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1、C3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转 为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性.分支点失稳：（第一类失稳）完善体系（或称理想体系）：直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。Pl/2l/2POP1Pcr=1Pcr(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)DDP2原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲）。分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。临界荷载、临界状态2 Pcr由于荷载自Pcr至压溃历程极短，故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近，可采用简单的小
2、挠度理论求Pcr。第第2页页/共共61页页第1页/共61页 Pcr Pcrqcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合 Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转 结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，这种现象带有突然性。分支点失稳的特点：其它结构的分支点失稳第第3页页/共共61页页第2页/共61页极值点失稳：（第二类失稳）非完善体系：具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆 P PPOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别：强度问
3、题是在稳定平衡状态下：当 ,小变形，进行线性分析（一阶分析）。当 ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。重点是求 内力、应力稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。非线性分析，叠加原理不再适用。极值点失稳的特点：结构一开始受压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显的界限，只是当接近失稳时，荷载增加很小，而挠度迅速增加。P-曲线具有极值点。由于结构的变形过大，结构将不能正常使用。第第4页页/共共61页页第3页/共61页 Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=1）按大挠度理论分析
4、PRAPOAPcrB(稳定)(不稳定)(大挠度理论)不稳定平衡(小挠度理论)随遇平衡 分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，按非完善体系进行稳定性演算。2）按小挠度理论分析 1 小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注:1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。两类稳定计算简例两类稳定计算简例第第5页页/共共61页页第4页
5、/共61页 Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=1）按大挠度理论分析 P RAP/klO=0=0.1=0.210.6950.380.5360.421.37 1.47/2P/klO10.20.5360.10.6950.30.415这个非完善体系是极值点失稳.Pcr 随增大而减小.第第6页页/共共61页页第5页/共61页 PlkEI=2）按小挠度理论分析 PRAP/klO设：1，0（0），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能=U+UP=0（=0），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能=U+UP 0（0），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。用能量法求临界荷载，依据于临界状态的
6、平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即=0或：=0 （单自由度体系）（用于多自由度体系）PlABklMA=kPABBEI=0第第12页页/共共61页页第11页/共61页弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理：对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0,=应变能U+外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解得：PlABkBEI=单自由度体系也可由=0解得：第第13页页/共共61页页第12页/共61页
