离散傅里叶变换(DFT).ppt

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1、3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),一. 引言,3.1 离散傅里叶变换的定义,我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着核心作用。,二. 四种信号傅里叶表示,(1) 周期为T的连续时间周期信号,时域周期频域离散。频谱特点:离散非

2、周期谱,(2) 连续时间非周期信号,时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱,(3)离散非周期信号,时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱,(4) 周期为N 的离散周期信号,时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱,四种傅立叶变换:,时域,频域,1. 连续非周期 连续非周期() FT 2. 连续周期 离散非周期 () FS 3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT 4. 离散周期 离散周期 DFS,？,切实理解四种FT之间的对应关系,三. 离散付里叶级数(DFS),为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函数一个周

3、期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。,周期序列,因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。,(1)DFS定义,正变换：,反变换：,一般记：,(2)周期序列的离散傅里叶级数推导,由,可以展成傅里叶级数：,？,将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N上求和得,令k=m,令,依同样方法可推出：,所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列,(3)周期序列的傅里叶变换表示,因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT不存在。但是，通过引入奇异函数其DTFT可以用公式表示。,四. 离散付里叶变换

4、,周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。,(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓,(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓,(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。 （前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）,具体而言，即：,(1)周期序列的主值区间与主值序列,对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。,x(n)与 的关系可描述

5、为：,数学表示：,表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算,7,.,.,n,0,N-1,定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。,(2)从DFS到离散傅里叶变换,如果x(n)的长度为N， 且 ， 则可写出 的离散傅里叶级数表示为：,从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。,因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。,有限长序列隐含着周期性。,(3)离散傅里叶变换的矩阵方程,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。,设变换区间N=8， 则,解：DFT定义式为：,设

6、变换区间N=16， 则,比较上面二式可得关系式:,(4)DFT和Z变换的关系,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在0，2上的N点等间隔采样,图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e j)的关系,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,一. 基本概念,1. 序列的圆周移位,序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：,圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区。,循环移位过程：,circshift(a,0,-1),图 3.2.1 循环移位过程示意图,2. 序列的圆周卷积,

7、设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列(若不等，对序列补零使其为N点， )，定义圆周卷积：,圆周卷积过程：,圆周卷积的矩阵表示：,循环右移,圆周卷积与线性卷积比较：,有限长序列x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1 则线性卷积为：,N(Nmax(N1,N2)点圆周卷积为：,序列的N点圆周卷积是序列线性卷积(以N为周期)周期延拓序列的主值序列。故，当NN1+N2-1时，线性卷积与圆周卷积相同。,图 3.4.2 线性卷积与圆周卷积,3. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列分别定义为 ：,当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到：,图 3.

8、2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即：,将上式中的n换成N-n， 并取复共轭得：,(1)式减(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：,二. 线性性质,设x1(n)，x2(n)是长度为N的有限长序列。它们的N点DFT分别为：,三. 时域圆周移位定理,证明：,四. 频域圆周移位定理,设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列，,五.时域圆周卷积定理,证明：,六.频域循环卷积定理,七.复共轭序列的DFT,八.DFT的共轭对称性,如果x(n)的DFT为X(k),则x(n)的实部和虚部(包括j)的DFT分别为X(k)的共轭对称分

9、量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j,设x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)。则有:,(2)若x(n)= x(N-n)，则 X(k)= X(N-k),(3)若x(n)= -x(N-n)，则 X(k)= -X(N-k),对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，提高运算效率。,九、Parseval定理,证明：,(1) X(k)= X*(N-k),则：,表明：一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第

10、3章 离散傅里叶变换(DFT),3.3 频率域采样,一. 引言,(1)能否由频域离散采样X(k)恢复序列x(n)？,(2)能否由频域抽样X(k)恢复原频率函数或X(z)？,(3)若能恢复其条件是什么？,与时域采样相类比，我们提出以下几个问题？,(4)如何推导内插恢复公式?,若要回答这些问题，首先让我们回想下时域样定理确定采样频率的方法？,(1)计算时域采样信号的频谱,(2)分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系（以采样频率周期延拓）,(3)从而确定采样频率与被采样信号频谱这间关系，得到时域采样定理,二. 频域采样后能不失真恢复原序列的条件？,设 的长度为 （没有限制）,欲恢复原信号，即,频域采样

11、序列的离散付立叶逆变换:,由该式可知： 是原序列 的周期延拓，然后取主值,结论：若序列长度为M，频域采样点数（或DFT 的长度）为N，且MN，会产生时域混叠频域采样后不能不失真地恢复原序列,利用频域采样X(k)表示X(z),三. 内插公式,称为内插函数,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),3.4 DFT的应用举例,一. 引言,DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行，由于DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷

12、达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续FT的近似为基础。,二、用DFT计算线性卷积,(1)DFT计算循环卷积,可用上式计算循环卷积。从另一方面看：,所以，可按下面的计算框图从频域计算循环卷积,图 3.4.1 用DFT计算循环卷积,很多情况下 需要计算两个序列的线性卷积， 为了提高运算速度， 希望用DFT(FFT)计算。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 什么时候循环卷积与线性卷积相等呢？,循环卷积与线性卷积相等条件：L M+N-1。所以，如果取L = M+N-1，则可用DFT（FFT）计算

13、线性卷积。计算框图如下：,图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图,(2)DFT计算线性卷积,(2)长序列的分段卷积,没有全部进入，如何实现卷积，全部进入再卷积，又如何保证实时实现？,数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：,？,较短（FIR：长度在2050之间）， 可能很长，也不适宜直接卷积。,另外：,解决方法：分段卷积,设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则:,重叠相加法,分段卷积重叠,分段卷积相加,图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图,三、用DFT对信号进行谱分析,1. 用DFT对连续信号进行谱分析,若信

