随机变量的分布及其数字特征.ppt

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1、随机变量的分布及其数字特征现在学习的是第1页，共61页随机变量与随机变量分布函数随机变量与随机变量分布函数一、随机变量一、随机变量 为了更有效的研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工为了更有效的研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子机试验的例子 例例2.11某人抛掷一枚骰色子，观察出现的点数。某人抛掷一枚骰色子，观察出现的点数。试验结果的事件表达形式：试验结果的事件表达形式：出现出现1点；出现点；出现2点；出现点；出现3点；点；出现出现4点；出现点；出现5点；出现点；

2、出现6点。点。如果令如果令 表示出现的点数，则表示出现的点数，则 的可能取值为的可能取值为 于是，试验结果的变量表示为：于是，试验结果的变量表示为：“出现出现1点点”；“出现出现2点点”“出现出现3点点”；“出现出现4点点”“出现出现5点点”；“出现出现6点点”例例2.12 某人某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：试验结果的事件表达形式：现在学习的是第2页，共61页国徽面在上面；有字面在上面国徽面在上面；有字面在上面 如果如果 表示国徽面在上面，表示国徽面在上面，表示有字面在上面。表示有字面在上面。于是，试验结果的变量表示

3、为：于是，试验结果的变量表示为：“国徽面在上面国徽面在上面”;“有字面在上面有字面在上面”特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。1.Def 设随机试验设随机试验 的样本空间为的样本空间为 ，如果对于每一个样本点，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数均有唯一的实数 与之对应，称与之对应，称 为样本空间为样本空间 上的随机变量。上的随机变量。随机变量的两个特征随机变量的两个特征:1）它是一个变量；）它是一个变量；2）它的取值随试验结果而改变；）它的取值随试验结果而改变；3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。）随机变量在某

4、一范围内取值，表示一个随机事件。设设 为一个随机变量，对于任意实数为一个随机变量，对于任意实数 ，则集合，则集合 是随机事是随机事件，随着件，随着 变化，事件变化，事件 也会变化。也会变化。这说明该事件是实变量这说明该事件是实变量 的的“函数函数”。现在学习的是第3页，共61页 2.随机变量举例与分类随机变量举例与分类 随机变量实例：随机变量实例：例例2.13 某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数 。的可能取值为的可能取值为 。例例2.14 某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命 。的可能取值为的可能取值为 。例例2.15 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数一部电话

5、总机在一分钟内收到的呼叫次数 。的可能取值为的可能取值为 。例例2.16 在在 区间上随机移动的点，该点的坐标区间上随机移动的点，该点的坐标 。的可能取值为的可能取值为 。随机变量的分类随机变量的分类离散型随机变量离散型随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量有限或无穷可列取有限或无穷可列取值值连续型连续型非连续型非连续型无穷且不可列取值无穷且不可列取值现在学习的是第4页，共61页二、分布函数二、分布函数 1.随机变量的概率分布随机变量的概率分布 Def 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。律，简称概

6、率分布。概率分布的常用表达方式有：概率分布的常用表达方式有：分布函数（分布函数（“通用型通用型”）；）；概率函数或概率密度函数（概率函数或概率密度函数（“针对型针对型”）。）。2.分布函数概念分布函数概念 Def 设设 为随机变量，为随机变量，为任意实数，则为任意实数，则 称称 为随机变量为随机变量 的分布函数。的分布函数。其定义域为其定义域为 。显然，分布函数是显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率一个特殊的随机事件的概率。3.分布函数的性质分布函数的性质 （1）对于任意）对于任意 有有 （非负有界性）；（非负有界性）；（2）（规范性）；（规范性）；（3）对于任意）对于任意 有有 （单调性

7、）；（单调性）；（4）在每一点至少是右连续的（连续性）。在每一点至少是右连续的（连续性）。是一个实是一个实函数！函数！现在学习的是第5页，共61页 若已知随机变量若已知随机变量 的分布函数的分布函数 ，则对于任意，则对于任意 有有 例例2.17 已知随机变量已知随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 ，取各值的概率分，取各值的概率分别为别为 ，试求随机变量的分布函数并作其图像。，试求随机变量的分布函数并作其图像。解：解：由题设随机变量的概率分布为由题设随机变量的概率分布为 由分布函数的定义有由分布函数的定义有 当当 时，时，；当当 时，时，；当当 时，时，；当当 时，时，。分布函数图像如图

