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1、 专题02 方程的根与函数的零点问题 一、 方程的根与函数的零点问题知识框架 二、函数零点存在性判断 1、函数零点存在性判断：（此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数）若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2、求函数零点所在区间的方法：(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断1. 例题【例1】设f(
2、x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()来源:学科网A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)答案：B【例2】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1)B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐
3、标，即为函数f(x)ln(x1)的零点，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零点所在区间为(1，2)答案：B【例3】函数（）的导函数的图象如图所示：来源:（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围【解析】 (2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是. 2.巩固提升综合练习【练习1】函数f(x)3x7ln x的零
4、点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_【解析】求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n2答案：2【练习2】若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c) B(，a)和(a，b) C(b，c)和(c，) D(，a)和(c，)【解析】本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(
5、cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内答案：A答案：D【练习3】已知函数.（1）证明：，；（2）判断的零点个数，并给出证明过程.【解析】（1），则该函数为偶函数，只需证，其中.，.当时，令，得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.，当时，此时，函数单调递减，则，因此，对任意的，；（2）三个零点，证明如下：由（1）可知，当时，函数有一个零点.当时，此时，函数无零点；当时，.此时，函数单调递增，.由零点存在定理可知，存在，使得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.，.由零点存在定理知，函数在区间上无零点，在区间上有且
6、只有一个零点，即函数在区间上有且只有一个零点.由于函数为偶函数，所以，函数在上无零点，在上有且只有一个零点.综上所述，函数有三个零点. 三、方程的根与函数零点个数 1、方程的根与函数零点的关系：函数yf(x)有零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点2、求方程的根与函数零点个数的方法：(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数
7、形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1.例题【例1】已知函数f(x)满足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_【解析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，b当x0时，g(x)2x20有唯一解x1；当x0时，g(x)x2x1，令g(x)0得x或x2(舍去)，综上可知，g(x)f(x)x有2个零点答案：2【例2】函数的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(x)2x|log0.5x|10，可得|log05x|x设g(x)|log0.5x|
8、，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点答案：B【例3】已知函数 . （1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.【解析】（1）由已知得 ，有，在处的切线方程为：，化简得 .2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4 D5【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点答案：A【练习2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则函数yf(
9、x)log3|x|的零点个数是_【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点答案：4【练习3】已知函数（，）（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，判断关于的方程的解的个数【解析】（1），由题意得在恒成立，即在恒成立，设，则，在上单调递增，在上单调递减，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增， 又，存在，使得 时， 单调递减；【练习4】已知函数.（）求函数在区间上的最小值；（）判断函数在区间上零点的个数.【解析】（）因为， 当时，所以在上是增函数，
10、无最小值； 当时，又得，由得在上是减函数，在上是增函数， 若，则在上是减函数，则；若，则在上是减函数，在上是增函数，综上：当时，的最小值为； 当时，的最小值为（）由得令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，且，且，当时，所以，当时，无有零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点. 四、利用函数的零点求参数范围 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
11、求解1.例题【例1】已知方程|x2a|x20(a0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A(0，4)B(4，) C(0，2)D(2，)【解析】依题意，知方程|x2a|x2有两个不等的实数根，即函数y|x2a|的图象与函数yx2的图象有两个不同交点如图，则2，即a4答案：B【例2】已知是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，若函数在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【解析】当x0，3)时，f(x)，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在3，4上的图象，如图函数yf(x)a在区间3，4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3，4与ya的图象有10
12、个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0a时满足题意答案：来源:学,科,网【例3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【解析】（2）由题意得，所以.由，解得，故当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.又，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得. 所以实数的取值范围为.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A0B C0或D2【解析】当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函数，并且
13、仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0，解得a综上，当a0或a时，函数仅有一个零点答案：C【练习2】已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为()A恒为负 B等于零 C恒为正 D不小于零【解析】在同一坐标系中作出ylog2x和yx的图象，由图象知f(x1)0答案：A【练习3】已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()A B C D【解析】当0x1时，f(x)aa；当1x2时，f(x)aa；当2x3时，f(x)aa；f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的，画出y的图象，如图所示，通过数形结合可知a答案：A
14、【练习4】【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，【练习5】 11.已知函数,. （）当时,求的单调区间和极值；（)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；【解析】（）解:当时,函数,则. 令,得,当变化时,的变化情况如下表: +-+极大值极小值在和上单
15、调递增,在上单调递减. 当时,当时,. （）依题意,即. 则令,则. 当时,故单调递增（如图）, 且；当时,故单调递减,且.函数在处取得最大值. 来源:学。科。网故要使与恰有两个不同的交点,只需.实数的取值范围是. 五、 课后自我检测 1已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4) D(4，)【解析】因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)答案：C2方程的根所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：方程log3xx3的根即是函数f(x)lo
16、g3xx3的零点，由于f(2)log3223log3210且函数f(x)在(0，)上为单调增函数函数f(x)的零点即方程log3xx3的根所在区间为(2，3)法二：方程log3xx3的根所在区间即是函数y1log3x与y23x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示由图知方程log3xx3的根所在区间为(2，3)答案：C3设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)的两个零点分别位于区间()A(，1)和(1，2)内B(1，2)和(2，3)内C(2，3)和(3，)内D(，1)和(3，)内【解析】本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x1，f(x)，x2，f(
17、x)，所以函数f(x)在(1，2)上一定存在零点；同理当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，3)上一定存在零点，故选B答案：C6已知函数，则函数的零点为()A，0B2，0C D0【解析】当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0解析：D7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_【解析】画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0，1)答案：(0，1)8已知函数f(x)
18、有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，方程2xa0，即2xa必有一根，此时0a1；当x0时，方程x23axa0有两个不等实根，即方程x23axa0有2个不等正实根，于是a，故a1答案：来源:学科网ZXXK9.已知函数的两个零点为（1）求实数m的取值范围；（2）求证：【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，又，则在单调递增，故原不等式成立10、已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数零点的个数.【解析】证明：当时，.
19、令则当时，；当时，时，所以在上单调递减，在单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，即故当时，成立， ，由得.当时，；当时，所以在上单调减，在单调增，所以是函数得极小值点，也是最小值点，即当，即时，没有零点，当，即时，只有一个零点，当，即时，因为所以在上只有一个零点；由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；因此，当时，有两个零点.综上，时，没有零点；时，只有一个零点；时，有两个零点.11.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】12.已知函数f（x）=.（1）当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（2）用 表示m,n中的最小值，设函
20、数 ，讨论h（x）零点的个数.【解析】（）当时，从而，在（1，+）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.来源:学科网若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.