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1、2023/2/171一.第一类稳定问题(分支点失稳)lEIEIP P-临界荷载稳定平衡随遇平衡不稳定平衡 不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳(屈曲).).15.1 绪论绪论第1页/共54页2023/2/172分支点失稳的特征P PP P两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。-第一类稳定问题完善体系lEIEIP P第2页/共54页2023/2/173二.第二类稳定问题(极值点失稳)偏心受压 第二类稳定问题P PP P有初曲率非完善体系第3页/共54页2023/2/174三.分析方法大挠度理论。小挠度理论。静力法能量法四 .稳定自由度 在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变
2、形状态所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。P P1 1个自由度P PP P2 2个自由度无限自由度第4页/共54页2023/2/175例1 1、分支点失稳示例失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据 ：因解一：平衡路径I I解二：平衡路径IIII第5页/共54页2023/2/176失稳变形：二、运用小挠度理论分析：根据 ：因解一：平衡路径I I解二：平衡路径IIII小挠度、小位移情况下：第6页/共54页2023/2/177例2 2、极值点失稳示例失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据 ：因解得：第7页/共54页2023/2/178一.一个自由度体系小挠度、小位移情况下：P Pl1 1抗转弹
3、簧A-稳定方程（特征方程）-临界荷载15.2 静力法静力法第8页/共54页2023/2/179二.N自由度体系（以2 2自由度体系为例）-稳定方程-临界荷载lAP PlB-失稳形式P P1 11.6181.618第9页/共54页2023/2/1710三.无限自由度体系P Pl挠曲线近似微分方程为QP PQ或令通解为由边界条件得稳定方程第10页/共54页2023/2/1711P PlQP PQ得稳定方程经试算第11页/共54页2023/2/1712静力法举例静力法举例例1.试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2q
4、aEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图第12页/共54页2023/2/1713可解得临界荷载为：FP=2qaq通过对A点求矩有：A第13页/共54页2023/2/1714例2.试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图ABCFPy第14页/共54页2023/2/1715可解得临界荷载为：通过对竖向取力的平衡有：第15页/共54页2023/2/1716例3.试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=，刚度系数为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图ABCDFPABCDF
5、P解：第16页/共54页2023/2/1717代入上式可得：通过对变形后的B、C点求矩有：由行列式为零可得：ABCDFP第17页/共54页2023/2/1718例例4.试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、k0、kr分别为常数或等于零或等于分别为常数或等于零或等于时，弹性压杆的支承状况及相应的时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。稳定方程是什么。取压杆变形后的平取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所衡形式及坐标如图所示，采用
6、小挠度理论示，采用小挠度理论可得弹性平衡微分方可得弹性平衡微分方程。程。解：第18页/共54页2023/2/1719通解为：通解为：边界条件为：边界条件为：令：令：则：则：第19页/共54页2023/2/17202023/2/1723:48:0920由整体平衡条件由整体平衡条件整理后得：整理后得：可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：第20页/共54页2023/2/1721分情况讨论：一、当k=常数，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程k0=0、kr=常数；k0=0、kr=0；1-11-21-3k0=、kr=0；第21页/共54页2023/2/1722二、当k=0，且 k0、kr为如下取值时的稳
7、定方程k0=0、kr=常数；2-12-22-3k0=、kr=0；k0=、kr=；第22页/共54页2023/2/17233-13-23-3k0=0、kr=；k0=、kr=0；k0=、kr=.3-4k0=0、kr=0；三、当k=，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程第23页/共54页2023/2/1724一一.势能原理势能原理2.外力势能外力势能1.应变能应变能P P弯曲应变能拉压应变能P PP P剪切应变能 外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功.y(x)q(x)3.结构势能结构势能15.3 能量法能量法第24页/共54页2023/2/1725结构势能例例:求图示桁架在平衡状态下的结构
8、势能求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.P P1 1llA解:杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能第25页/共54页2023/2/1726结构势能P P1 1llA杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能4.4.势能驻值原理设A A点发生任意竖向位移 是 的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能第26页/共54页2023/2/17274.4.势能驻值原理设A A点发生任意竖向位移 是 的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能 在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移 对于稳定平衡状态,真实位移使结构势能取极小值.
9、第27页/共54页2023/2/1728分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图例6.试用能量法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。能量法举例能量法举例第28页/共54页2023/2/1729则结构势能为：FP=2qaq变形能为：A外力势能为：由驻值条件有：可解得临界荷载为：解：第29页/共54页2023/2/1730例7.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图ABCFPy第30页/共54页2023/2/1731则结构势能为
10、：变形能为：外力势能为：由驻值条件有：可解得临界荷载为：解：第31页/共54页2023/2/1732例8.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=，刚度系数为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图ABCDFPABCDFP解：第32页/共54页2023/2/1733则结构势能为：变形能为：外力势能为：ABCDFP第33页/共54页2023/2/1734由驻值条件有：由行列式为零可得：ABCDFP第34页/共54页2023/2/1735起重机塔架起重机塔架10.4 组合压杆的稳定组合压杆的稳定第35页/共54页2023/2/1736钢桁架桥钢桁架桥第36页/共
11、54页2023/2/1737基坑开挖格构式立柱基坑开挖格构式立柱第37页/共54页2023/2/1738缀板式肢杆缀条缀板缀条式组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为缀条式和缀板式两种。第38页/共54页2023/2/1739一.缀条式组合压杆z假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：上式中：b b为组合杆的肢宽，为斜缀条与水平轴的夹角。-上斜缀条截面积.-下斜杆截面积.应变能为：将轴力代入后得：第39页/共54页2023/2/1740一般缀条式组合杆的结间数较多，可取 另外：则应变能为：外力势能：I 为两根肢杆的截面对z轴
12、的惯性矩.令 ，可得：z第40页/共54页2023/2/1741若写成欧拉问题基本形式当 ，时，z第41页/共54页2023/2/1742若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径,取并且,一般 为 ,故可取并引入长细比若采用换算长细比 ,则有若写成欧拉问题基本形式第42页/共54页2023/2/1743上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径,取并且,一般 为 ,故可取并引入长细比若采用换算长细比 ,则有第43页/共54页2023/2/1744若采用换算长细比 ,则有二.缀板式组合压杆可取刚架作为计算结构，
13、运用能量法可得到其临界荷载值为：上式中：第44页/共54页2023/2/1745组合结构稳定计算举例组合结构稳定计算举例1.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程.计算结构临界荷载.第45页/共54页2023/2/17462.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程.计算结构临界荷载.第46页/共54页2023/2/1747详细解题过程：详细解题过程：取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方
14、程。通解为：通解为：令：令：则：则：第47页/共54页2023/2/1748边界条件为：边界条件为：整理后得：整理后得：可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：可得临界荷载：可得临界荷载：第48页/共54页2023/2/17493.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，一个稳定自由度.静力法求解.计算结构临界荷载.第49页/共54页2023/2/1750解解：一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示.结构临界荷载为：4.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。第50页/共54页2023/2/1751解解：产生单位转角后：计算刚度.5.计算简化模型中的刚度计算简化模型中的刚度k。第51页/共54页2023/2/1752概念判断5、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。1、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。2、在稳定分析中，有n个稳定自由度的结构具有n个临界荷载。3、两类稳定问题的主要区别是：荷载位移曲线上是否出现分支点。4、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。答案：错误答案：错误答案：正确答案：正确答案：正确第52页/共54页谢谢 谢谢本章结束本章结束第53页/共54页2023/2/1723:48:1854感谢您的观看。第54页/共54页