14、号持续时间有限长，则其频谱无限宽。若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。,按采样定理采样时，以上两种情况的采样序列均应无限长，不满足DFT条件。, 所以，对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度较小的高频成分。对持续时间很长的信号只好截取有限点进行DFT。, 所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，近似程序与信号带宽、采样频率和截取长度有关。, 实际上从工程角度，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。,假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。以下分析连续信号频谱特性的DFT近似。,设xa(t)持续时间为Tp， 最高频率为fc。其傅立叶变换为：,共采样

15、N点，则Tp=NT。并对表示Xa(jf)的积分作零阶近似(t=nT, dt=T)得：,对X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点,采样间隔为F。,同理，由,可推出,连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T来近似。,栅栏效应：DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换,其频谱将不再是连续函数。只能看到N个离散采样点的谱特性。,由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行谱分析，最主要的两个问题就是：1、谱分析范围；2、频率分辨率。,(1)谱分析范围,指信号的最高频率fc，受采样定理限制。 fc fs/2,(2)频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率）,指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的

16、能力，用频率采样间隔F描述。 F = fs/N（矩形窗情况）,(3)谱分析参数确定,N不变，要提高频率分辨率，必须降低fs，会导致谱分析范围减小。同时T增大，因NT=Tp，故Tp增大。,fs不变，要提高频率分辨率，必须增加N。因NT=Tp，T=1/ fs，故Tp必须增加。,因此，若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp,频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度； 也可定义为将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力,时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；,希望：窗函数的“宽度”越小越好,窗口在时域无穷大，在频域无穷小,时域加窗后，窗口由时域窗长决定。在频域，窗口由主瓣宽度决定，主瓣宽度决定频率分

17、辨率（物理分辨率）。距离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开。,例：,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。,在本例中，最小的,即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于500，从DFT的角度看，若令N=512，则：,下图，N分别等于256和512，可见，N=256 时无法分辨三个谱峰。,例 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点N和最小的记录时间是多少?,解：,谱分辨率增加一倍，F=5Hz,2. 用D

18、FT对序列进行谱分析,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在0,2上的N点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计算。,DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换。因此，DFT可用于周期序列的谱结构分析。,DFT进行谱分析的步骤：,DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。,DFT实现连续信号谱分析的过程,3. 用DFT进行谱分析的误差问题,(1) 混叠现象,(2) 栅栏效应,(3) 截断效应,周期延拓,(1) 混叠现象,实际应用中，通常取fs=(35) fh种。对fs确定情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs /2的

19、频率成分，以免发生频谱混叠现象。,如果采样频率fs小于连续信号最高频率fh，会在=处发生频谱混叠现象，对于模拟频率，即在fs /2附近发生频谱混叠现象。,用DFT对连续信号进行谱分析，首先要按采样定理对其采样。,(2) 栅栏效应,N点 DFT是在频率区间0，2上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间频谱函数值是不知道的。,用DFT计算频谱, 就如通过一个栅栏观看信号的频谱情况，仅得到栅栏缝隙中看到的频谱函数值。,由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。,可以采用在原序列尾部补零的方法改变DFT变换区间长度，使原来漏掉的频谱分量被检测出来。,补零的方法能使栅栏效应得到改善（计算分辨率

20、提高），但不能改变频率分辨率（物理分辨率），即原来无法分开的两个频率，并不能通过补零而分开。,(3) 截断效应,序列可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时必须截短成有限长序列。,截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要有：,泄漏，原来谱分量为零的地方出现了谱分量,谱间干扰，由于窗旁瓣的存在，引起不同频率分量间的干扰。,增加矩形窗的窗长N，可使其主瓣变窄，提高频率分辨率，但旁瓣个数和相对幅度并不减小。所以，为了减小谱间干扰，应用其它形状的窗函数代替矩形窗。在FIR滤波器设计中对窗函数进行研究。,截短影响分析：,由上式可知，截断效应是由于窗谱与信号谱卷积造成的。,四、线

21、性调频Z变换,1、引言,ZT与DFT关系,？,若分析窄带信号，我们当然希望在信号频带内进行密集采样。以很好的反映信号的频域性质。,系统零极点分析时，希望清楚的识别出极点对应的频率。但当极点位置离单位圆较远时，就需要抽样点在接近这些极点的曲线上。,如何解决DFT信号分析存在的以上问题呢？,2、Chirp-Z变换（CZT）,图 3.4.9 Chirp z变换计算框图,Chirp z变换计算框图中的：,式中A0和W0为实数。zk为分析点, k=0, 1, , M-1。 当k=0时有：,所以，A决定谱分析的起始点位置，W0决定分析路径的盘旋趋势， 表示两相邻分析点之间的夹角。,3、如何得到Chirp-Z变换,4、Chirp-Z变换步骤,(2),(3),(5) 计算,(6),(7),(4),(1),与标准DFT(FFT)算法相比较， Chirp-Z变换有以下特点： (1) 输入序列长度N和输出序列长度不需要相等， 且二者均可以素数。 (2) 分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角0是任意的(即频率分辨率是任意的)， 因此可从任意频率上开始， 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析。 (3) 谱分析路径可以是螺旋形的。 (4) 当A=1，M=N， 时， zk均匀分布在单位圆上， 此时Chirp-Z变换就是序列的DFT。,