8、分布函数图像如图2.1所示所示0.30.30.4210图图2.1现在学习的是第6页，共61页概率函数与概率密度函数概率函数与概率密度函数一、随机变量的概率函数一、随机变量的概率函数 1.离散型随机变量离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。量称为离散型随机变量。设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率为的概率为 ，即有，即有则称该式为随机变量则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达：的概率函数。其也可以用下列表达：并称其为随

9、机变量并称其为随机变量 的概率分布列，简称分布列。的概率分布列，简称分布列。注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，概率函数或分布列表示更直观、简便。概率函数或分布列表示更直观、简便。现在学习的是第7页，共61页 2.概率函数或分布列的性质概率函数或分布列的性质 （1）；（；（2）（归一性）。（归一性）。3.概率函数与分布函数的关系概率函数与分布函数的关系 已知概率函数求分布函数已知概率函数求分布函数 已知分

10、布函数求概率函数已知分布函数求概率函数 例例2.21 设设 的分布列为的分布列为 试求试求 。解：解：由随机变量由随机变量 的分布列有的分布列有现在学习的是第8页，共61页 例例2.22 设有一批产品设有一批产品20件，其中有件，其中有3件次品，从中任意抽取件次品，从中任意抽取2件，件，用用 表示抽取出表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量的分布律和件产品中的次品数，求随机变量的分布律和“至少抽至少抽得一件次品得一件次品”的概率。的概率。解：解：的可能取值为的可能取值为 。于是，由古典概率有于是，由古典概率有 所以，所以，的分布列为的分布列为现在学习的是第9页，共61页 例例2.23 一名士

11、兵向一目标连续射击，直至其击中目标为止。假一名士兵向一目标连续射击，直至其击中目标为止。假定该士兵命中率为定该士兵命中率为 ，而且任意两次射击之间互不影响，用，而且任意两次射击之间互不影响，用 表示表示该名士兵射击次数。求该名士兵射击次数。求 的概率分布。的概率分布。解：解：的可能取值为的可能取值为 ；设设 表示该名士兵第表示该名士兵第 次击中目标，次击中目标，。于是有于是有 相互独立；相互独立；。所以所以 即即 的概率函数为的概率函数为 注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是典型的注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。当不等概分布。当 时，时，取取1的概

12、率最大。的概率最大。现在学习的是第10页，共61页 例例2.24 设随机变量设随机变量 的概率函数为的概率函数为试求（试求（1）常数）常数 的值；（的值；（2）概率最大的）概率最大的 取值。取值。解解:(1)由概率函数的性质有由概率函数的性质有 又有函数的幂级数展开知又有函数的幂级数展开知 ，从而有，从而有 解得解得 (2)由由(1)知随机变量的分布列为知随机变量的分布列为 显然，随机变量显然，随机变量 取取1和和2的概率最大。的概率最大。现在学习的是第11页，共61页二、随机变量的概率密度函数二、随机变量的概率密度函数 1.连续型随机变量连续型随机变量 Def 设设 为随机变量，其分布函数记

13、为为随机变量，其分布函数记为 ，如果存在非负函，如果存在非负函数数 ，使得，使得则称则称 为连续型随机变量，非负函数为连续型随机变量，非负函数 为概率密度函数，简称概率密为概率密度函数，简称概率密度或密度函数。度或密度函数。2.概率密度的性质概率密度的性质 （1）对于任意）对于任意 有有 ；（2）；（3）对于任意）对于任意 有有 ；（4）在函数）在函数 连续点有连续点有 。现在学习的是第12页，共61页 3.连续型随机变量与离散型随机变量区别连续型随机变量与离散型随机变量区别 定理：定理：设设 为连续型随机变量，为连续型随机变量，为任意实数，则有为任意实数，则有 证明：设证明：设 的分布函数为

14、的分布函数为 ，易知，易知 处处连续。处处连续。于是，对于任意的于是，对于任意的 ，一定成立下列结论：，一定成立下列结论：即有即有 不等式关于不等式关于 求极限，便得求极限，便得 所以有所以有 该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。达，而只能用概率密度来表达。现在学习的是第13页，共61页对于连续型随机变量总成立下式：对于连续型随机变量总成立下式：例例2.31 设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为试求试求 。解解:有概率密度的性质知有概率密度的性质知 解得解得 ，所以，所以现在学习的

15、是第14页，共61页 例例2.32 设随机变量设随机变量 的分布函数为的分布函数为试求试求(1)常数常数 的值；的值；(2)；(3)概率密度。概率密度。解解:(1)由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有 从而有从而有 ，于是分布函数为，于是分布函数为 (2)(3)现在学习的是第15页，共61页几个常用的概率分布几个常用的概率分布 引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概率分布

