《随机变量的分布与数字特征.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量的分布与数字特征.pptx（169页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度五、连续型随机变量及其概率密度 第1页/共169页一、随机变量的概念 u在一些随机试验中，试验的结果本身就是由数量来表示在一些随机试验中，试验的结果本身就是由数量来表示u另另一一些些随随机机试试验验中中，可可根根据据问问题题的的需需要要对对每每一一个个可可能能结结果果指定一个数量，如抛掷硬币。指定一个数量，如抛掷硬币。u共同点：对每一个可能结果，有唯一一个实数与
2、之对应。共同点：对每一个可能结果，有唯一一个实数与之对应。第2页/共169页一、随机变量的概念 定义定义2 1(随机变量随机变量)定义在概率空间定义在概率空间(P)上上 取值为实数的函数取值为实数的函数X X()()称称为为(P)上上的的一一个个随随机机变变量量（random variable)r v.X 在在掷掷骰骰子子的的实实验验中中 其其出出现现的的点点数数记记为为随随机机变变量量X 则则X作为样本空间作为样本空间 1 2 3 4 5 6上的函数定义为上的函数定义为 X()随机变量举例随机变量举例 第3页/共169页一、随机变量的概念 定义定义2 1(随机变量随机变量)定义在概率空间定义
3、在概率空间(P)上上 取值为实数的函数取值为实数的函数X X()()称称 为为(P)上上 的的 一一 个个 随随 机机 变变 量量（random variable）r v.X 在在投投掷掷一一枚枚硬硬币币进进行行打打赌赌时时 出出现现正正面面时时投投掷掷者者赢赢一一元元钱钱 出出现现反反面面时时输输一一元元钱钱 记记赢赢钱钱数数为为随随机机变变量量X 则则X作作为为样本空间样本空间 正面正面 反面反面上的函数定义为上的函数定义为随机变量举例随机变量举例 第4页/共169页注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或小写希腊字母,.等表示.（2）随机变量的特点 定义域定义域 样本空间样本空间
4、随机性随机性 r.v.X 的可能取值不止一个的可能取值不止一个,试验试验前只能预知它的可能取值，但不能预知取哪个值前只能预知它的可能取值，但不能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值 第5页/共169页可用可用r.v.取值取值的等式或不等式表示随机事件的等式或不等式表示随机事件（3）随机变量的取值表示事件）随机变量的取值表示事件-由由r.v.X生成的事件生成的事件（4 4）在同一个样本空间可以同时定义多个）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.第6页/共169页随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(D.r.v.)非离散型非离散型(N.D.r.v.)
5、其中一种重要的类型为其中一种重要的类型为 连续性连续性 r.v.(C.r.v.)引入引入 r.v.重要意义重要意义 随机现象可被随机现象可被 r.v.r.v.描述描述 借助微积分方法借助微积分方法 讨论解决问题讨论解决问题第7页/共169页二、离散型随机变量的概率分布 定义定义2 2(离散型随机变量离散型随机变量)设设X是是定定义义在在概概率率空空间间(P)上上的的一一个个随随机机变变量量 如如果果X的的全全部部可可能能取取值值只只有有有有限限个个或或可可数数无无穷穷多多个个 则则称称X是是一一个个离离散型随机变量散型随机变量 设设X是是离离散散型型随随机机变变量量 其其全全部部可可能能取取值
6、值为为xi i 1 2 记记 p(xi)PX xi,i 1,2,(2 1)则称则称p(xi)i 1 2 为为X的概率分布的概率分布 有时也将有时也将p(xi)记记为为pi 用下列表格形式来表示用下列表格形式来表示 并称之为并称之为X 的概率分布表的概率分布表 定义23(概率分布)第8页/共169页概率分布的性质概率分布的性质 任任何何一一个个离离散散型型随随机机变变量量的的概概率率分分布布p(xi)必必然然满满足足下下列性质列性质 1 p(xi)0 i 1 2 (2 2)例例 2 1 投掷一枚均匀硬币投掷一枚均匀硬币 设设X为一次投掷中出现正为一次投掷中出现正面的次数面的次数 即即 于是于是X
