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1、第4章幂函数、指数函数和对数函数综合拔高练 考点1指数式与对数式的运算1.(2020全国文,8)设alog34=2,则4-a=()A.116B.19C.18D.162.(2019北京,6)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lg𝐸1𝐸2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1考点2指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质3.(2021全国甲文,4)下列函数中
2、是增函数的为()A. f(x)=-xB. f(x)=23𝑥C. f(x)=x2D. f(x)=3𝑥4.(2020全国文,10)设函数f(x)=x3-1𝑥3,则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+)单调递增B.是奇函数,且在(0,+)单调递减C.是偶函数,且在(0,+)单调递增D.是偶函数,且在(0,+)单调递减5.(2020全国理,11)若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|06.(2019课标全国,3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bc0,且a1)的图象可能是
3、()8.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x0时, f(x)=𝑥23,则f(-8)的值是.9.(2019课标全国,14)已知f(x)是奇函数,且当x0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.考点3函数的零点与方程的根10.(2020天津,9)已知函数f(x)=𝑥3,x0,-𝑥,𝑥0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)考点4函数在实际问题中的应用12.(2020新高考,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行
4、病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天13.(2019课标全国,4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个
5、关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:𝑀1(𝑅+𝑟)2+𝑀2𝑟2=(R+r)𝑀1𝑅3.设=𝑟𝑅.由于的值很小,因此在近似计算中3𝛼3+3𝛼4+𝛼5(1+ҵ
6、72;)233,则r的近似值为()A.𝑀2𝑀1RB.𝑀22𝑀1RC.33𝑀2𝑀1RD.3𝑀23𝑀1R14.(2018上海,19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=30,0𝑥30,2𝑥+1 800𝑥-90,30𝑥100(单位:分钟),而公交群体的
7、人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 应用实践1.(2020福建莆田一中期末)已知a=0.5-1.5,b=log615,c=log516,则()A.bcaB.cbaC.abcD.acb2.(2022江苏百校大联考)药物治疗作用与血液中药物浓度(简称血药浓度)有关,血药浓度C(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)的变化规律可近似表示为C(t)=C0e-t,其中C0表示第一次静脉注射后人体内
8、的初始血药浓度,表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1 h后测得血药浓度为1.210-3mg/mL,2 h后测得血药浓度为0.810-3mg/mL,为了达到预期的治疗效果,当血药浓度为0.410-3mg/mL时需进行第二次注射,则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.3.0 hB.3.5 hC.3.7 hD.4.2 h3.(2021河北石家庄正定一中期中)已知函数f(x)=x21-22𝑥+1,若对任意的m-3,3,f(ma)+f(a-m+1)0恒成立,则实数a的取值范围为()A.-,122,
9、+) B.(-,-11,+)C.12,2 D.1,24.(多选)(2021江苏盐城阜宁期末)下列说法正确的是()A.已知方程ex=8-x的解在(k,k+1)(kZ)内,则k=1B.函数f(x)=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0)C.函数y=3x与y=log3x的图象关于直线y=x对称D.用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内的近似解的过程中,得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)内5.(2020河南南阳期末)已知函数h(x)=4-𝑥2(0x2)的图象与函数f(x)=log2x及函数g(x)=2x的图象分别交于A(x1,y1
10、),B(x2,y2)两点,则𝑥12+𝑥22的值为.6.(2020北京高考适应性测试)已知函数f(x)的定义域为-1,1),其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的奇函数,满足g(2-x)+g(x)=0,且当x(0,1)时,g(x)=f(x),给出下列三个结论:g(0)=0;函数g(x)在(-1,5)内有且仅有3个零点;不等式f(-x)0的解集为x|-1x0,b1),y=𝑎𝑥+b;(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价;(3)利用你选取的函数,若存在x(10,+),使得不等式 𝑓(&#
11、119909;)𝑥-10-k0成立,求实数k的取值范围.答案与分层梯度式解析 1.Balog34=2,a=2log43=log23,4-a=4-log23=2-2log23=2log219=19,故选B.2.A依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以52lg𝐸1𝐸2=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg𝐸1𝐸2=25.2525=10.1,所以𝐸1𝐸2=1010.1.故选A.3.D对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f
12、(x)=23𝑥,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3𝑥=𝑥13,由幂函数的性质可知, f(x)在(-,+)上单调递增,故选D.4.A由函数y=x3和y=-1𝑥3都是奇函数,知函数f(x)=x3-1𝑥3是奇函数.由函数y=x3和y=-1𝑥3都在区间(0,+)上单调递增,知函数f(x)=x3-1𝑥3在区间(0,+)上单调递增,故函数f
