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1、结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院结 构 力 学（2）第第1616章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院结构设计应满足三方面的要求 1、强度强度 2、刚度刚度 3、稳定性稳定性(受压结构，失稳时结构计算已经不是在原结构上，而是在变形后的结构形状上，此谓几何非线性)薄细构件高强度构件容易失稳，需要稳定性验算。基本基本概念概念 1、失稳（instability）：当荷载超过某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯曲变形，
2、或与受力方向垂直的变形现象 2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。16-1 16-1 稳定问题概述稳定问题概述结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院线性非线性结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院非线性(叠加原理不成立)线性(叠加原理成立)结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院原状态干扰状态取消干扰后的状态由于取消干扰后结构可以恢复原状,所以原状态为稳定状态稳定状态原状态干扰状态由于取消干扰后结构无法恢复原状,所以原状态为不稳定状态不稳定状态取消干扰后的
3、状态临界状态临界状态结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法大挠度分析法:考虑大的变形及变形对几何形状的影响小挠度分析法小挠度分析法:只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影响，用近似公式计算位移1.完善体系完善体系分支点失稳2.非完善体非完善体系极值点失稳3.跃越失稳16.2 两类稳定问题计算结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院结构失稳的两种基本形式 1、第一类失稳（完善体系分支点失稳完善体系分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。l/2PPc rl(b)弯曲平衡状态P2POP1D（c）荷
4、载位移曲线（P曲线）Pc rDCABP(a)直线平衡状态 l分支点新平衡临界荷载临界状态小挠度理论大挠度理论结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院(a)偏心受压杆 P PePePP PPOPcr(b)荷载位移曲线（P 曲线）Pc rCAB 2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。小挠度理论临界荷载大挠度理论3.跃越失稳结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院1.平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。2.平衡路径之前有分支点，荷载
5、随位移增大而增大，则体系的状态为稳定平衡状态。否则体系处于不稳定平衡状态。弹性静稳定平衡的条件弹性静稳定平衡的条件完善体系完善体系体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对应，则平衡状态为稳定衡平状态。否则体系处于不稳定平衡状态。非完善体系非完善体系结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院MA=k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA=k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI无限自由无限自由度体系度体系单自由单自由度体系度体系稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态所需要的独立几何参数（一般指的是位移,并垂直于力的方向）的数
6、目 结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异大挠度理论大挠度理论 小挠度理论小挠度理论大挠度理论大挠度理论小挠度理论小挠度理论结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院完善体系大挠度完善体系大挠度理论分析非完善体系大挠度非完善体系大挠度理论分析1.1.分支点失稳例：图16-63.3.极值点失稳完善体系小挠度完善体系小挠度理论分析非完善体系小挠度非完善体系小挠度理论分析2.2.分支点失稳4.4.极值点失稳例：图16-7例：图16-9(a)例：图16-10弹性稳定问题的弹性稳定问题的6
7、 6种情况种情况5.5.稳定平衡6.6.稳定平衡结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院单自由度完善体系完善体系的分支点失稳yFpBxkAEI无穷大弹簧的反力 临界荷载：代入：1 1.按大挠度理论按大挠度理论分支后两条平衡路径：1.1.=0，Fp为任意值(不稳定)2.2.0，Fp=kl cos(不稳定)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。结论：红兰两条路径均不稳定结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院2 2.按小挠度理论按小挠度理论 考虑在小变形情况下，取 sin=、cos=1，弹簧的反力 临界荷载（分支点）
8、yFpBxkAEI无穷大无穷大单自由度完善体系完善体系的分支点失稳上式可写为 分支后两条平衡路径：1.1.=0，Fp为任意值(不稳定)2.2.0，Fp=kl(随遇平衡)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大，所以位移增大的路径是不稳定的。结论：红兰两条路径均不稳定结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳弹簧的反力 极值（临界）荷载：所以：求极值 3 3.按大挠度理论按大挠度理论yFpBxFRB=kAEI无穷大结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院1.81.30.80.3-0.200.20.40.60.81
9、1.2=0=0.01=0.1=0.2临界荷载(极值点)和初位移e有关00.050.10.150.20.250.30.3500.20.40.60.811.2单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳3 3.按大挠度理论按大挠度理论极值点之后，位移增大而承载力反而减小，所以位移增大的过程是不稳定的结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院4 4.按小挠度理论按小挠度理论 临界（极值）荷载：单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳yFpBxkAEI无穷大结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院0.50.40.30.20.1000.20.40.60.811.2=
