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1、5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.(2022浙江嘉兴期末)若函数f(x)=3x+sin 2x,则f (x)=()A.3xln 3+2cos 2xB.3x+2cos 2xC.3xln 3+cos 2xD.3xln 3-2cos 2x2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f (x),且f (2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.13.(多选)下列求导正确的是()A.(e2x)=2ex B.(3x+1)=3C.(2x)=12xD.(xsin x)=sin x+xcos x4.(2022安徽合肥一中期末)函数f(x)=excos 2x的导函数
2、f (x)=.5.(2022山西怀仁一中期末)已知函数f(x)=e2x+f (0)ln(x+4),则f (0)=.6.求下列函数的导数.(1)y=112x2;(2)y=esin(ax+b);(3)y=sin22x+3;(4)y=5log2(2x+1).题组二复合函数求导的综合应用7.(2022山西太原期末)已知一质点的运动方程为s=ln(t2+1)+3t,其中位移s的单位为m,时间t的单位为s,则质点在第1 s末的瞬时速度为()A.1 m/sB.2 m/sC.4 m/sD.72 m/s8.设aR,函数f(x)=ex +ae-x的导函数是f (x),若y=f (x)是奇函数,则a的值为()A.1
3、B.-12C.12D.-19.(2022河北邯郸第一中学期末)已知aR,函数f(x)=aex-1-xln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.-2B.-1C.2D.110.在一次降雨过程中,某市的降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=10t,则在t=40时的降雨强度为()A.20 mm/minB.400 mm/minC.12 mm/minD.14 mm/min11.(2022江苏镇江期末)已知函数f(x)=4x+1,则函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为.12.已知函数f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-2-
4、x,则曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为.13.已知曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且此切线与直线l间的距离为2,求直线l的方程.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.(2021江西南昌八一中学、洪都中学等七校期末联考)设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为()A.2(4e1)2B.2(4e+1)2C.322D.222.(多选)已知点P在曲线y=4ex+1上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值可以是()A.4B.2C.34D.783.(多选)(2022广东惠州三调)关于双曲正弦函
5、数sin h(x)=exex2和双曲余弦函数cos h(x)=ex+ex2,下列结论正确的是()A.sin h(-x)=-sin h(x)B.cos h(x)=-sin h(x)C.cos h(-1)cos h(2)D.sin h(x)2-cos h(x)2=14.(2022河北保定月考)若曲线y=14sin 2x+32cos2x在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则|x1-x2|的最小值为()A.3B.2C.23D.5.定义方程f(x)=f (x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),(x)=cos x(x(0,)的
6、“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.bc0,0,2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f (x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()A.函数g(x)的图象的对称轴方程为x=k-12(kZ)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得其在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为27.设函数f(x)=sin(3x+)(0-4,当x=0时, f (0)=2+f (0)4,解得f (0)=83,故答案为83.6.解析(1)设y=u12,u=
7、1-2x2,则yx =yuux =(u12)(1-2x2)=12u32(-4x)=-12(1-2x2)32(-4x)=2x(1-2x2)32.(2)设y=eu,u=sin v,v=ax+b,则yx =yuuvvx =eucos va=acos(ax+b)esin(ax+b).(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+3,则yx =yuuvvx =2ucos v2=4sin vcos v=2sin 2v=2sin4x+23.(4)设y=5log2u,u=2x+1x12,则yx =yuux =(5log2u)(2x+1)=10uln2=10(2x+1)ln2x12.7.C由题意得s=2tt2+1
