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1、1.2 1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件X 同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈这是我的妈妈”。那。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这这是我的孩子是我的孩子”呢？呢？不会了！为什么呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义
2、的课题关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件。充分条件与必要条件。【实例引入】例例例例:判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。（1 1）若）若）若）若x=2x=2，则，则，则，则x x2 2-5x+6=0-5x+6=0。（2 2）若）若）若）若ab=0,ab=0,则则则则a=0a=0。真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题【问题探究】如果命题如果命题“若若p则则q”为真，则记作为真，则记作如果命题如果命题“若若p则则q”为假，则记作为假，则记作定义定义：如果命题：如果命题“若若p，则，则q”为真命题为真命题,即即p q,那
3、么我们就说那么我们就说p是是q的的充分条件充分条件；q是是p的的必要条件必要条件【定义得出】充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合的，足以保证的。符合“若若p则则q”为真（为真（p q）的形式）的形式,即即“有之必成立有之必成立”。必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非若非q则则非非p”为真（非为真（非q 非非p）的形式，即）的形式，即“无之必不成立无之必不成立”。注：注：p是是q的充分条件与的充分条件与q是是p的必要条件是的必要条件是完全等价完全等价的，它的，它们是同
4、一个逻辑关系们是同一个逻辑关系“p q”的不同表达方法。的不同表达方法。例例例例1 1，下列，下列，下列，下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题题题题 中的中的中的中的p p是是是是q q的充分条件？的充分条件？的充分条件？的充分条件？（1 1）若）若）若）若x=1x=1，则，则，则，则x x2 2 4x+3=0 4x+3=0；（2 2）若）若）若）若f f（x x）=x=x，则，则，则，则f f（x x）为增函数；）为增函数；）为增函数；）为增函数；（3 3）若）若）若）若x x 为无理数，则为无理数，则
5、为无理数，则为无理数，则x x2 2 为无理数为无理数为无理数为无理数解：命题（解：命题（解：命题（解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（3 3）是假命）是假命）是假命）是假命题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（1 1）（）（）（）（2 2）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的充分条件的充分条件的充分条件的充分条件.【典例演练】练习练习练习练习1 1：(1)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若两条直线的斜
6、率相等，则这两条直线平行；(2)(2)若若若若x 5x 5，则，则，则，则x 10 x 10。解：命题解：命题解：命题解：命题（1 1）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（2 2）是假命题）是假命题）是假命题）是假命题 所以命题（所以命题（所以命题（所以命题（1 1）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的充分条件。的充分条件。的充分条件。的充分条件。例例例例2 2 下列下列下列下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题中的中的中的中的q q是是是是p p的必要条件？
7、的必要条件？的必要条件？的必要条件？(1)(1)若若若若x=yx=y，则，则，则，则x x2 2=y=y2 2。(2)(2)若两个三角形全等若两个三角形全等若两个三角形全等若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相等等等等.(3)(3)若若若若abab，则，则，则，则acbcacbc。解：命题解：命题解：命题解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（3 3）是假命）是假命）是假命）是假命题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（1 1）（）（）（）（
8、2 2）中的）中的）中的）中的q q是是是是p p的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。练习练习练习练习2 2 下列下列下列下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题中的题中的题中的题中的p p是是是是q q的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？(1)(1)若若若若a+5a+5是无理数，则是无理数，则是无理数，则是无理数，则a a是无理是无理是无理是无理数。数。数。数。(2)(2)若（若（若（若（x-ax-a）（）（）（）（x-bx-b）=0=0，则，则，则，则 x=a x=a。解：命题解：
9、命题解：命题解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，所以命题（所以命题（所以命题（所以命题（1 1）（）（）（）（2 2）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题中的中的中的中的p p是是是是q q的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