16、）来表达。率分布）来表达。一、几个常用的离散型概率分布一、几个常用的离散型概率分布 1.二点分布（二点分布（0-1分布）分布）Def 若随机变量若随机变量 的分布表为的分布表为其中其中 ，则称，则称 服从参数为服从参数为 的二点分布。的二点分布。二点分布所能刻画随机现象：二点分布所能刻画随机现象：凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例其概率模型。例如：如：掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。现

17、在学习的是第16页，共61页 2.二项分布二项分布 Def 若随机变量若随机变量 的概率函数为的概率函数为则称则称 服从参数为服从参数为 的二项分布，记为的二项分布，记为 。二项分布所能刻画随机现象：二项分布所能刻画随机现象：凡是凡是 重贝努里概型中随机事件重贝努里概型中随机事件 发生次数的概率分布规律都可发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。用二项分布来刻画。当当 时时，二项分布就是二点分布。，二项分布就是二点分布。例例2.41 设某学生在期末考试中，共有设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰

18、好有。试求该学生恰好有3门课及格的门课及格的概率和至少有概率和至少有3门课及格的概率。门课及格的概率。解解:设设 表示该学生恰好有表示该学生恰好有3门课及格；门课及格；表示该学生至少有表示该学生至少有3门课及格。门课及格。显然，这是一个显然，这是一个5重贝努里概型，从而有重贝努里概型，从而有现在学习的是第17页，共61页 例例2.42 某保险公司以往资料显示，索赔要求中有某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包个索赔要求，试求其中包含含4个以上被盗索赔要求的概率。个以上被盗索赔

19、要求的概率。解解:设设 表示表示10各索赔要求中被盗索赔要求的个数，则各索赔要求中被盗索赔要求的个数，则 于是，所求概率为于是，所求概率为 即即10各索赔要求中有各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为个以上被盗索赔要求的概率为0.00059 通过该例题的求解，可以看出：通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数二项分布当参数 很大，而很大，而 很小时，有关概率的计算是相当很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家年

20、法国数学家S.D.Poisson 提出了一下定理。提出了一下定理。现在学习的是第18页，共61页Poisson定理定理 设随机变量设随机变量 ，若若 时，有时，有 ，则有，则有 证明：令证明：令 ，于是有，于是有 对于固定的对于固定的 有有 所以所以现在学习的是第19页，共61页 实际应用中实际应用中：当当 较大较大,较小，较小，适中时，即可用泊松定适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。理的结果对二项概率进行近似计算。例例2.43 某人骑摩托车上街，出事故的概率为某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复，独立重复上街上街400次，求至少出两次事故的概率。次，求至少出两次

21、事故的概率。解解:400400400400次上街次上街次上街次上街400400400400重重重重BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli概型；概型；概型；概型；记记记记 为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则 。由于由于 ，所以，所以 由由Poisson定理有定理有 若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，则该人成次，则该人成功的概率为功的概率为 。这表明随着实验。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！次数的增多，小概率事件是会发生的！现在学习的是第20页，共61页 3.泊松

22、（泊松（Poisson）分布分布 Def 若随机变量若随机变量 的概率函数为的概率函数为则称则称 服从参数为服从参数为 的泊松分布，记为的泊松分布，记为 。泊松分布所能刻画随机现象：泊松分布所能刻画随机现象：服务台在某时间段内接待的服务次数；服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；单位时间内市级医院急诊病人数；单位时间内市级医院急诊

23、病人数；一本书中每页印刷错误的个数。一本书中每页印刷错误的个数。特别注意特别注意:体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均可以由观测值的平均值求出。值求出。现在学习的是第21页，共61页二、几个常用的连续型概率分布二、几个常用的连续型概率分布 1.均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）Def 若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为则称随机变量则称随机变量 服从区间服从区间 上的均匀分布，记为上的均匀分布，记为 均匀分布所能刻画随机现

24、象：均匀分布所能刻画随机现象：“等可能等可能”地取区间地取区间 中的值。这里的中的值。这里的“等可能等可能”理解为：理解为：落落在区间在区间 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的；或者说它落在中任意等长度的子区间内的可能性是相同的；或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。这正是子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。这正是几何概型的情形。几何概型的情形。例例2.44 设设 在在 上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程有实根的概率。有实根的概率。解解:方程有实数根等价于方程有实数根等价于 ，即，即 ；所求概率为所求概率为 。现在学习的是第22页