7、的概率分布为的概率分布为 第9页/共169页 解解 (1)由于(2)由于由于 例例2 2 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为 分别求上述各式中的常数分别求上述各式中的常数a 第10页/共169页第11页/共169页 例例2 3 设设X的概率分布为的概率分布为 求求PX 1 PX 1 PX 2 PX 2 5 PX 3 PX 4 解解 PX1PX 3 PX 4PX1PX2PX3 1 PX1PX2PX310 第12页/共169页练习：练习：3、设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 则则a _ 第13页/共169页 解 由PXk0知a0 又由 而左边为 从而有a1 第
8、14页/共169页三、分布函数 为了对随机变量r.v.（random variable）取值的统计规律性给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数的概念.1.某类随机变量的非可数个取值无法一一列举出来2.取连续值的随机变量，它取某个特定值的概率往往为0第15页/共169页说明说明 三、分布函数 定义定义2 4(分布函数分布函数)设设X是一随机变量是一随机变量 则称函数则称函数 F(x)PX x x()(2 9)为随机变量为随机变量X的分布函数的分布函数 记作记作X F(x)分布函数的性质分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1
9、)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性右连续性 F(x0)F(x)若若函函数数F x)满满足足上上述述三三条条性性质质 则则它它一一定定是是某某个个随机变量随机变量X的分布函数的分布函数 第16页/共169页说明说明 三、分布函数 定义定义2 4(分布函数分布函数)设设X是一随机变量是一随机变量 则称函数则称函数 F(x)PX x x()(2 9)为随机变量为随机变量X的分布函数的分布函数 记作记作X F(x)分布函数的性质分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性右连续性 F(x0)
10、F(x)因此因此 通常将满足上述通常将满足上述三条性质的函数都称为分布三条性质的函数都称为分布函数函数 第17页/共169页注:(1)F(x)是实轴上的一个普通实值函数，它具良好的性质。(2)(2)分布函数的作用分布函数的作用（ab（第18页/共169页 因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.请请填填空空第19页/共169页补充例补充例1：第20页/共169页F(x)PXx 例例2.4 等等可可能能地地在在数数轴轴上上的的有有界界区区间间a b上上投投点点 记记X为落点的位置为落点的位置 数轴上的坐标数轴上的坐标 已知当已知当(c d a b时时 有有求随机变
11、量求随机变量X的分布函数的分布函数 解 当当x b时时 F(x)PXx0 当xa时 当axb时 F(x)PXx 综上综上 可得可得X的分布函数为的分布函数为第21页/共169页 解解 (A)A 1 PX 1 0 PX 0 0 (C)0 A 1 PX 1 0 PX 0 0 (D)0 A 1 PX 1 1 A PX 0 0 根据根据F(x)单调增加的要求单调增加的要求 必需必需0 A 1 （画图（画图说明）说明）根据根据F(x)的右连续性的右连续性 PX 0 F(0)F(0)0 练习：练习：设设X的分布函数为的分布函数为则有()故故(D)是正确的是正确的 第22页/共169页xF(x)0A11若若
12、A=0，会变成什么？，会变成什么？答：答：P(X=1)=1第23页/共169页 补补充充例例2 设设F1(x)与与F2(x)分分别别为为任任意意两两个个随随机机变变量量的的分分布布函函数数 令令F(x)aF1(x)bF2(x)则则下下列列各各组组数数中中能能使使F(x)为某随机变量的分布函数的有为某随机变量的分布函数的有()由于由于F1 F2均为分布函数均为分布函数 故有故有 F1()1 F2()1 要使要使F为分布函数为分布函数 必有必有 F()aF1()bF2()a b 1 只有只有(A)满足此条件满足此条件 故故(A)正确正确 答答 选择选择(A)解 第24页/共169页分布函数分布律离
13、散型随机变量的概率分布与分布函数相互确定四、离散型随机变量的分布函数 第25页/共169页四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值只有两个可能取值 其概率分布为其概率分布为 解 于是于是 当当x 0 时时 F(x)PX x 0 例例 2 6 投投掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币 设设X为为一一次次投投掷掷中中出出现现正面的次数正面的次数 即即求其分布函数求其分布函数 当当0 x 1时时 F(x)PX x 当当x 1时时 F(x)PX x PX 0 PX 1 1 综上综上 X的分布函数为的分布函数为 第26页/共169页四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值只有两个可能取值 其分布