7、 总势能是位移的二次函数，1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当=0，为极小值0。对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值2）Pk/l，当0，恒小于零（为负定）(即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l，当为任意值时，恒等于零(即U=UP)。体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。PPcrP=Pcr 结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0，且位移有非零 解。即：在荷载达到临界值前后，总势
8、能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。第第14页页/共共61页页第13页/共61页Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻 值条件:0
9、)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的计算步骤同静力法能量法步骤:给出新的平衡形式;写出总势能表达式;建立势能驻值条件;应用位移有非零解的条件,得出特征方程;解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。第第15页页/共共61页页第14页/共61页体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP总势能是位移y1、y2的对称实数二次型。如果Pkl/3=Pcr，是正定的。如果kl/3 Pkl，是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能由
10、正定过渡到非正定。（或说：势能达驻值，位移有非零值）非正定第第16页页/共共61页页第15页/共61页PPllABCk例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1、静力法：两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线第第17页页/共共61页页第16页/共61页2、能量法：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-k应变能：总势能：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。第第18页页/共共61页页第17页/共6
11、1页例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP第第19页页/共共61页页第18页/共61页例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。第第20页页/共共61页页第19页/共61页P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平
12、衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC第第21页页/共共61页页第20页/共61页1-1P 用能量法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求变形能和外力势能：第第22页页/共共61页页第21页/共61页Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求 EI=1、正对称失稳取半刚架如图：取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。PAlllBCDC1qk02、反对称失稳取半刚架如图：取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。C)(21qq
13、+k0C第第23页页/共共61页页第22页/共61页静力法的解题思路:先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。与有限自由度体系不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）xRxylPEI16-3 16-3 弹性压杆（无限自由度）的稳定弹性压杆（无限自由度）的稳定静力静力法法1、等界面压杆yx公式中公式中取负号取负号yx公式中公式中取正号取正号 在弹性杆的近似微分方程式 中的正负号确定:当由弯矩M引起的曲线凸向y轴时取负号，反之取正。第第24页页/共共61页页第23页/共61页23p2pa ly4.493先由图解法求出
14、近似解：l=4.5再由试算法求更准确的值：22)7.0(lEIp=219.20lEI=22)493.4(lEI=22)(lEIla=2EIPcra=第第25页页/共共61页页第24页/共61页f刚性支承上等截面直杆的稳定EI=1=0.7=2=0.5=1材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：长度系数=2、1、0.7、0.5约束加强，临界荷载提高。ll/2l0=2ll0=0.7ll0=ll0=ll0=0.5l第第26页页/共共61页页第25页/共61页f具有弹性支承的等截面直杆的稳定PABkB xyPABkB xyPABk xyll P3i3ik=6i本节虽以单根压杆为研究对象，但是，单
15、根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型。第第27页页/共共61页页第26页/共61页可能发生反对称失稳的计算简图考虑下端转动刚度特性的计算简图EI1=EI1=PPPEIEIEIPEIkPEI第第28页页/共共61页页第27页/共61页PPEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1反对称失稳时PPEIEI1EI1l或：正对称失稳时PEIEI1l/2PEI1PPEI1PP或：第第29页页/共共61页页第28页/共61页注意：在某些结构中，不受轴向压力的部分可视为压杆的弹性支撑，将结构简化为具有弹性支撑的压杆计算。弹性支撑的刚度系数 k 是失稳时，非受压部分发生单位位移时所需施加的力（或
