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1、高三数学二轮复习 编号：9 编制人： 班级： 姓名： 小组： 专题九 利用导数研究函数的性质【学习目标】1.结合具体实例，说出用导数研究函数单调性、极值、最值的方法。2.探究用导数求函数单调区间和已知单调性求参数范围问题，提高数学运算能力3.构建超越函数模型，解决函数的单调性、极值、最值问题，发展数学建模、数学运算等核心素养。【体系建构】1.曲线的切线方程（1）若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来
2、。（2）求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素。（3）在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。2.求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒
3、负的因式，以简化不等式（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增增，减+减减，增减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。3.利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极
4、值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值【基础过关】1.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为_2.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于() A.或 B. 或 C. 或 D. 或3.函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。【探究迁移】探究点一 六个超越函数4.画出六个超越函数的图像并写出单调区间和最值。（1） （2）（3） （4）（5） （6）探究点二.函数的单调性5.已知函数，讨论的单调性6.已知函数，求的单调区间【拓展】7.（1）若函数在区间单调递增，则的取值集合是_（2）若函数的递增区间是，则的取值集合是_【
5、高考预测】8.已知，函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设是的导数.证明：在上单调递增；专题九 利用导数研究函数的性质答案（仅供参考）【基础过关】1.解析：由切线过可得：，所以，另一方面，且，所以，从而切线方程为：2.本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值。设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得，同理，切点为解得答案：A3.求函数的单调区间解：，当时，为减函数当时， 在单调递增综上所述：在单调递减，在单调递增【探究迁移】 探究点二.函数的单调区
6、间5.已知函数，讨论的单调性解：定义域为 令即考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点） 时 恒成立，故在单调递增 时 的解 的解集为的单调区间为： 时 在单调递增6.已知函数，求的单调区间解：定义域令，即解不等式（1）当时，可得，则不等式的解为的单调区间为：（2）当时， 时，即，解得或的单调区间为： ，代入到恒成立 为增函数 ，解得：或的单调区间为：7.解：（1）思路：，由在单调递增可得：，。（2）思路：的递增区间为，即仅在单调递增。令，若，则单调递增区间为不符题意，若，则时，。所以【高考预测】8.【详解】（1）的定义域是.求导得.令，则.因为，等号成立当且仅当，所以在上单调递增.注意到，所以在上，在上.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）（i）的定义域是.求导得.当时，所以.设函数，则.令，得.因为在上单调递增，所以在上，在上.因此在上单调递减，在上单调递增.于是，即.所以在上单调递增.学科网（北京）股份有限公司