10、0.02=0.01临界（极值）荷载：临界荷载(极值点)和初位移e无关4 4.按小挠度理论按小挠度理论 单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳接近临界荷载时，位移不断增大而承载力几乎不增大，所以位移增大的过程是不稳定的结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院MAB=kABFpxly平衡方程单自由度完善完善体系体系的稳定问题5 5.按大挠度理论按大挠度理论代入得分支点Fpcr=k/l结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院分支点Fpcr=k/l分支后两条平衡路径：1.1.=0，Fp为任意值(不稳定)2.2.0,分支后，承载力随位移增大而增大。在材料应变
11、容许范围内，不存在极值，所以位移增大的过程是稳定的。最大荷载可超过分支临界荷载。MAB=kABFpxly5 5.按大按大挠挠度理度理论论结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院平衡方程单自由度非完善体系非完善体系的稳定问题6 6.按大按大挠挠度理度理论论代入得MAB=kABFpxlye e00.20.40.60.811.200.20.40.60.811.21.4=0.05=0.01承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不存在临界荷载的理论值。结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土
12、建学院学院土建学院总结完善体系失稳分支点失稳非完善体系失稳极值点失稳分支点失稳形式的特征为：存在不同平衡路径的交叉，交叉点处出现平衡的两重性。极值点失稳形式的特征为：只存在一个平衡路径，但在平衡路径上存在极值。大挠度理论可得精确解，小挠度理论能得到分支点的解，但路径不正确。对对于完善体系的分支点失于完善体系的分支点失稳稳，无，无论论采用小采用小挠挠度理度理论论，还还是大是大挠挠度理度理论论，所得，所得临临界荷界荷载值载值是相同的。是相同的。结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院1 1、静力法静力法计计算思路算思路假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程，进而求解
13、临界荷载。计计算步算步骤骤（1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。（2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方程)。（3）求解稳定方程的临界荷载。（4）求解稳定方程的特征向量,绘失稳形式图(buckling mode)。16.316.3 有限自由度体系的有限自由度体系的稳稳定定 静力法静力法讨论分支点失分支点失稳稳问题，按小小挠挠度理度理论论求临界荷载结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院平衡方程：单单自由度体系静力法自由度体系静力法求求临临界荷界荷载载（P216P216）q有非0解的条件代入得：临临界荷界荷载载：问题：荷载大于临界荷载时角位移也只
14、有0解MAB=kABFpxly解解：设转角q，位移D=lq结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院单单自由度体系静力法自由度体系静力法求求临临界荷界荷载载例例平衡方程：临界荷载代入得SABACFply结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院结结点点B B投影平衡方投影平衡方程程结结点点C C投影平衡方投影平衡方程程例例题题16-116-1双自由度体系静力法求双自由度体系静力法求临临界荷界荷载载隔离体隔离体解法解法2 2：（解法（解法1 1详见详见P218P218）设B,C点的竖向位移为y1，y2 结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院
15、土建学院投影平衡方程:例例题题16-116-1矩阵表达式:平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)解得：压弯刚度矩阵几何刚度矩阵结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院将将代入平衡方程得无代入平衡方程得无穷穷多个解：多个解：位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态例例题题16-116-1结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院例例题题16-116-1双自由度体系静力法求双自由度体系静力法求临临界荷界荷载载解法解法3 3：设B，C点的竖向位移为y1，y2.A，B，C，D 支座竖向反力为取隔离体，得A，B 支座反力结构力学（2）浙大宁波理工浙
16、大宁波理工学院土建学院学院土建学院由以上得平衡方程：平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)解得：位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解静力法存在多种解法，灵活多变，有利于处理简单计算。但静力法缺乏规律性，很难建立具有明确物理意义的方程，因此不适用于处理复杂问题的程序化计算。结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院Ep=Ve+Vp:总势能total potential energy Ve:应变能strain energy Vp:荷载势能=-外力作功external work总势能是位移(或与位移有关的基本未知量
17、)的2次函数，总总势势能能驻值驻值的条件的条件为：总势能对所有的位移求导的结果为0。若有n各位移基本未知量ai,则总势总势能能驻值驻值原理原理(stationary principle of total potential energy)体系静稳定平衡条件：1.总势能为驻值(静力平衡)2.驻值为极小值（稳定）16.316.3 有限自由度体系的有限自由度体系的稳稳定定 能量法能量法结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院体系应变能：荷载势能：体系总势能：1.总势能为驻值(静力平衡)稳稳定体系的静平衡定体系的静平衡问题问题(单单自由度自由度)满足总势能驻值原理的两个条件,所以
18、位移为静力平衡位移2.驻值为极小值（稳定）结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院满足第一条件,则体系处于静力平衡状态（1）稳稳定平衡状定平衡状态态：满足第一条件,又满足第二条件位移变化则总势能增加,所以体系稳定.（2）不不稳稳定平衡状定平衡状态态：满足第一条件，不满足第二条件。位移增加总势能反而减少,所以体系不稳定（3）中性平衡状中性平衡状态态(临临界状界状态态)：满足第一条件,又满足第二条件。但位移变化而总势能不变(恒恒为为0 0),所以体系处于临界状态总势总势能能驻值驻值原理（原理（P217P217）体系静稳定平衡条件：1.基本未知位移为0时，总势能为驻值(0)2.