8、+3,故质点在第1 s末的瞬时速度为21+1+3=4 m/s.故选C.8.A易得f (x)=ex-ae-x,因为y=f (x)是奇函数,所以f (0)=1-a=0,解得a=1.经检验符合题意.9.D由题意可得f (x)=aex-1-ln x-1,切点坐标为(1,a),则切线l的斜率k=f (1)=a-1,所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),故l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.10.D由f(t)=10t,得f (t)=1210t(10t)=102t,所以f (40)=10240=14.故在t=40时的降雨强度为14 mm/min.11.答案23解析因为f(x)=4x+1,
9、所以f (x)=24x+1,所以f (2)=242+1=23,所以函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为23.12.答案y=2x-1解析设x0,则-x0时, f(x)=ex-2+x,则f (x)=ex-2+1,f (2)=2,又f(2)=3,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.13.解析y=esin x,y=esin xcos x,yx=0=1.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.又直线l与直线x-y+1=0平行,直线l的方程可设为x-y+m=0(m1).由m1|12+(1)2=2得m=-1或m=
10、3.直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.能力提升练1.C由题意知,求P,Q两点间的距离的最小值,就是求在曲线y=xe-x上某点处和直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y=xe-x得y=(1-x)e-x,令y=(1-x)e-x=1,解得x=0,当x=0时,y=0,故P,Q两点间的距离的最小值即为点(0,0)到直线y=x+3的距离,P,Q两点间的距离的最小值为32=322.故选C.2.CD因为y=4ex+1,所以y=4ex(ex+1)2=4exe2x+2ex+1=4ex+1ex+2.因为ex 0,所以ex +1ex2ex1ex=2当且仅当ex=1ex,即x=0时取等号,
11、所以y-1,0),所以tan -1,0).又因为0,),所以34,.结合选项知选CD.3.ACsin h(-x)=exex2=-exex2=-sin h(x),A正确;cos h(x)=ex+ex2=exex2=sin h(x)-sin h(x),B错误;cos h(2)-cos h(-1)=e2+e22-e1+e2=e4+1ee32e2=(e1)(e31)2e20,cos h(2)cos h(-1),C正确;sin h(x)2-cos h(x)2=exex22-ex+ex22=44=-1,D错误.故选AC.4.By=14sin 2x+32cos2x=14sin 2x+321+cos2x2=1
12、2sin2x+3+34,y=cos2x+3,曲线的切线的斜率在-1,1范围内,又曲线在A、B两点处的切线互相垂直,曲线在A,B两点处的切线的斜率一个是1,另一个是-1.不妨设曲线在A点处的切线的斜率为1,则2x1+3=2k1(k1Z),2x2+3=2k2+(k2Z),故x1-x2=(k1-k2)-2=k-2(kZ),所以|x1x2|min=2.故选B.5.C由g(x)=x2+1可得g(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.由h(x)=ln(x+2)可得h(x)=1x+2,x-2,设F(x)=h(x)-h(x)=ln(x+2)-1x+2,易知F(x)在(-2,+)上单调递增
13、,当x=-1时,F(-1)=-10,故-1b0.由(x)=cos x(x(0,)可得(x)=-sin x,令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,则2sinx+4=0,又x(0,),所以x+4=,得x=34,即c=34.综上可知,bac.故选C.6.AD由题图知A=2,T4=23-6=2,T=2,=2T=1.当x=6时,x+=6+=2+2k,kZ,|2,=3,f(x)=2sinx+3,f (x)=2cosx+3,g(x)=f(x)+f (x)=2sinx+3+2cosx+3=22sinx+3+4=22sinx+712,令x+712=2+k,kZ,解得x=-12+k,kZ,函数
14、g(x)的图象的对称轴方程为x=-12+k,kZ,A正确;当x+712=2+2k,kZ时,函数g(x)取得最大值,为22,B错误;易得g(x)=22cosx+712,g(x)223,g(x)的图象上不存在点P,使得其在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2即22sinx+712=2,sinx+712=22,x+712=4+2k,kZ或x+712=34+2k,kZ,方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为2,D正确.故选AD.7.答案6解析f(x)=sin(3x+),f (x)=3cos(3x+),f(x)+f (x)=sin(3x+)+3cos(
15、3x+),令g(x)=sin(3x+)+3cos(3x+),g(x)=2sin3x+3, y=g(x)为偶函数,+3=k+2,kZ,又0,=6.8.解析由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,得f (x)=3-2sin 2x+2cos 2x,则a=f 4=3-2sin 2+2cos 2=1.由y=x3得y=3x2.点P在曲线y=x3上,b=a3=1,点P的坐标为(1,1).当P点为切点时,切线的斜率k=312=3,曲线y=x3上一点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),x01,此时切线的斜率k=3x02,切线方程为y-x03=3x02(x-x0).将P(1,1)的坐标代入切线方程,得1-x03=3x02(1-x0),2x03-3x02+1=0,2x03-2x02-x02+1=0,(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12或x0=1(二重根,舍去),切点的坐标为12,18,切线的斜率为3122=34,切线方程为y+18=34x+12,即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.10学科网（北京）股份有限公司