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1、 专题02 方程的根与函数的零点问题 一、 方程的根与函数的零点问题知识框架 二、函数零点存在性判断 1、函数零点存在性判断：（此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数）若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2、求函数零点所在区间的方法：(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断1. 例题【例1】设f(
2、x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()来源:学科网A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【例2】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1)B(1，2) C(2，3) D(3，4)【例3】函数（）的导函数的图象如图所示：来源:（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围2.巩固提升综合练习【练习1】函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_【练习2】若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c) B(，a)和(a，b
3、) C(b，c)和(c，) D(，a)和(c，)【练习3】已知函数.（1）证明：，；（2）判断的零点个数，并给出证明过程. 三、方程的根与函数零点个数 1、方程的根与函数零点的关系：函数yf(x)有零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点2、求方程的根与函数零点个数的方法：(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转
4、化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1.例题【例1】已知函数f(x)满足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_【例2】函数的零点个数为()A1B2C3 D4【例3】已知函数 . （1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4 D5【练习2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则
5、函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【练习3】已知函数（，）（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，判断关于的方程的解的个数【练习4】已知函数.（）求函数在区间上的最小值；（）判断函数在区间上零点的个数. 四、利用函数的零点求参数范围 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解1.例题【例1】已知方程|x2a|x20(a0)有两个不等的实数根，则
6、实数a的取值范围是()A(0，4)B(4，) C(0，2)D(2，)【例2】已知是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，若函数在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【例3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A0B C0或D2【练习2】已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为()A恒为负 B等于零 C恒为正 D不小于零【练习3】已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()
7、A B C D【练习4】【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【练习5】 11.已知函数,. （）当时,求的单调区间和极值；（)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；五、 课后自我检测 1已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4) D(4，)2方程的根所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)3设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)的两个零点分别位于区间()A(，1)和(1，2)内B(1，2)和(2，3)内C(2，3)和(3，)内D(，1)和(3，)内6已知函数，则函数的零点为()A，0B2，0C D07已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_8已知函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_9.已知函数的两个零点为（1）求实数m的取值范围；（2）求证：10、已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数零点的个数.11.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.12.已知函数f（x）=.（1）当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（2）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.