19、驻值为极小值静力平衡有三种状态结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院荷载势能：弹簧应变能：B点竖向位移能量法能量法计计算算临临界荷界荷载载(单单自由度体系自由度体系)总势能：MAB=kABFpxly临界荷载当q=0，总势能Ep为驻值，满满足第一条件足第一条件,平衡平衡当q=0，驻值为极小值，满满足第二条件足第二条件,稳稳定平衡定平衡当q=0，驻值为极大值，不不满满足足第二条件第二条件,不不稳稳定平衡定平衡当q=0，Ep=0,临临界界稳稳定平衡定平衡结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院例例题题16-116-1双自由度体系能量法求双自由度体系能量法
20、求临临界荷界荷载载（P218P218）体系应变能：荷载势能：解解：设B,C点的竖向位移为y1，y2 结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院例例题题16-116-1（P218P218）体系体系总势总势能：能：总势总势能能驻值驻值条件条件平衡方程矩平衡方程矩阵阵表达式表达式K K:压弯刚度矩阵S S:几何刚度矩阵y y:位移向量齐齐次次2 2次式次式表示法（表示法（P105P105）结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院y不等于0的条件：稳定方程（特征方程）即例例题题16-116-1双自由度体系能量法双自由度体系能量法解得两个特征解得两个特征值值：平
21、衡方程：平衡方程：其中最小特征其中最小特征值为临值为临界荷界荷载载结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院将代入平衡方程P220P220式式(g)(g)得无穷多个解：代入总势能方程P220P220式式(a)(a)得：（P219P219 图图16-14a16-14a）将代入平衡方程P220P220式式(g)(g)得无穷多个解：代入总势能方程P220P220式式(a)(a)得：（P219P219 图图16-14b16-14b）当荷载达到特征值时，位移有无穷多个解，只要位移满足特征向量比值，即便位移无穷大，总势能恒为0。结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建
22、学院y1=-y2EPFp100 :不稳定平衡状态(总势能不定不定)总势总势能与位移的关系曲能与位移的关系曲线线当荷载小于小于特征值100时，总势能驻值为极小值，位移增大总势能也增大，体系处于稳稳定平衡定平衡状态。当荷载大于大于特征值100时，总势能驻值为极大值，位移增大总势能反而减小，体系处于不不稳稳定平定平衡衡状态。当荷载等于等于特征值100时，位移增大而总势能不变（恒为0），体系处于临临界界状态。结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院Fp100，正定，正定(全凹全凹)Fp=100，半正定半正定(临临界全凹界全凹)100Fp300，负定(全凸全凸)结构力学（2）浙大宁
23、波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院求求单单自由度体系自由度体系临临界荷界荷载载(1)求应变能Ve(2)求荷载势能Vp(3)令总势能Ep=Ve+Vp=0求临界荷载能量法能量法计计算算临临界荷界荷载载求求多自由度体系多自由度体系临临界荷界荷载载(1)求应变能Ve，压弯刚度矩阵K(2)求荷载势能Vp，几何刚度矩阵S(3)列平衡方程，代入特征方程求特征值，最小特征值为临界荷载(4)将临界荷载带入平衡方程求特征向量，确定失稳变形形式(buckling mode)。特征方程平衡方程结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院(1)(1)应变能：(2)(2)荷载势能：(3)(3)体
24、系总势能：临临界荷界荷载载习题习题.单单自由度体系能量法自由度体系能量法求求临临界荷界荷载载解：解：设角位移q结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院应变应变能：能：习题习题-双自由度体系能量法双自由度体系能量法(1)(1)压压弯弯刚刚度矩度矩阵阵：解：如右图所示，设横向位移为D1，D2结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院荷荷载势载势能：能：(2)(2)几何几何刚刚度矩度矩阵阵：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院总势总势能：能：势能驻值条件：平衡方程：(3)(3)稳稳定方定方程程：(或特征方程或特征方程)结构力学（2）