14、函数为其分布函数为 解 例例 2 6 投投掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币 设设X为为一一次次投投掷掷中中出出现现正面的次数正面的次数 即即求其分布函数求其分布函数 第27页/共169页 解解 补充例补充例3 设随机变量设随机变量X仅取仅取 2 1 5三个值三个值 且已知且已知P(X2)1/8 P(X 1)3/8 P(X 1)4/8 求求X的分布函数的分布函数 当当x2时时 F(x)P(X x)当当 2 x 1时时 当当1 x 5时时 当x5时 F(x)P(Xx)F(x)P(X x)F(x)P(X x)P()0 P(X2)1/8 1/83/81/2 P(X2)P(X1)P(S)1 因此因此X的分布
15、函数为的分布函数为 第28页/共169页 离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数F(x)的的共共同同特特征征是是 F(x)是是一一个个阶阶梯梯形形的的函函数数 它它在在X的的可可能能取取值值点点处处发发生生跳跳跃跃 跳跳跃跃高高度度等等于于相相应应点点处处的的概概率率 而而在在两两个个相相邻邻跳跳跃跃点点之之间间分分布布函函数数值值保持不变保持不变 反反过过来来 如如果果一一个个随随机机变变量量X的的分分布布函函数数F(x)是是阶阶梯梯型型函函数数 则则X一一定定是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量 其其概概率率分分布布可可由由分分布布函函数数F(x)惟惟一一确确定定：F(x)的
16、的跳跳跃跃点点全全体体构构成成X的的所所有有可可能能取取值值 每一跳跃点处的跳跃高度则是每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率在相应点处的概率 四、离散型随机变量的分布函数 第29页/共169页 由由于于F(x)是是一一个个阶阶梯梯形形函函数数 故故知知X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量 F(x)的的跳跳跃跃点点分分别别为为1 2 3 对对应应的的跳跳跃跃高高度分别为度分别为 解 例例2 7 设随机变量设随机变量X的的分布函数为分布函数为 求求X的概率分布的概率分布 故故X的概率分布为的概率分布为 第30页/共169页 练练 习习：设设 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量
17、的的 概概 率率 分分 布布 为为 PX 0 0 5 PX 1 0 3 PX 3 0 2 求求X的的分分布布函函数数及及PX 2 解 当x0时 F(x)PXx0 当0 x1时 F(x)PXx PX005 当3x时 F(x)PXx PX0PX1PX3 1 当1x3时 F(x)PXx PX0PX1 08综上得到综上得到 PX 2 PX0PX1 0503 08 第31页/共169页五、连续型随机变量及其概率密度 定义定义2 5(密度函数密度函数)一一个个随随机机变变量量X称称为为连连续续型型随随机机变变量量 如如果果存存在在一一个个非非负负可积函数可积函数f(x)使得使得并称并称f(x)为为X的概率
18、密度函数的概率密度函数 简称为密度函数简称为密度函数 第32页/共169页五、连续型随机变量及其概率密度 定义定义2 5(密度函数密度函数)一一个个随随机机变变量量X称称为为连连续续型型随随机机变变量量 如如果果存存在在一一个个非非负负可积函数可积函数f(x)使得使得并称并称f(x)为为X的概率密度函数的概率密度函数 简称为密度函数简称为密度函数 密度函数的性质密度函数的性质 密度函数具有下列性质密度函数具有下列性质 (1)f(x)0 x()说明说明 反反过过来来 可可以以证证明明 一一个个函函数数满满足足上上述述两两个个性性质质 一一定定可可以以作作为为某某一连续型随机变量的密度函数一连续型
19、随机变量的密度函数 第33页/共169页五、连续型随机变量及其概率密度 定义定义2 5(密度函数密度函数)一一个个随随机机变变量量X称称为为连连续续型型随随机机变变量量 如如果果存存在在一一个个非非负负可积函数可积函数f(x)使得使得并称并称f(x)为为X的概率密度函数的概率密度函数 简称为密度函数简称为密度函数 事件的概率与密度函数的关系事件的概率与密度函数的关系 (2)连续型随机变量连续型随机变量X落于点落于点x上的概率为上的概率为 PX x 0 (2 13)(1)连续型随机变量连续型随机变量X落于区间落于区间(a b上的概率为上的概率为 第34页/共169页(3)C.r.v.的的F(x)