25、，共61页 2.指数分布（指数分布（Exponential Distribution）Def 若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为则称随机变量则称随机变量 服从参数为服从参数为 的指数分布，记为的指数分布，记为 指数分布所能刻画随机现象：指数分布所能刻画随机现象：随机服务系统中的服务时间；随机服务系统中的服务时间；电话的通话时间；电话的通话时间；无线电元件的寿命；动植物的寿命。无线电元件的寿命；动植物的寿命。例例2.45 设设 服从参数为服从参数为3的指数分布，试写出它的密度函数并的指数分布，试写出它的密度函数并求求 。解解:的概率密度为的概率密度为现在学习的是第23页，共6

26、1页 3.正态分布（正态分布（Normal Distribution）Def 若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为其中参数其中参数 满足满足 ，则称随机变量，则称随机变量 服从参数为服从参数为 的正态分布，记为的正态分布，记为 。特别当参数特别当参数 时，也即时，也即 ，称其为标准正态分布，称其为标准正态分布，其概率密度记为其概率密度记为 正态分布概率密度函数的图像特点：正态分布概率密度函数的图像特点：图像呈单峰状图像呈单峰状；图像关于直线图像关于直线 对称；对称；图像在点图像在点 处有拐点；处有拐点；图像以图像以 轴为渐近线。轴为渐近线。Gauss现在学习的是第24页，共6

27、1页参数参数 对密度曲线的影响对密度曲线的影响 相同相同 不同不同密度曲线情况密度曲线情况 相同相同 不同不同密度曲线情况密度曲线情况形状参数变化形状参数变化现在学习的是第25页，共61页标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 分布函数分布函数 利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。计算问题。例例2.46 设随机变量设随机变量 ，试求，试求 解解:查表知查表知 所以有所以有现在学习的是第26页，共61页一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算 分布函数分布函数 在求解一般正态分布的概率计算问题时，现将其转

28、化为标在求解一般正态分布的概率计算问题时，现将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。数值，从而解决概率计算问题。例例2.47 设随机变量设随机变量 ，试求，试求 。解解:已知已知 ，所以有，所以有现在学习的是第27页，共61页标准正态分布的分位数标准正态分布的分位数 双侧分位数双侧分位数 Def 设随机变量设随机变量 ，对于给定的，对于给定的 ，如果实数，如果实数 满足满足 ，则称，则称 为标准正态分布关于为标准正态分布关于 的双侧分位数。的双侧分位数。标准正态分布双侧分位数标准正态

29、分布双侧分位数的意义如图的意义如图2.1所示所示。双侧分位数的计算方法：双侧分位数的计算方法：由定义知由定义知 查标准正态分布函数值表便可得查标准正态分布函数值表便可得 ；也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。例如：例如：图图2.1576.201.096.105.0645.110.0=a aa aa a现在学习的是第28页，共61页 上侧分位数上侧分位数 Def 设随机变量设随机变量 ，对于给定的，对于给定的 ，如果实，如果实数数 满足满足 ，则称，则称 为标准正态分布关于为标准正态分布关于 的上的上侧分位数。侧分位数。标准正态分布

30、上侧分位数标准正态分布上侧分位数的意义如图的意义如图2.2所示所示。上侧分位数的计算方法：上侧分位数的计算方法：由定义知由定义知 查标准正态分布函数值表便可得查标准正态分布函数值表便可得 ；也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系，借助于也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系，借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位的双侧分位数。数。例如：例如：图图2.2326.201.0645.105.0=a aa aa aa auu现在学习的是第29页，共61页随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、一元随机变量函数的分布一、一元

31、随机变量函数的分布1.一元随机变量函数一元随机变量函数Def 注意：注意：已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 D的分布的分布,求所需钢材截面积。求所需钢材截面积。现在学习的是第30页，共61页2.一元离散型随机变量函数的分布求法一元离散型随机变量函数的分布求法一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 R.V，X 的分布律为的分布律为则则 Y=g(X)的分布表为的分布表为如果如果中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。证明证明 因为因为所以有所以有上述结果得以证明。上述结果得以证明。现在学习的是第31页，共61页例例2.51 设设X的分布表为的分布表为-2-1

32、0120.20.10.40.20.1解：解：0.20.10.40.20.1-2-1012-4-202463236从而有从而有的概率分布列为的概率分布列为-4-20240.20.10.40.20.1的概率分布列为的概率分布列为2360.40.30.3现在学习的是第32页，共61页3.一元连续型随机变量函数的分布求法一元连续型随机变量函数的分布求法分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤例例2.52设设X的概率密度为的概率密度为求求Y=2X+8的概率密度。的概率密度。解：解：随机变量随机变量Y=2X+8的分布函数为的分布函数为 于是，于是，Y 的概率密度函数为的概率密度函数为现在学习的是第33页，

