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1、 2021学年第一学期天河区期末考试高一数学一、选择题1. 下列函数中，既在R上单调递增，又是奇函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.【详解】是奇函数，但在R上不单调递增，故A不满足题意；既在R上单调递增，又是奇函数，故B满足题意；、不是奇函数，故C、D不满足题意；故选：B2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题，故A错；，B正确；，C错；，D错；故选:B3. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
2、】【分析】根据指、对数函数的知识判断出的范围即可.【详解】因为，所以故选：B4. 已知是锐角，那么是（ ）A 第一象限角B. 第二象限角C. 小于180的正角D. 第一或第二象限角【答案】C【解析】【分析】由题知，故，进而得答案.【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C5. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x01.002.03.0y0.240.5112.023.988.02在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映，y函数关系的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题中表格数据画出散点图，由图
3、观察实验室是指数型函数图象【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，观察图象，类似于指数函数对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误，对于B，是指数型函数，所以B正确，对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误，对于D，是反比例型函数，图象是双曲线，所以D错误，故选：B6. 设，若，则ab的最小值是（ ）A. 5B. 9C. 16D. 25【答案】D【解析】【分析】结合基本不等式来求得的最小值.【详解】，当且仅当时等号成立，由.故选：D7. 使不等式成立的充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义
4、结合集合间的关系直接判断作答.【详解】解不等式得：，对于A，因，即是成立的充分不必要条件，A正确；对于B，是成立的充要条件，B不正确；对于C，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C不正确；对于D，因，则是成立的必要不充分条件，D不正确.故选：A8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意设hf（t）Asin（t+）+k，求出、A、T
5、和k、的值，写出函数解析式，计算f（t）+f （t+1）+f （t+2）的值【详解】根据题意，设hf（t）Asin（t+）+k，（0），则A2，k1，因为T3，所以，所以h2sin（t+）+1，又因为t0时，h0，所以02sin+1，所以sin，又因为0，所以，所以hf（t）2sin（t）+1；所以f （t）sintcost+1，f （t+1）2sin（t）+12cost+1，f （t+2）2sin（t）+1sintcost+1，所以f （t）+f （t+1）+f （t+2）3故选：C二、选择题9. 下列几种说法中，正确的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C
6、. 若不等式的解集是，则的解集是D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件【答案】BC【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断A；由命题的否定可判断B；由不等式的解法可判断C；由不等式恒成立求出k的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D【详解】对于A，xy不能推出x2y2，例如x1，y2，x2y2也不能推出xy，例如x2，y1，故“xy”是“x2y2”的既不充分也不必要，故A错误；对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确；对于C，若不等式x2+axb0的解集是（2，3），则2，3是方程x2+axb0的两个根，由根与系数的关系可得a2+3，b6，可得a1，b6，所以ax2x+b0即为
7、x2x+60，即x2+x60，解得3x2，可得不等式ax2x+b0的解集为（3，2），故C正确；对于D，不等式对一切x都成立，当k0时，不等式0恒成立，当k0时，k242k（）0，解得3k0，综上，k（3，0，所以“k（3，0）”是“不等式对一切x都成立”的充分不必要条件，故D错误故选：BC10. 下列几种说法中，正确的是（ ）A. 若，则B. 若且，则的最小值是2C. 时，的最小值是D. 取得最大值时，【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B，C，D，注意基本不等式成立的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可【详解】对于选项A，又，故选项A正确，对于选项B，当
8、时，故选项B错误，对于选项C，当且仅当即时，等号成立，显然取不到，所以等号不能成立，故选项C错误，对于选项D：由可得，当且仅当即时，等号成立，故选项D正确， 故选：AD11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 直线是函数图象的一条对称轴B. 函数在区间上单调递减C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象D. 若对任意的恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论【详解】函数，对于A：f（）1，故A正确；对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；对于C：将函数的图象上的所有
9、点向左平移个单位，得到函数的图象，故C正确；对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，由于，所以，故当x0时取得最小值，故a1，故D正确故选：ACD12. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的单调递增区间为B. 当时，有3个零点C. 当时，的所有零点之和为-1D. 当时，有1个零点【答案】BD【解析】【分析】画出的图象，然后逐一判断即可.【详解】的图象如下：由图象可知，的增区间为，故A错误当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，故C错误；当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：BD三、填空题13. 函数的定义域为_【答案
10、】【解析】【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.故答案为：.14. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则_【答案】【解析】【分析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.【详解】由三角函数的定义有，而.故答案为：15. 已知函数奇函数，则_【答案】#【解析】【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为是奇函数，所以有，故答案为：16. 若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.【详解】当时，符合题意，当时，二次函数的判别式为：，若，此时函数的
11、零点为，符合题意；当时，只需，所以且；当时，经验证符合题意；当时，经验证符合题意；所以实数a的取值范围为.故答案为：四、解答题17. 已知集合，.（1）求，（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)解不等式化简集合B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.(2)由已知可得，再利用集合的包含关系列式计算作答.【小问1详解】解得：，则，而，所以，或，.【小问2详解】，因，则，于得，所以实数a的取值范围是.18. 已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简可得，然后利用二倍角公式求解即可；（2）由条件可
12、得，然后根据求解即可.【小问1详解】因为，所以【小问2详解】因为，所以，所以19. 已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）解不等式【答案】（1）f（x）为奇函数，证明见解析； （2）当a1时，不等式的解集为（0，1）；当0a1时，不等式的解集为（1，0）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围【小问1详解】对于函数，由，求得1x1，故函数的定义域为（1，1），再根据可得f（x）为奇函数【小问2详解】不等式f（x）0，即loga（x+1）loga（
13、1x），当a1时，可得x+11x，且x（1，1），求得0x1当0a1时，可得x+11x，且x（1，1），求得1x0，综上，当a1时，不等式的解集为（0，1）；当0a1时，不等式的解集为（1，0）20. 已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围【答案】（1）, （2）【解析】【分析】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.【小问1详解】所以的最小正周期，由，解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】令，得因为在区间上存在唯一的最小值为-2，所以，即所以实数m的取值范围是.21.
14、 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）（1）分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；（2）已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品生产若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【答案】（1）A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：. （2）万元；当投入B
15、产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）：利用代入法进行求解即可；利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】因为A产品的利润y与投资x成正比，所以设，由函数图象可知，当时，所以有，所以；因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，所以设，由函数图象可知：当时，所以有，所以；【小问2详解】: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，所以A产品的利润为，B产品的利润为，所以获得总利润为万元；：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，设
16、企业获得的总利润为万元，所以，令，所以，当时，即当时，有最大值，最大值为，所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.22. 设，函数（1）若，判断并证明函数的单调性；（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围【答案】（1）在上递增，证明见解析. （2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.【小问1详解】，当时，的定义域为，在上递增，证明如下：任取，由于，所以，所以在上递增.【小问2详解】由于，所以，由知，所以.由于，所以或.当时，由（1）可知在上递增.所以，从而有两个不同的实数根，令，可化为，其中，所以，解得.当时，函数的定义域为，函数在上递减.若，则，于是，这与矛盾，故舍去.所以，则，于是，两式相减并化简得，由于，所以，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司