20、一定为一定为R上的连续函数上的连续函数.由此可得由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关第35页/共169页 补充例补充例4 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 由于由于F(x)在在()上连续上连续 从而从而 解 第36页/共169页补充例补充例4 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 已求得已求得 解 第37页/共169页补充例补充例5 5 已知某型号电子管的使用寿命已知某型号电子管的使用寿命 X X 为连为连续续r.v.r.v.,其概率密度函数为其概率密度函数为(1)求常数求常数 c (2)计算计算第38
21、页/共169页解解第39页/共169页C.r.v.的分布函数F(x)与密度函数f(x)的关系（相互确定）（相互确定）补充例补充例6：第40页/共169页第41页/共169页 解解 补充例补充例7 设随机变量设随机变量X具有概具有概率密度率密度 (1)求常数求常数K (2)求求X的分布函数的分布函数 (1)(2)当当x 0时时 F(x)0 当当0 x 2时时 当当2 x 3时时 当当x 3时时 F(x)1 第42页/共169页 解解 补充例补充例7 设随机变量设随机变量X具有概具有概率密度率密度 (1)求常数求常数K (2)求求X的分布函数的分布函数 (1)(2)X的分布函数为(3)第43页/共
22、169页第44页/共169页均匀分布均匀分布第45页/共169页练习：练习：第46页/共169页2 2 随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 五、随机变量的方差五、随机变量的方差 六、随机变量的矩与切比雪夫不等式六、随机变量的矩与切比雪夫不等式 第47页/共169页数字特征数字特征-反映反映r.v.r.v.分布的某些特征的数值，分布的某些特征的数值，它更能集中、明显的反映它更能集中、明显的反映r.v.r.v
23、.统计规律性的某些层面。统计规律性的某些层面。分布函数能完整地描述分布函数能完整地描述 r.v.r.v.的统计特性的统计特性,但实际但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道随机变应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道随机变量的这些特征量的这些特征.判断棉花质量时判断棉花质量时,既看纤维的既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长平均长度越长,偏离程度越小偏离程度越小,质量就越好质量就越好;又要看又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如：例如：第48页/共169页考察一射手的水平考察一射手的水平,既要看他的既要看他的平均环数平均环数是是否高否高,还要看他弹着点的
24、范围是否小还要看他弹着点的范围是否小,即即数数据的波动据的波动是否小是否小.r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差第49页/共169页一、离散型随机变量的数学期望 引例引例 观察一名射手观察一名射手20次射击的成绩如下次射击的成绩如下 当试验次数加大时当试验次数加大时 频率频率fi的稳定值就是概率的稳定值就是概率pi 相应地相应地 平均平均 评价射手的射击水平的评价射手的射击水平的“平均中靶环数平均中靶环数”为为 第50页/共169页一、离散型随机变量的数学期望 若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为
25、PX xi pi i 1 2 则当则当 定义26(数学期望)第51页/共169页关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了随它从本质上体现了随机变量机变量 X 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值,也称均值也称均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均