33、共61页例例2.53已知已知 的概率密度为的概率密度为 ，求，求 的概率分布。的概率分布。解：解：现在学习的是第34页，共61页注意：注意：现在学习的是第35页，共61页证：因为证：因为现在学习的是第36页，共61页服从正态分布，其中服从正态分布，其中。例例2.54 设随机变量设随机变量，证明，证明也也证明证明 因为因为于是有于是有现在学习的是第37页，共61页例例2.55 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 Y=sinX 的概率密度。的概率密度。解：解：随机变量随机变量Y=sinX的分布函数为的分布函数为 现在学习的是第38页，共61页所以有所以有现在学习的是第39页，共61

34、页 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量果知道了随机变量X X的概率分布，那么的概率分布，那么,X X的全部概率特征的全部概率特征也就知道了也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的重要的

35、 .现在学习的是第40页，共61页数学期望（数学期望（Expectation）：随机变量的平均值；）：随机变量的平均值；反映的是随机变量的集中位置。反映的是随机变量的集中位置。方差（方差（Variance）：）：随机变量的集中程度。随机变量的集中程度。现在学习的是第41页，共61页随机变量的数学期望随机变量的数学期望Mathematical ExpectationMathematical Expectation以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均，反映了这，反映了这7位同学高数成位同学高数成绩的平均状态。绩的平均状态。一、引例一、引例 某某7学生的高数成绩为学生的高数成绩为90，85，

36、85，80，80，75，60，则则他们的平均成绩为他们的平均成绩为随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？现在学习的是第42页，共61页二、数学期望的定义二、数学期望的定义n离散型随机变量离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 n连续型随机变量连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分，若广义积分现在学习的是第43页，共61页n随机变量数学期望所反应的意义随机变量数学期望所反应的意义例例2.61已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为4561/41/21/4求数学期

37、望求数学期望解：解：由数学期望的定义由数学期望的定义例例2.62已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为01求数学期望求数学期望解：解：由数学期望的定义由数学期望的定义现在学习的是第44页，共61页例例2.63已知随机变量已知随机变量。求数学期望。求数学期望例例2.64已知随机变量已知随机变量。求数学期望。求数学期望现在学习的是第45页，共61页例例2.65已知随机变量已知随机变量。求数学期望。求数学期望现在学习的是第46页，共61页例例2.66已知随机变量已知随机变量。求数学期望。求数学期望现在学习的是第47页，共61页n一元一元随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望设设是随机变

38、量是随机变量 X的函数，的函数，n n离散型离散型离散型离散型n n连续型连续型连续型连续型现在学习的是第48页，共61页该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必知道不必知道g(X)的分的分布，而只需知道布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随机变函数的期望这给求随机变函数的期望带来很大方便带来很大方便.例例2.67解：解：因为因为现在学习的是第49页，共61页例例2.68现在学习的是第50页，共61页例例2.692.69已知已知 的分布表如下，试求的分布表如下，试求 及及 的的数学期望数学期望。现在学习的是第51页，共61页利用利用X的分布可求

39、出的分布可求出 的分布是自由度为的分布是自由度为1的卡方分布的卡方分布 即即若若 ，则，则 ，且，且 。例例2.702.70 已知随机变量已知随机变量 ，求，求 的数学期望。的数学期望。解：由定义计算解：由定义计算现在学习的是第52页，共61页n随机变量数学期望的性质随机变量数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C；2.若若C是常数，则是常数，则E(CX)=CE(X)；3.若若a是常数，则是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b；证明：性质证明：性质3，以离散型随机变量为例，以离散型随机变量为例现在学习的是第53页，共61页随机变量的方差随机变量的方差Variancen 随机

40、变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 n方差的计算公式 n均方差（标准差）现在学习的是第54页，共61页n n离散型离散型设离散型随机变量X的概率分布为n n连续型连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)n方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例例2.71已知随机变量X的分布律为01求方差解：解：现在学习的是第55页，共61页例例2.72已知随机变量。求方差现在学习的是第56页，共61页例例2.73已知随机变量。求方差现在学习的是第57页，共61页例例2.74已知随机变量。求方差现在学习的是第58页，共61页例例2.75已知随机变量。求方差现在学习的是第59页，共61页例例2.76解：解：X的密度函数为 所以有现在学习的是第60页，共61页随机变量的矩与中位数随机变量的矩与中位数n 随机变量的矩随机变量的矩 n n原点矩与中心矩原点矩与中心矩原点矩与中心矩原点矩与中心矩Def 设X是随机变量，若 存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，n n中位数中位数中位数中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差现在学习的是第61页，共61页