n)x2(n)=x1(n)*x2(n)L图2-16（d）、（e）、（f）正反映了（2-46）式的圆周卷积与线性卷积的关系。在图2-16（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，这时产生混叠现象，其圆周卷积不等于线性卷积；而在图2-16（e）、（f）中,L=8和L=10，这时圆周卷积结果与线性

28、卷积相同，所得y(n)的前8点序列值正好代表线性卷积结果。所以只要LN1+N2-1，圆周卷积结果就能完全代表线性卷积。图2-16线性卷积与圆周卷积图2-16线性卷积与圆周卷积例例 2-8一个有限长序列为（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。（2）若序列y(n)的DFT为式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是式中,X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT0n6其他求序列y(n)。解解（1）由式（2-30）可求得x(n)的10点DFT（2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于

29、是x(n)圆周移位m点。本题中m=-2,x(n)向左圆周移位了2点，就有y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8)（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。x(n)与w(n)的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2圆周卷积为在0n9求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0,1,2,9求和，得到：n01234567891011Z(n)z(n+10)11111332222200000000

30、22300y(n)3311133222_所以10点圆周卷积为y(n)=3,3,1,1，1,3,3,2,2,23.7抽样Z变换-频域抽样理论讨论：时域抽样:对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样:对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。频域抽样定理频域抽样定理要研究的问题要研究的问题M点点单位圆上取单位圆上取N点点（频域采样）（频域采样）序列傅立叶变换序列傅立叶变换=？离散傅立叶反变换离散傅立叶反变换N点点问题:能否由频域抽样X(k)恢复序

31、列x(n)能否由频域抽样X(k)恢复序列x(z)或若能恢复其条件是什么？如何推导内插恢复公式?2、由频域抽样恢复序列、由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的的Z变换为变换为 由于由于x(n)绝对可和绝对可和,故其傅氏变换存在且连续故其傅氏变换存在且连续,也也即其即其Z变换收敛域包括单位圆。这样变换收敛域包括单位圆。这样,对对X(Z)在单位在单位圆上圆上N等份抽样等份抽样,就得到就得到对对 进行反变换进行反变换,并令其为并令其为 ,则则 可见，由可见，由 得到的周期序列得到的周期序列 是非是非周期序列周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点数的周期延拓

32、。其周期为频域抽样点数N。所以：所以：时域抽样时域抽样造成造成频域周期延拓频域周期延拓同样，同样，频域抽样频域抽样造成造成时域周期延拓时域周期延拓n x(n)为无限长序列为无限长序列混混叠失真叠失真n x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为Mn 1)NM，不失真不失真n 2)NM，混叠失真混叠失真频率采样定理频率采样定理若序列长度为若序列长度为M，则只有当频域采样点数，则只有当频域采样点数:时，才有时，才有 即可由频域采样即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号不失真地恢复原信号x(n)，否则产生时域混叠现象。，否则产生时域混叠现象。3 3、用频域采样、用频域采样 表示表示 的内插公

33、式的内插公式4、用频域采样、用频域采样 表示表示 的内插公式的内插公式3.8 3.8 利用利用DFTDFT计算模拟信号的傅里叶变换（级数）对计算模拟信号的傅里叶变换（级数）对信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换1、对连续时间非周期信号的、对连续时间非周期信号的DFT逼近逼近1）将）将 x(t)在在 t 轴上等间隔轴上等间隔 T 分段分段2）将）将 x(n)截短成有限长序列截短成有限长序列t=0T0，N个抽样点。个抽样点。3）频域抽样：一个周期分）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔段，采样间隔 ，时域周期延拓，时域周期延拓，周期为周期为2、对连续时间非周期信号

34、的、对连续时间非周期信号的DFT逼近过程逼近过程1）时域抽样）时域抽样2）时域截断）时域截断3）频域抽样）频域抽样近似逼近：近似逼近：3、频率响应的混叠失真及参数的选择、频率响应的混叠失真及参数的选择同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾例：有一调幅信号例：有一调幅信号 用用DFT做频谱分析，要求能分辨做频谱分析，要求能分辨xa(t)的所的所有频率分量，问有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹抽样频率应为多少赫兹?(2)抽样时间间隔应为多少秒抽样时间间隔应为多少

35、秒?(3)抽样点数应为多少点？抽样点数应为多少点？（1）抽样频率应为）抽样频率应为 解：解：（2）抽样时间间隔应为）抽样时间间隔应为采样截短DFT（1）混迭对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。（2）泄漏处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲

36、击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在0处的一根谱线变成了以0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（s）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即的频率成份从0处“泄漏”到其它频率处去了。考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱混迭现象产生。（3）栅栏效应N点DFT是在频率区间0，2

37、上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X（k），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称之为栅栏效应。减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。(4)DFT的分辨率填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长

38、度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。参数选择的一般原则：(1)若已知信号的最高频率，为防止混叠，选定采样频率；(2)根据频率分辩率，确定所需DFT的长度(3)和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度这里T是采样周期。(5)周期信号的谱分析对于连续的单一频率周期信号，为信号的频率。可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理，可完全等于的采样。051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取长度的正弦信号及其DFT结果