26、值,它它不不应随可能值的排列次序而改变应随可能值的排列次序而改变.(3)如果如果D.r.v.只取有限多个值，只取有限多个值，EX一定存在。一定存在。第52页/共169页 例例2 9 设盒中有设盒中有5个球个球 其中其中2个白球个白球 3个黑球个黑球 从中随从中随意抽取意抽取3个球个球 记记X为抽取到的白球数为抽取到的白球数 求求EX X的可能取值为的可能取值为0 1 2 而且根据古典概型计算而且根据古典概型计算 有有 解 于是于是 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 第53页/共169页 解 补充例1 设离散型随机变量X的概率分布律为 pkX2 1 0 1 2 求随机变量X的数学
27、期望 第54页/共169页数学期望不存在的例子补充例2：设随机变量 的概率分布为求 的数学期望。解 确实为概率分布 故其数学期望不存在！第55页/共169页但是 第56页/共169页二、连续型随机变量的数学期望 设设连连续续型型随随机机变变量量X的的密密度度函函数数f(x)只只在在有有限限区区间间a b上取不为零的值上取不为零的值 把区间把区间a b进行分割进行分割 a x0 x1 xn 1 b 分析 则则X落在区间落在区间 中的概率为中的概率为 当当 很小时，很小时，第57页/共169页二、连续型随机变量的数学期望 可可视视为为连连续续型型随随机机变变量量X的的离离散散近近似似，服服从从上上
28、述述分分布布的的离离散散型随机变量的数学期望为：型随机变量的数学期望为：这时，概率分布 当当分分点点越越来来越越密密时时，近近似似就就会会越越来来越越好好。根根据据定定积积分分的的定定义义，上述和式以定积分上述和式以定积分 为极限，此即为连续型随机变量X的精确数学期望值。.ix第58页/共169页二、连续型随机变量的数学期望 定义 27(数学期望)若若X为连续型随机变量为连续型随机变量 f(x)为其密度函数为其密度函数 如果如果第59页/共169页 例例2 10 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 求求EX 解解 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 第60页/共169
29、页 例例2 11 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 求求EX 解解 显然显然EX存在存在 且且 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 第61页/共169页例例第62页/共169页定义定义三、随机变量函数的数学期望 第63页/共169页三、随机变量函数的数学期望 定理定理2 1 第64页/共169页 Yg(X)则Y仍然是一个离散型随机变量 设其可能取值为yj j1 2 于是 证明 由数学期望定义有 第65页/共169页 例例 2 12 设设X的概率分布如下表的概率分布如下表 求求E(X EX)2 根据例根据例2 9 EX 1 2 于是根据定理于是根据定理2 1(1)有有
30、 解 0 36 第66页/共169页 例例2 13 设设X的密度函数为的密度函数为 求求E|X EX|根据例根据例2 11 EX 1 于是由定理于是由定理2 1(2)有有 解 第67页/共169页 解 补充例2 设圆的直径X在区间a b上均匀分布 求圆面积 返回第68页/共169页四、数学期望的性质 性质性质1 对任意常数对任意常数a 有有Ea a 性质性质2 设设a1 a2为任意实数为任意实数 g1(x)g2(x)为任意实函数为任意实函数 如果如果Eg1(X)Eg2(X)均存在均存在 则则 Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X)(2 23)例例2 14 设设EX EX
31、 2均存在均存在 证明证明 E(X EX)2 EX 2(EX)2 (2 25)EX2(EX)2EX 22EXEX(EX)2EX 22XEX(EX)2E(XEX)2因为(XEX)2X 22XEX(EX)2 证明 于是由(223)得 性质性质3 如果如果EX存在存在 则对任意实数则对任意实数a 有有 E(X a)EX a (2 24)第69页/共169页 性质2 设a1 a2为任意实数 g1(x)g2(x)为任意实函数 如果Eg1(X)Eg2(X)均存在 则 Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X)(223)这里仅对离散型给出证明 首先 由|a1g1(x)a2g2(x)|a1