13、(x)=x3-1𝑥3是奇函数,且在区间(0,+)上单调递增.故选A.5.A因为2x-2y3-x-3-y,所以2x-3-x2y-3-y.因为函数t1=2x和t2=3-x分别是定义域上的增函数与减函数,所以f(x)在R上为增函数.由2x-3-x2y-3-y得x1,所以ln(y-x+1)0,故选A.6.Ba=log20.220=1,c=0.20.3(0,0.20),即c(0,1),ac0可得-x0时, f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8,-aln 2=ln 8=3ln 2,a=-3.10.D令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)
14、=f(x)-|kx2-2x|(kR)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点.当k=-12时,h(x)=-12𝑥2-2x=12𝑥2+2x,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图.由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示.此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D.11.Cg(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价
15、于函数f(x)=e𝑥,x0,ln𝑥,𝑥0与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.故选C.12.B因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=𝑅0-1𝑇=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 20.69,所以t=ln20.380.690.3
16、81.8.故选B.13.D将r=R代入方程可得𝑀1(𝑅+𝛼𝑅)2+𝑀2𝛼2𝑅2=(1+)𝑀1𝑅2,即𝑀1(1+𝛼)2+𝑀2𝛼2=(1+)M1,𝛼2(𝛼3+3𝛼2+3)(1+𝛼)2=𝑀2𝑀1,即𝑀2𝑀1=𝛼5+3𝛼4+3⼙
17、2;3(1+𝛼)2,𝑀2𝑀133,3𝑀23𝑀1,r=R3𝑀23𝑀1R.故选D.14.解析(1)由题意知,当30x40,即x2-65x+9000,解得x45,故x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0x30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-𝑥10;当30x100时,g(x)=2𝑥+1 800𝑥-90x%+40(1-x%)=𝑥250-1310x+58.故g(x)=40-
18、𝑥10,0𝑥30,𝑥250-1310x+58,30𝑥100.当0x32.5时,g(x)单调递减;当32.5x2,b=log615log636=2,c=log516b,ac,又lg 16lg 150,lg 6lg 50,lg15lg6lg16lg5,即log615log516,从而bc0时,y=x20,y=1-21+2𝑥0,f(x)在0,+)上单调递增,则f(x)在R上单调递增,对任意的m-3,3, f(ma)+f(a-m+1)0恒成立,即f(ma)-f(a-m+1)=f(-a+m-1)在m-3,3上恒成立,即ma-
19、a+m-1,亦即m(a-1)+a+10对任意m-3,3恒成立,设g(m)=m(a-1)+a+1,m-3,3,可得g(-3)=-3(a-1)+a+10,且g(3)=3(a-1)+a+10,解得12a2,故选C.4.ACD对于A,令f(x)=ex+x-8,易知f(x)在R上是增函数,且其图象是连续不断的, f(1)=e-70,所以方程ex=8-x的解在(1,2)内,所以符合题意的整数k只能取1,故A正确;对于B,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故函数f(x)的零点为-1和3,故B错误;对于C,函数y=3x与函数y=log3x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,故C正确;对于D,
20、由于f(1.25)f(1.5)0,所以由函数零点存在定理可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故D正确.故选ACD.5.答案4解析因为函数f(x)=log2x与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,函数h(x)=4-𝑥2(0x2)的图象关于直线y=x对称,且与函数f(x)=log2x及函数g(x)=2x的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以y1=x2,从而点A的坐标为(x1,x2).由题意得点(x1,x2)在函数h(x)=4-𝑥2(0x2)的图象上,所以x2=4-𝑥12,所以𝑥12+𝑥
21、;22=4.6.答案解析g(x)是定义域为R的奇函数,g(0)=0,故正确;由g(2-x)+g(x)=0,得g(2-x)=-g(x),g(x)为奇函数,g(2-x)=-g(x)=g(-x),g(2-(-x)=g(-(-x),即g(2+x)=g(x),g(2+(-1)=g(-1)=-g(1),g(1)=0,又当x(0,1)时,g(x)=f(x),g(x)在(-1,5)内的大致图象如图所示.g(0)=g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0,即g(x)在(-1,5)内有5个零点,故错误;由题中f(x)的图象可知, f(-x)0时,0-x1,即-1x0,(k-1)n2-43kn-1=0只有一个正实
22、数根.若k=1,则n=-34,不符合题意,舍去;若k1,则方程的两个根异号或方程有两个相等的正实数根,-1𝑘-10,-1𝑘-10,解得k1或k=-3.综上,实数k的取值范围是k=-3或k1.9.解析(1)由题表知,随着时间x的增大,y的值先减小后增大,而所给的函数y=ax+b,y=alogbx(b0,b1)和y=𝑎𝑥+b显然都是单调函数,不满足题意,故选择y=ax2+bx+c(a0).(2)把(2,102),(6,78),(20,120)分别代入y=ax2+bx+c,得4𝑎+2𝑏+𝑐
23、=102,36𝑎+6𝑏+𝑐=78,400𝑎+20𝑏+𝑐=120,解得𝑎=12,𝑏=-10,𝑐=120,y=12x2-10x+120=12(x-10)2+70.当x=10时,y有最小值,且ymin=70.故当该纪念章上市10天时,市场价最低,最低市场价为每枚70元.(3)令g(x)=𝑓(𝑥)𝑥-10=12(x-10)+70𝑥-10.若存在x(10,+),使得不等式g(x)-k0成立,则kg(x)min.易得函数g(x)在(10,10+235)上单调递减,在(10+235,+)上单调递增,当x=10+235时,g(x)取得最小值,且最小值为g(10+235)=235,k235.学科网（北京）股份有限公司