16、力矩）。PABlDE柱、CA梁不存在轴向荷载作用下的失稳问题，对AB柱的约束作用可用弹性支座代替EIEIEA=EIllPABDEC第第30页页/共共61页页第29页/共61页 PBk例6 试求图示排架的临界荷载和柱子AB的计算长度。PI1I2=nI1BADCEA=A解：CD杆的作用用弹簧来代替xyB Px yR=k1）I2=0，k=0相当于悬臂柱，计算长度为l0=2l第第31页页/共共61页页第30页/共61页2）I2=，k=相当于上端铰支、下端固定柱，计算长度为l0=0.7l22)7.0(lEIp=219.20lEIPcr=3）当）当 0k当 I2=I1/2l4.493试算法求解:计算长度为
17、l0=1.426l第第32页页/共共61页页第31页/共61页yx Pl2l1EI例5：求图示压杆的稳定方程。解：1）选坐标系，取图示曲线的平衡形式，建立平衡微分方程。M=Py2）求解平衡微分方程3）由边界条件，可得一组与未知数（A、B、）数目相等的齐次方程，位移有非零解系数行列式应等于零，得出特征方程。特征方程：代入边界条件展开：第第33页页/共共61页页第32页/共61页xyl1l2lI1I2 P Pcr两段的弹性曲线微分方程：解方程：由系数行列式等于零得稳定方程：y1y22、阶梯形压杆的稳定第第34页页/共共61页页第33页/共61页 2）解平衡微分方程；静力法解题思路：1）对新的平衡形
18、式列平衡微分方程；3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程组；能量法解题思路：1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能；2）由势能驻值条件=0，得到包含待定参数的齐次方程组；3）令系数行列式等于零，得到特征方程。4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。Pl设变形曲线为：dxdx 16-4 16-4 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定能量法能量法对变截面杆、沿轴向有分布压力时用能量法方便。1、按单参数体系计算满足边界条件的已知函数第第35页页/共共61页页第34页/共61页有势能驻值条件，即或由：要求位移有非零解，a0第第36页页/共共61页页第35页/共61页例16-5 能
19、量法求临界荷载.解：位移边界条件为：当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy1）设挠曲线为抛物线(纯弯下的挠曲线).123166423lEIllEI=01Pacr0)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=:,01a=得由P误差为 22%因为所设挠曲线不满足力的边界条件。甚至相差甚远，故精度较差。.22lEIPcrp=精确解：第第37页页/共共61页页第36页/共61页另解：位移边界条件为：当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy2）设挠曲线为图b(横弯下的挠曲线).102lEIPcr=由P
20、Q误差为 1.3%如取均布荷载作用下的挠曲线,精度会更高.如用某一横向荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。第第38页页/共共61页页第37页/共61页另解：位移边界条件为：当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy3）设挠曲线为正弦线 )(4)(212202llPadxyPUlPp-=-=,)(442lEIlap=)(2102dxyEIUl=.:22lEIPcrp=得由*正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。*抛物线不满足弯矩边界条件，精度最差。*横向力挠曲线不满足剪力边界条件，精度稍好。*如果用某一横向荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则 体系的
21、应变能也可用该荷载的实功来代替。第第39页页/共共61页页第38页/共61页设变形曲线为：2、按多参数体系计算 满足位移边界条件的已知函数，ai是任意参数。由势能驻值条件，即令：第第40页页/共共61页页第39页/共61页展开是关于P的n次方程,其最小根即临界荷载。上述方法叫里兹法，将原来的无限自由度体系近似地化为有限自由度体系，不是求解微分方程得到位移的精确解，而是假设位移状态，强令体系按所设的位移函数发生变形，这相当于对体系施加了某种约束，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。减少自由度相当于对体系施加约束，抗失稳能力提高。第第41页页/共共61页页第40页/共61页例16-6 求均匀竖向荷
22、载作用下的临界荷载.解:当 x=0 时，y=0：x=l 时，2）按单参数体系计算设挠曲线为正弦线 ,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=lyxqEIxdx微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：所设失稳曲线能否满足力的边界条件？第第42页页/共共61页页第41页/共61页另解:当 x=0 时，y=0：x=l 时，设挠曲线为(b)中Q引起的挠曲线.微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）第第43页页/共共61页页第42页/共61页2）按两个参数体系计算设满足两端位移边界条件的挠曲线为 )(2102dxyEIUl=第第