32、|g1(x)|a2|g2(x)|可知 证明 因为Eg1(X)Eg2(X)存在 故由上式得知Ea1g1(X)a2g2(X)存在 令g(x)a1g1(x)a2g2(x)代入(221)即可证得(223)成立 提示第70页/共169页说明说明五、随机变量的方差 定义定义2 8(方差方差)设设 X为为 一一 个个 随随 机机 变变 量量 其其 数数 学学 期期 望望 EX存存 在在 如如 果果E(X EX)2也也存存在在 则则称称E(X EX)2为为随随机机变变量量X的的方方差差 记记作作D(X)或或DX XEX称为X的离差 一个随机变量的方差一个随机变量的方差 粗略地讲粗略地讲 反映随机变量偏离数学反
33、映随机变量偏离数学期望的平均偏离程度期望的平均偏离程度 第71页/共169页五、随机变量的方差 定义定义2 8(方差方差)设设 X为为 一一 个个 随随 机机 变变 量量 其其 数数 学学 期期 望望 EX存存 在在 如如 果果E(X EX)2也也存存在在 则则称称E(X EX)2为为随随机机变变量量X的的方方差差 记记作作D(X)或或DX (1)设设 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量 X的的 概概 率率 分分 布布 为为 PX xi pi i 1 2 方差的计算 (2)设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x)则则 (3)计算方差的常用公式为计算方差的常用公式
34、为（2.27）第72页/共169页方差的性质方差的性质 设设X的方差的方差DX存在存在 a为任意常数为任意常数 则则 (1)Da 0 (2 29)(2)D(X a)DX (2 30)(3)D(aX)a2DX (2 31)例例 2 15 设设X的概率分布如下表的概率分布如下表 已知已知EX 1 2 求求DX DX EX 2(EX)2 解解 18(12)2 036 第73页/共169页 例例2 16 设设X的密度函数为的密度函数为 已知已知EX 1 求求DX 解 因为因为EX 1 且且 从而从而 第74页/共169页 例例2 17 X为一随机变量为一随机变量 方差存在方差存在 令令 l(C)E(X
35、 C)2 (2 32)证证明明 当当且且仅仅当当C EX时时 l(C)达达到到最最小小值值 此此时时最最小小值值为为DX 显然显然 当且仅当当且仅当C EX时时 最后一个不等式的等号成立最后一个不等式的等号成立 故故l(C)在在C EX时达到最小值时达到最小值 且最小值为且最小值为DX 证明 l(C)E(XC)2E(XEX)(EXC)2 E(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2 E(XEX)2(EXC)2 E(XEX)2DX 第75页/共169页 解 补充例3 设离散型随机变量X的概率分布律为 D(X)E(X2)E(X)2 返回第76页/共169页六、随机变量的矩与切比雪夫不等式 定义
36、定义2 9(原点矩原点矩)X为一随机变量为一随机变量 k为正整数为正整数 如果如果EX k存在存在(即即E|X|k)则称则称EX k为为X的的k阶原点矩阶原点矩 称称E|X|k为为X的的k阶绝对矩阶绝对矩 定义定义2 10(中心矩中心矩)X为一随机变量为一随机变量 k为正整数为正整数 如果如果EX k存在存在 则称则称E(X EX)k为为X的的k阶中心矩阶中心矩 称称E|X EX|k为为X的的k阶绝对中心阶绝对中心矩矩 定理定理2 2 随机变量随机变量X的的t阶矩存在阶矩存在 则其则其s阶矩阶矩(0 s t)也存在也存在 推论推论 设设k为正整数为正整数 C为常数为常数 如果如果EX k存在存
37、在 则则E(X C)k存在存在 特别地特别地 E(X EX)k存在存在 第77页/共169页定理22 随机变量X的 t 阶矩存在 则其s阶矩(0st)也存在 设X为连续型(离散型类似)其密度函数为f(x)则 证明 P|X|s1E|X|t 第78页/共169页定理定理2 3 设设h(x)是是x的一个非负函数的一个非负函数 X是一个随机变量是一个随机变量 且且Eh(X)存在存在 则对任意则对任意 0 有有 推论推论1(马尔可夫不等式马尔可夫不等式)设设X的的k阶矩存在阶矩存在 即即E|X|k 则对任意则对任意 0 有有 推论推论2(切比雪夫不等式切比雪夫不等式)设设X的方差存在的方差存在 则对任意
38、则对任意 0 有有 第79页/共169页定理23 设h(x)是x的一个非负函数 X是一个随机变量 且Eh(X)存在 则对任意 0 有 这里仅证明连续型 设X的密度函数为f(x)则 证明 于是(233)成立 第80页/共169页推论推论3 随机变量随机变量X的方差为的方差为0当且仅当存在一个常数当且仅当存在一个常数a 使得使得 PX a 1 第81页/共169页 推论3 随机变量X的方差为0当且仅当存在一个常数a 使得PXa1 充分性显然 下证必要性 证明 首先注意到 由于DX0 对一切n1 据切比雪夫不等式 有 从而得 P|XEX|00 所以 P|XEX|01 即推论3得证 且常数a为EX 第
