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1、专题1 函数的图象与性质探究1：函数性质的综合应用【典例剖析】例1.(2022江苏省南京市月考多选) 已知函数f(x)对任意xR都有f(x+2)=f(x)，若函数y=f(x1)的图象关于x=1对称，且对任意的x1，x2(0,2)，且 x1x2，都有f(x1)f(x2)x1x20，若f(2)=0，则下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数B. f(2022)=0C. f(x)的图象关于点(1,0)对称D. f(2)f(1)选题意图: 以抽象函数为载体考查函数的性质是高考的重难点，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及后继的学习潜能.借助本题强调学生对于单调性、奇偶性、周期性等性质的定义、相关
2、结论的记忆与理解，梳理抽象函数常见的解题思路.思维引导: 由题干条件结合定义及相关结论，得出函数的周期、对称性、及在区间(0,2)上的单调性，逐个判断选项，也可以作出函数的大致图象，借助图象更直观的判断.【变式训练】练1-1(2021安徽省合肥市联考) 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0,+)时，f(x)单调递减，则不等式f(2x1)+f(5x13)0的解集为()A. (2,+)B. (,2)C. (,2)D. (2,+)练1-2(2022湖北省高三月考) 已知定义在2m,m+3上的奇函数f(x)，且当x0时，f(x)=13x3x2+ex+1n，记a=f(logmn)，b=f(logm+
3、nm)，c=f(nm)，则a，b，c的大小关系为()A. abcB. cbaC. acbD. bca【规律方法】1.函数单调性与奇偶性综合问题判断函数单调性的一般规律：解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.解决不等式问题时,首先一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成fx1fx2的形式,再根据函数的奇偶性与单调性,列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响. 2.函数对称性、周期性、奇偶性的综合问题利用图像的对称性与函数的奇偶性,转化得到函数周期性的特征,进而求解.若函数f(x)为偶函数，且f
4、(a+x)f(ax)，则2a是函数f(x)的一个周期若函数f(x)为奇函数，且f(a+x)f(ax)，则4a是函数f(x)的一个周期若函数f(x)满足f(a+x)f(ax)，且f(b+x)f(bx)，则2(ba)是函数f(x)的一个周期探究2：函数图象的应用【典例剖析】例2.(2022河北省石家庄市联考) 已知f(x)=1x1,x1lnx,0x1，若函数g(x)=f(x)kx+k只有一个零点，则k的取值范围是()A. (,1)(1,+)B. 1,1C. 0,1D. (,10,1选题意图:数形结合求参数的取值范围是图象应用的常考题型，难度不低.借助该题理清此类问题的解题思路，并能够准确的作出函数
5、图象（基本初等函数的图象、图象变换后的函数图象、借助导数作图等），识图，是解题的关键.思维引导:本题考查分段函数的应用，零点问题直接转化为图象交点问题解决，即函数y=fx与y=kx1 的图象有一个交点.涉及“斜率k”的取值范围，利用导数的几何意义，求出“相切”时的k的值，结合图象得出参数的取值范围.【变式训练】练2-1(2022广东省深圳市月考) 几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换.在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换.以下两个函数f(x)与g(x)，其中g(x)不能由f(x)通过平移刚体变换得到的是()A. f(x)=sinx，g(x)=cosxB. f(x)=
6、x2，g(x)=x2+2xC. f(x)=2x，g(x)=2x+1D. f(x)=log2x，g(x)=log4x练2-2(2022山东省潍坊市模拟) 已知函数f(x)=2ln(1+x)ax的导数为f(x)，且f(1)=0，则函数g(x)=f(ex)cosx图象的大致形状是()A. B. C. D. 【规律方法】1.函数图象的识辨一般有两种类型：知式选图和知图求式.解题的关键是从图象中读出有用的信息,并与函数解析式相互印证,进而解决问题.寻找函数图象与解析式之间的关系,常从函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性、对称性周期性,特殊值的角度找突破口.2.函数图象的应用以函数图象为工具来解决数学问题
7、,体现了数形结合的数学思想.应用函数图象研究函数的性质，解方程或不等式，解决零点问题、恒成立问题、存在性问题都是常见的题型.利用函数的图像研究函数性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值或值域、零点) 常借助于图像研究, 但一定要注意性质与图像特征的对应关系.用函数的图像研究方程根的个数的方法当方程与基本函数有关时,可以通过函数图像来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图像与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像的交点的横坐标.利用函数的图像研究不等式解集的方法当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数
8、有关时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合来处理.求参数取值范围的方法通常采用“以形助数”或“以数辅形”的数形合法将问题直观化、生动化.总之,绘制函数图象要规范、准确；识辨函数图象要善于读图；应用函数图象解题要灵活构造函数,并作出图象.熟练掌握基本初等函数的图象和性质,是解决这类问题的前提.专题1 函数图象与性质-答案解析例1.【解析】对选项A，因为函数y=f(x1)的图象关于x=1对称，所以f(1+x1)=f(1x1)即f(x)=f(x)，即y=f(x)为偶函数，故A正确；对选项B，由f(x+2)=f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故函数y=f(x)为周期T
9、=4的周期函数，则f2022=f4505+2=f2=f2=0，故B正确；对选项C，因为f(x+2)=f(x)，所以f(x+2)+f(x)=0，f(x)=f(x)，则f(x+2)+f(x)=0，则根据中点坐标公式得该函数f(x)的图象关于(1,0)对称，故C正确；对选项D，f(2)=0，由f(x+2)=f(x)，所以f(1)=f(1)，而f(1)=f(1)，所以f(1)=0，所以D错误故选：ABC练1-1.【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0,+)单调递减，所以f(x)是定义在R上的单调递减函数，不等式f(2x1)+f(5x13)0等价为f(2x1)5x+13，得x2即不等式的解集为
10、(2,+).故选A练1-2.【解析】由题意知，f(x)是定义在2m,m+3上的奇函数，当x0时，f(x)=13x3x2+ex+1n，所以2m+m+3=0，f(0)=2n=0，所以m=3，n=2，所以a=f(log32)，b=f(log53)，c=f(23)，因为当x0时，f(x)=x22x+exx22x+1=(x1)20，所以f(x)在(0,+)上单调递增，因为98，所以913813，所以3232，所以23log320，所以ca，因为2725，所以27132513，所以3523，所以log53230，所以bc，故bca故选：C例2. 【解析】由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=k(x1)
11、只有一个交点，如图所示：直线y=k(x1)经过定点(1,0)，斜率为k当0x1，此时，应有0k1当x1时，f(x)=1x1，f(x)=1x21,0)，此时，应有k1如图所示：故k(,10,1，故选D练2-1.【解析】对于选项A，g(x)=cosx=sin(x+2)，将函数f(x)向左平移2个单位即可得到g(x)图象，故A错误；对于选项B，gx=x2+2x=x+121，将函数f(x)向左平移1个单位，向下平移1个单位即可得到g(x)图象，故B错误；对于选项C，将函数f(x)向上平移1个单位即可得到g(x)图象，故C错误；对于选项D，gx=log4x=12log2x，不能由f(x)图象平移得到，故D正确故选D练2-2.【解析】函数f(x)=2ln(1+x)ax，(x1)，则f(x)=21+xa，由f(1)=1a=0a=1，所以g(x)=(21+ex1)cosx，定义域为R，关于原点对称，由g(x)=(21+ex1)cos(x)=ex1ex+1cosx=(2exex+11)cosx=(12ex+1)cosx=g(x)，所以g(x)为奇函数，且当x(0,2)时，有g(x)0，故本题选A5学科网（北京）股份有限公司