23、44页页/共共61页页第43页/共61页11-5 11-5 刚架稳定分析的有限单元法刚架稳定分析的有限单元法刚架的稳定通常属于第二类稳定性问题,如图.a所示,如果将横梁上的竖向荷载等效为作用于结点上的集中荷载,如图.b所示.这样就把丧失第二类稳定性的问题转化为丧失第一类稳定性的问题。ABCD(b)第一类稳定性(a)ACDB第二类稳定性第第45页页/共共61页页第44页/共61页刚架稳定分析的基本假设刚架稳定分析的基本假设:刚架在失稳前,只承受结点荷载,同时还忽略各杆的轴向变形的影响。在作刚架的稳定分析时,由于所受杆件的轴力很大,则需考虑轴力对刚度系数的影响。本节介绍基于能量原理的刚架稳定性分析
24、的有限单元法(矩阵位移法)1 1、压杆单元的形状函数、压杆单元的形状函数 图示为一压杆单元e,两端压力为Fp。在单元坐标系中,端点位移和端点力向量分别为e12yx(a)e12yx(b)第第46页页/共共61页页第45页/共61页设单元位移插值函数表示为如下多项式 四个待定常数 由四个结点位移表示为由此求得或写为第第47页页/共共61页页第46页/共61页其中:就是由单位杆端位移ai=1引起的挠度,称为形状函数(a)1(b)1(b)1(c)12 2、压杆单元的刚度矩阵与几何刚度矩阵、压杆单元的刚度矩阵与几何刚度矩阵压杆单元的刚度方程为第第48页页/共共61页页第47页/共61页压杆单元的势能 由
25、两部分组成,即 单元的应变能纵向力 Fp引起的势能根据势能偏导数定理求杆端力 得 (a)(b)(c)Ke是通常的刚度矩阵,Se 表示轴力对刚度的影响,称为几何刚度矩阵,下面应用势能偏导数定理推导压杆单元刚度方程。第第49页页/共共61页页第48页/共61页由(a)和(b)分别对ai 求导得:将它们代入(c)式得(d)其中:将式(d)中的四个方程合起来,写成矩阵形式如下:(e)第第50页页/共共61页页第49页/共61页6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=或简
26、写成(f)将形状函数代入(d)式,可求得 和 ,由此得(g)通常的单元通常的单元刚度矩阵刚度矩阵第第51页页/共共61页页第50页/共61页 考虑纵向力影响时的附加刚度矩阵,或称单元几何刚度矩阵为(h)3 3、结构的稳定计算、结构的稳定计算 有了上面压杆单元的刚度方程,用矩阵位移法可进行结构的稳定计算。对于刚架,在计算压杆单元时,其单元刚度矩阵应按式(f)计算,而对非压杆单元,仍按普通单元刚度矩阵(g)式计算。利用刚度集成法得出结构的整体刚度方程为第第52页页/共共61页页第51页/共61页 这里,由于失稳前各杆只受轴力,故荷载向量为零,位移法的基本方程为齐次方程。由于作用于结点上的荷载不会使
27、基本结构中的附加刚臂和附加连杆中产生约束力,因此位移法典型方程的各自由项都等于零.临界状态的特点是 故得 上式的展开式是一个包含荷载值FP的代数方程,其最小根就是临界荷载FPcr。例11-7 试求图-a 所示刚架的临界荷载和柱的计算长度。解:图.a所示为一受对称结点荷载作用的对称刚架,它可能以对称变形的形式丧失稳定(图.b),也可能以反对称变形的形式丧失稳定(图.c)。第第53页页/共共61页页第52页/共61页ABCDEH(a)ABCDE(b)ABCDE(c)(1)(1)、以对称变形的形式失稳、以对称变形的形式失稳 刚架的变形和编号如图.a所示,用位移法计算时,独立的结点位移只有一个 。12
28、(a)单元为一端有转角,另一端固定的压杆单元,单元的刚度系数和几何刚度系数为第第54页页/共共61页页第53页/共61页单元为两端有转角()的普通单元,单元的刚度系数为整体刚度方程(位移法方程)为 为有非零解的条件为由此求得由此求得:柱的计算长度为第第55页页/共共61页页第54页/共61页23(b)(2)(2)、以反对称变形的形式失稳、以反对称变形的形式失稳 刚架的变形和编码如图刚架的变形和编码如图.b所示。按位移法计算时所示。按位移法计算时,独立的独立的节点位移只有两个节点位移只有两个 。单单元元、为为一一端端有有侧侧移移和和转转角角,另另一一端端为为固固定定的的压压杆杆单单元元,单单元刚
29、度方程由式元刚度方程由式(f)(f)给出为给出为 1131221211312212单元单元为两端有转角的普通单元为两端有转角的普通单元,单元刚度方程为单元刚度方程为2233第第56页页/共共61页页第55页/共61页按直接刚度法按直接刚度法(对号入座对号入座)集成整体刚度方程为集成整体刚度方程为123123考虑到考虑到 首先首先,将第将第3列列合并到第合并到第2列列上去上去,即即第第57页页/共共61页页第56页/共61页同时同时,把第把第3行合并到第行合并到第2行中去行中去,得合并后的位移法方程得合并后的位移法方程因位移因位移 ,要求要求展开后得一含展开后得一含FP的代数方程的代数方程(注意注意:n=1)第第58页页/共共61页页第57页/共61页其最小根就是临界荷载其最小根就是临界荷载(3)(3)、讨论讨论 比比较较对对称称变变形形形形式式失失稳稳和和反反对对称称变变形形形形式式失失稳稳可可知知:反反对对称称变变形形形形式式失失稳稳相相应应的的临临界界荷荷载载较较小小。因因此此,实实际际的的临临界荷载应为界荷载应为精确解为精确解为柱的计算长度为第第59页页/共共61页页第58页/共61页第第60页页/共共61页页第59页/共61页第第61页页/共共61页页第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页