39、82页/共169页2.3 常见的离散型分布1、记住其概率分布；2、记住EX和DX；基基本本要要求求3、了解其应用背景，并会应用这几 种分布解决实际问题。第83页/共169页2 3 常用的离散型分布 一、退化分布一、退化分布 二、两点分布二、两点分布 三、三、n个点上的均匀分布个点上的均匀分布 四、二项分布四、二项分布 五、几何分布五、几何分布 六、超几何分布六、超几何分布 七、泊松七、泊松(Poisson)分布分布 第84页/共169页一、退化分布 退化分布退化分布 一个随机变量一个随机变量X以概率以概率1取某一常数取某一常数 即即 PX a 1 则称则称X服从服从a处的退化分布处的退化分布
40、退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数即这样的随机变量退化成了一个确定的常数 说明说明 由由定定理理2 3的的推推论论3知知 X服服从从退退化化分分布布的的充充要要条条件件是是DX 0 且若且若X服从服从a处的退化分布处的退化分布 则则EX a 第85页/共169页说明说明二、两点分布 两点分布两点分布 一个随机变量只有两个可能取值一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为设其分布为 PX x1 p PX x2 1 p 0 p 1 (2 36)则称则称X服从服从x1 x2处参数为处参数为p的两点
41、分布的两点分布 两点分布的期望和方差两点分布的期望和方差 EX px1(1 p)x2 (2 37)DX p(1 p)(x1 x2)2 (2 38)第86页/共169页说明说明二、两点分布 特殊的两点分布特殊的两点分布 如果如果X只取只取0 1两个值两个值 其概率分布为其概率分布为 PX 1 p PX 0 1 p 0 p 1 (2 39)则则称称X服服从从参参数数为为p的的0 1分分布布 也也称称X是是参参数数为为p的的伯伯努努利利随随机变量机变量 此时此时 EX p DX p(1 p)(2 40)在在一一次次试试验验中中 观观察察A是是否否发发生生 记记A发发生生的的次次数数为为X 则则X要要
42、么么取取值值为为1 要要么么取取值值为为0 于于是是X服服从从参参数数为为p的的0 1分布分布 第87页/共169页三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布的期望和方差个点上的均匀分布的期望和方差 第88页/共169页说明说明三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布个点上的均匀分布 第89页/共169页说明说明三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布个点上的均匀分布 第90页/共169页说明说明四、二项分布 二项分布二项分布 设设X为为n重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数 事事件件A发发生生的的概率为概率为p(0 p 1)则则X
43、b(n p)第91页/共169页四、二项分布 二项分布二项分布 二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差 设设Xb(n p)则则 EX np (2 47)DX npq (2 49)其中其中q 1 p 第92页/共169页计算二项分布的数学期望计算二项分布的数学期望 np 其中最后一个等式其中最后一个等式 是因为是因为b(k n 1 p)(0 k n 1)是以是以n 1和和p为参数的二项分布为参数的二项分布 第93页/共169页 因为因为 计算二项分布的方差计算二项分布的方差 于是于是 DX EX2(EX)2 n2p2 npq n2p2 npq 第94页/共169页 例例2 18 一个袋子中装有
44、一个袋子中装有N个球个球 其中其中N1个白球个白球 N2个黑个黑球球(N1 N2 N)每次从中任取一球每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去查看完其颜色后再放回去 一共取一共取n次次 求取到的白球数求取到的白球数X的分布的分布 每次取球看成是一次试验每次取球看成是一次试验 n次取球看成是次取球看成是n重伯努重伯努利试验利试验 解 第95页/共169页说明说明五、几何分布 如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为 PX k q k 1p k 1 2 (2.50)其其中中q 1 p 则则称称随随机机变变量量X服服从从参参数数为为p的的几几何何分分布布 记记为为Xg(k p)几何分布几何