25、浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院代入解得特征代入解得特征值值（最小特征（最小特征值值是是临临界荷界荷载载）BucklingmodeBucklingmode(4)(4)特征向量特征向量结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院能量法求三自由度体系能量法求三自由度体系临临界荷界荷载载应变应变能：能：(1)(1)压压弯弯刚刚度矩度矩阵阵：解：设B,C,D点的竖向位移为D1，D2,D3结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院荷荷载势载势能：能：(2)(2)几何几何刚刚度矩度矩阵阵：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院总
26、势总势能：能：势能驻值条件：平衡方程：(3)(3)稳稳定方定方程程：(或特征方程或特征方程)结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院代入后，用代入后，用JakobiJakobi法解得特征法解得特征值值（最小特征（最小特征值值是是临临界荷界荷载载）Bucklingmode:Bucklingmode:(4)(4)特征向量：特征向量：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院能量法求七自由度体系能量法求七自由度体系临临界荷界荷载载应变应变能：能：解：设B,C,D，E，F，G，H点的竖向位移为D1，D2,D3,D4,D5,D6,D7结构力学（2）浙大宁波理工浙
27、大宁波理工学院土建学院学院土建学院荷荷载势载势能：能：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院总势总势能：能：平衡方程：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院特征矩阵对角化结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院 1 1、解、解题题思路思路先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，最后由特征方程求出临界荷载。2 2、步、步骤骤（1）取隔离体建立静力平衡方程(2阶微分方程)。（2）求解微分方程,得挠曲线方程通解（3）将边界条件代入挠曲线方程得基本
28、未知量方程确定稳定方程(特征方程)。（4）求解稳定方程中的临界荷载(特征值)。（5）求解基本未知量方程中的特征向量，确定挠曲线方程,绘失稳形式图(buckling mode)。16.416.4无限自由度体系的无限自由度体系的稳稳定定 静力法静力法结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院例例题题:试试求求图图示示结结构的构的临临界荷界荷载载(P221(P221图图16-15)16-15)Fpcry yx xFpM(x)Fpcry yFRx x解解:(1)(1)取隔离体建立平衡方程(2)(2)求解非齐次微分方程得通解(三个基本未知量)代入(3)(3)代入边界条件基本未知量方程
29、齐次通解+特解结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院(4)(4)稳定方程(特征方程)解得最小特征值得挠曲线方程代入通解式(5)(5)求解特征向量将al=4.493代入基本未知量方程，得特征向量Bucklingmode（C为常数）临界荷载结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院例例16-2 试求图示结构的稳定方程及临界荷载。试求图示结构的稳定方程及临界荷载。FpFpM(x)yxFpxy解解:(1)(1)取隔离体建立平衡方程(2)(2)求解非齐次微分方程得通解(三个基本未知量)(3)(3)代入边界条件基本未知量方程结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工
30、学院土建学院学院土建学院(4)(4)稳定方程(特征方程)令利用作图试试算法算法求解超越方程中的al例：时例：时解得最小非0特征值为临界荷载结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院描点法作与的关系曲线结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院(5)(5)求解特征向量由基本未知量方程得特征向量代入通解式得挠曲线方程BucklingmodeBucklingmode例例(C为常数)结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院习题习题*：图图示示压压杆杆的的挠挠曲曲线线方程近似式方程近似式为为试试用用Raileigh-RitzRaileigh-Ritz法（法（能量法能量法的一种）求的一种）求临临界荷界荷载载解图*体系体系应变应变能：能：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院荷荷载势载势能：能：总势总势能：能：结构力学（2）浙大宁波理工浙大宁波理工学院土建学院学院土建学院总势总势能能驻驻条件条件平衡方程平衡方程临临界荷界荷载载最小特征最小特征值值特征向量特征向量特征方程特征方程挠挠曲曲线线近似方程：近似方程：解得（C为常数）