10、所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。练习练习练习练习3 3，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：（1 1）x=2x=2是是是是x x2 2 4x+4=0 4x+4=0的必要条件；的必要条件；的必要条件；的必要条件；（2 2）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；（3 3）sinA=sinBsinA=sinB是是是是A=BA=B的充分条件；的充分条件；的
11、充分条件；的充分条件；（4 4）abab00是是是是a 0a 0的充分条件。的充分条件。的充分条件。的充分条件。命题（命题（命题（命题（2 2）为真命题；）为真命题；）为真命题；）为真命题；命题（命题（命题（命题（3 3）为假命题；）为假命题；）为假命题；）为假命题；命题（命题（命题（命题（4 4）为真命题。）为真命题。）为真命题。）为真命题。命题（命题（1 1）为真命题）为真命题；已知已知p：整数：整数a是是6的倍数，的倍数，q：整数：整数a是是2和和3的倍数，的倍数，那么那么p是是q的什么条件？的什么条件？q又是又是p的什么条件的什么条件?p q,所以所以p是是q的充分条件的充分条件,q是
12、是p的必要条件的必要条件.q p,所以所以q是是p的充分条件的充分条件,p是是q的必要条件的必要条件.称称:p是是q的的充分必要条件充分必要条件,简称简称充要条件充要条件.显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条件的充要条件.p与与q互为充要条件互为充要条件(也可以说成也可以说成”p与与q等价等价”)下列各题中，哪些下列各题中，哪些p是是q的充要条件？的充要条件？(1)p:b0,q:函数函数f(x)ax2bxc是偶函数；是偶函数；(2)p:x 0,y 0,q:xy 0；(3)p:a b,q:a+c b+c；(4)p:x 5,q:x 10;(5)p:a b,q
13、:a2 b2.命题命题(1)和和(3)中，中，p q，故，故p 是是q的充要条件；的充要条件；命题命题(2)中，中，pq,但但qp，故，故p 不是不是q的充要条件；的充要条件；命题命题(4)中，中，pq，但，但qp，故，故p 不是不是q的充要条件；的充要条件；命题命题(5)中，中，pq，且，且qp，故，故p 不是不是q的充要条件；的充要条件；解解:从从逻辑推理关系逻辑推理关系看充分条件、必要条件看充分条件、必要条件:(1)若若p q,q p,则则p是是q的的 .p q充分不必要条件充分不必要条件(2)若若p q,q p,则则p是是q的的 .必要不充分条件必要不充分条件(3)若若p q,q p,
14、则则p是是q的的 .充分必要条件充分必要条件(4)若若p q,q p,则则p是是q的的 .既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件必要不充分条件必要不充分条件充分不必要条件充分不必要条件充要条件充要条件充要条件充要条件从从集合与集合的关系集合与集合的关系看充分条件看充分条件、必要条件必要条件.1)若若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的 .充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件一般情况下若条件甲为一般情况下若条件甲为x，条件乙为，条件乙为x4)若若A=B，则甲是乙的，则甲是乙的充要条件充要条件.2)若若A B且且B A，则甲是乙的，
15、则甲是乙的 .3)若若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的 .AB(1)BA(2)分析分析:设设:p:d=r,q:直线直线L与与 O相切相切.要证要证p是是q的充要条件的充要条件,只需分别证明只需分别证明 充分性充分性 和必要性和必要性 即可即可.例例4 已知已知:O的半径为的半径为r,圆心圆心O到直线到直线L的距离为的距离为d.求证求证:d=r是直线是直线L与与 O相切的充要条件相切的充要条件.变变.若若A是是B的必要而不充分条件，的必要而不充分条件，C是是B的充的充 要条件，要条件，D是是C的充分而不必要条件，的充分而不必要条件，那么那么D是是A的的_充分不必要条件充分不必要条件1.已
16、知已知p,q都是都是r的必要条件，的必要条件，s是是r的充分条件，的充分条件，q是是s的充分条件，则的充分条件，则 （1）s是是q的什么条件？的什么条件？（2）r是是q的什么条件？的什么条件？（3）p是是q的什么条件？的什么条件？充要条件充要条件充要条件充要条件必要不充分条件必要不充分条件注、定义法（图形分析）注、定义法（图形分析）2.已知已知p是是q的必要而不充分条件，的必要而不充分条件，那么那么p是是q的的_.充分不必要条件充分不必要条件注、注、等价法（转化为逆否命题）等价法（转化为逆否命题）3.若若A是是B的充要条件的充要条件,C是是B的充要条件的充要条件,则则A为为C的（的（）条件）条
17、件.A.充要充要 B.必要不充分必要不充分C.充分不必要充分不必要 D.不充分不必要不充分不必要充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件充要条件充要条件不充分不必要条件不充分不必要条件1.定义：定义：2.判别步骤判别步骤:认清条件和结论认清条件和结论认清条件和结论认清条件和结论;考察考察考察考察p qp q和和和和q pq p的真假的真假的真假的真假.3.判别技巧判别技巧:可先简化命题可先简化命题可先简化命题可先简化命题;将命题转化为等价的逆否命题后再判断将命题转化为等价的逆否命题后再判断将命题转化为等价的逆否命题后再判断将命题转化为等价的逆否命题后再判断.否定一个命题只要举出一个反例即可否定一个命题只要举出一个反例即可否定一个命题只要举出一个反例即可否定一个命题只要举出一个反例即可;p p p p是是是是q q q q的什么条件的什么条件的什么条件的什么条件,一共有四种情况一共有四种情况一共有四种情况一共有四种情况;充要性包括：充分性充要性包括：充分性充要性包括：充分性充要性包括：充分性p qp q和和和和 必要性必要性必要性必要性q pq p两个方面两个方面两个方面两个方面.习题习题1.2 A组组 2.3.4