45、分布 在在独独立立重重复复试试验验中中 事事件件A发发生生的的概概率率为为p 设设X为为直直到到A发生为止所进行的试验的次数发生为止所进行的试验的次数 则则Xg(k p)第96页/共169页五、几何分布 如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为 PX k q k 1p k 1 2 (2.50)其其中中q 1 p 则则称称随随机机变变量量X服服从从参参数数为为p的的几几何何分分布布 记记为为Xg(k p)几何分布几何分布 几何分布的期望和方差几何分布的期望和方差 第97页/共169页说明说明 例例2 19 设设X服服从从几几何何分分布布 则则对对任任何何两两个个正正整整数数m n 有有
46、 PX m n|X m PX n (2 54)证明证明 同理同理 有有 于是得 PXnqn PXmnqmn 式式(2 54)通通常常称称为为几几何何分分布布的的无无记记忆忆性性 意意指指几几何何分分布布对过去的对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了次失败的信息在后面的计算中被遗忘了 第98页/共169页 补补充充例例1(1)设设10件件产产品品中中有有7件件正正品品 3件件次次品品 每每次次从从中中任任取取一一件件 若若每每次次取取后后放放回回 求求直直到到取取到到正正品品为为止止所所需需抽抽取的次数的概率分布取的次数的概率分布 设设需需要要抽抽取取的的次次数数为为X 由由于于每每次次取
47、取球球都都放放回回 因因而而取取球球试试验验是是一一个个伯伯努努利利试试验验序序列列 X的的取取值值可可以以取取k 1 2 解 记记Ai 第第i次取到的是正品次取到的是正品 则则Ai(i 1 2 )相互相互独立独立 且且P(Ai)7/10 于是第99页/共169页 补补充充例例1(2)设设10件件产产品品中中有有7件件正正品品 3件件次次品品 每每次次从从中中任任取取一一件件 若若每每次次取取后后不不放放回回 求求直直到到取取到到正正品品为为止止所所需需抽取的次数的概率分布抽取的次数的概率分布 设设需需要要抽抽取取的的次次数数为为X X的的取取值值为为k 1 2 3 4 解 记记Ai 第第i次
48、取到的是正品次取到的是正品 则则第100页/共169页六、超几何分布 超几何分布超几何分布 一一个个袋袋子子中中共共装装有有N个个球球 其其中中N1个个白白球球 N2个个黑黑球球 从从中中不不放放回回地地抽抽取取n个个球球 X表表示示取取到到白白球球的的数数目目 那那么么X的的分分布布为为以以(2 55)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布 在实际中在实际中 当当N很大时很大时 且且N1和和N2均较大均较大 而而n相对很小时相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为从而用二项分布作为超几何分布
49、的近似超几何分布的近似 即即 第101页/共169页六、超几何分布 超几何分布超几何分布 一一个个袋袋子子中中共共装装有有N个个球球 其其中中N1个个白白球球 N2个个黑黑球球 从从中中不不放放回回地地抽抽取取n个个球球 X表表示示取取到到白白球球的的数数目目 那那么么X的的分分布布为为以以(2 55)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布 超几何分布的期望和方差超几何分布的期望和方差 第102页/共169页提示提示七、泊松分布 泊松分布泊松分布(Poisson)如果一个随机变量如果一个随机变量X的概率分布为的概率分布为 其中其中 0为参数为参数
50、则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布 记作记作XP()泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 EX (2 61)DX (2 62)第103页/共169页说明说明 电电话话交交换换台台在在一一给给定定时时间间内内收收到到用用户户的的呼呼叫叫次次数数 售售票票口口到到达达的的顾顾客客人人数数 保保险险公公司司在在一一给给定定时时期期内内被被索索赔赔的的次次数等数等 均可近似地用泊松分布来描述均可近似地用泊松分布来描述 如果一个随机变量如果一个随机变量X的概率分布为的概率分布为 其中其中 0为参数为参数 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布 记作记作XP()泊松分布