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1、 例例1 1：图示体系中：图示体系中ABAB、BCBC、CDCD各杆为刚性杆。使用两种方各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：解：1 1）静力法）静力法设变形状态设变形状态 求支座反力求支座反力列变形状态列变形状态 的平衡方程的平衡方程（a）如果系数行列式如果系数行列式=0=0y1y1，y2y2不为零，对应不为零，对应新的平衡形式新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。对称问题可利用对称性做。P第1页/共15页2 2、能量法、能量法静力法对静力法对等截面压杆等截面压杆的稳
2、定分析较为简单，而对的稳定分析较为简单，而对变截面杆变截面杆、有、有轴向分布荷载轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。作用的杆就较为麻烦。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。刚性小球运动稳刚性小球运动稳定性与能量的关系定性与能量的关系设静止点设静止点A、B、C点点=0ABCA点为稳定平衡，点为稳定平衡，偏离偏离A点点其其势能将增加，故知势能将增加，故知稳定平衡位置的势稳定平衡位置的势能为最小能为最小。B点为随遇点为随遇平衡，偏离平衡，偏离B点点=势能不变。势能不变。C点为不稳定平衡，点为不稳定平衡，偏离偏离C点点其势其势能将减小，故知不稳能将减小，故知不稳定平衡位
3、置的势能为定平衡位置的势能为最大。最大。第2页/共15页 对对于于弹弹性性变变形形体体系系，其其稳稳定定性性与与能能量量的的关关系系与与刚刚性性小小球球情情况况相相似似。设设原原始始平平衡衡状状态态为为零零势势能能点点，让让体体系系微微小小偏偏移移，荷荷载载在位移上做功在位移上做功W（外力势能（外力势能UP=W）使体系偏移，内力在变）使体系偏移，内力在变形上产生变性能形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能，使体系恢复原位置。总势能=U+UP即总即总势能的增量势能的增量。如总势能如总势能=U+UP 0（0），体系能），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能如总势能
4、=U+UP=0（=0），体系能），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能如总势能=U+UP 0（0），体系不），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。能恢复原位置，平衡是不稳定的。用能量法求临界荷载，依据于临界状态的用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即=0或：=0 （单自由度体系）（用于多自由度体系）PlABklMA=kPABBEI=0第3页/共15页弹性体系的平衡方程势能驻值原理：对于弹性体系，对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（
5、真在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能实位移）使结构的势能为驻值，即：为驻值，即：=0,=应变能应变能U+外力势能外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k弹性应变能弹性应变能荷载势能荷载势能:应用势能驻值条件应用势能驻值条件:位移有非零解得：位移有非零解得：PlABkBEI=单自由度体系也可由单自由度体系也可由=0解得：解得：第4页/共15页 总势能是位移总势能是位移的二次函数，的二次函数，1 1）Pk/l PUUUP P表表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢
6、复到原有平衡位置平衡位置)当当=0=0，为极小值为极小值0 0。对于稳定平衡状态，真实的位移使对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值为极小值2）Pk/l，当，当0，恒小于零（恒小于零（为负定）为负定）(即即UUP表示体系缺表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当。当=0，为极大值为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l，当，当为任意值时，为任意值时，恒等于零恒等于零(即即U=UP)。体系处体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载
7、Pcr=k/l。PPcrP=Pcr 结论：结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0，且位移有非零，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。对于多自由度体系，结论仍然成立。第5页/共15页Pkky1y2R1
8、=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2 2）能量法）能量法在新的平衡位在新的平衡位 置各杆端的相置各杆端的相 对水平位移对水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD D点的水平位移点的水平位移弹性支座应变能弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能荷载势能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl体系总势能体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻势能驻 值条件值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的计算步骤同
9、静力法以后的计算步骤同静力法能量法步骤能量法步骤:给出新的平衡形式给出新的平衡形式;写出写出总势能表达式总势能表达式;建立势能驻建立势能驻值条件值条件;应用位移有非零解应用位移有非零解的条件的条件,得出特征方程得出特征方程;解解出特征值出特征值,其中最小的即临界其中最小的即临界荷载荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。第6页/共15页PPllABCk例例2 2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1 1、静力法、静力法：两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失
10、稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线第8页/共15页2 2、能量法：、能量法：外力势能：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-k应变能：应变能：总势能：总势能：根据势能驻值条件：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。以下计算同静力法。第9页/共15页例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取两个自由度，取1 1
11、2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP第10页/共15页例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。第11页/共15页P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度，取两个自由
12、度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC第12页/共15页1-1P例例4 4：用能量法求图示体：用能量法求图示体系的临界荷载。系的临界荷载。EIEI=两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。由位移参数不全为由位移参数不全为零得稳定方程：零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：第13页/共15页Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求 EI=1 1、正对称失稳取半刚架如图：、正对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。PAlllBCDC1qk02 2、反对称失稳取半刚架如图：、反对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。C)(21qq+k0C第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页