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1、结构力学稳定理论课件现在学习的是第1页，共16页稳定计算最基本最稳定计算最基本最重要的方法重要的方法静力法静力法：考虑：考虑临界状态临界状态的静力特征。的静力特征。（平衡形式的二重性）（平衡形式的二重性）能量法能量法：考虑：考虑临界状态临界状态的能量特征。的能量特征。（势能有驻值，位移有非零解）（势能有驻值，位移有非零解）PlABk要点是利用临界状态平衡形式的二要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，由此求的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载。临界荷载。l=0，原始平衡原始平衡0，新平衡形式新平衡形式特征方程（稳定方程
2、）特征方程（稳定方程）临界荷载临界荷载MA=k 确定体系变形形式确定体系变形形式(新的平衡形式新的平衡形式)的独立位移的独立位移参数的数目即稳定体系的参数的数目即稳定体系的自由度自由度.PAB转动刚转动刚度系数度系数k kBEI=1 1、静力法、静力法 对对于于具具有有n n个个自自由由度度的的结结构构，新新的的平平衡衡形形式式需需要要n n个个独独立立的的位位移移参参数数确确定定，在在新新的的平平衡衡形形式式下下也也可可列列出出n n个个独独立立的的平平衡衡方方程程，它它们们是是以以n n个个独独立立的的位位移移参参数数为为未未知知量量的的齐齐次次代代数数方方程程组组。根根据据临临界界状状态
3、态的的静静力力特特征征，该该齐齐次次方方程程组组除除零零解解外外（对对应应于于原原有有平平衡衡形形式式），还还应应有有非非零零解解（对对应应于于新新的的平平衡衡形形式式），故故应应使使方方程程组组的的系系数数行行列列式式为为零零，D D=0=0即即为为稳稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载P Pcrcr。现在学习的是第2页，共16页 例例1 1：图示体系中：图示体系中ABAB、BCBC、CDCD各杆为刚性杆。使用两种方各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/
4、lYD=Py2/l解：解：1 1）静力法）静力法设变形状态设变形状态 求支座反力求支座反力列变形状态列变形状态 的平衡方程的平衡方程（a）如果系数行列式如果系数行列式=0=0y1y1，y2y2不为零，对应不为零，对应新的平衡形式新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。对称问题可利用对称性做。P现在学习的是第3页，共16页2 2、能量法、能量法静力法对静力法对等截面压杆等截面压杆的稳定分析较为简单，而对的稳定分析较为简单，而对变截面杆变截面杆、有、有轴向分布荷载轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。作用的杆就较为麻烦。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。
5、刚性小球运动稳刚性小球运动稳定性与能量的关系定性与能量的关系设静止点设静止点A、B、C点点=0ABCA点为稳定平衡，偏点为稳定平衡，偏离离A点点其势能其势能将增加，故知稳定将增加，故知稳定平衡位置的势能为平衡位置的势能为最小最小。B点为随遇平点为随遇平衡，偏离衡，偏离B点点=势能不变。势能不变。C点为不稳定平衡，偏点为不稳定平衡，偏离离C点点其势能将减其势能将减小，故知不稳定平衡位置小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。的势能为最大。现在学习的是第4页，共16页 对对 于于 弹弹 性性 变变 形形 体体 系系，其其 稳稳 定定 性性 与与 能能 量量 的的 关关 系系 与与 刚刚 性性 小小 球
6、球 情情况况 相相 似似。设设 原原 始始 平平 衡衡 状状 态态 为为 零零 势势 能能 点点，让让 体体 系系 微微 小小 偏偏 移移，荷荷 载载在位移上做功在位移上做功W（外力势能（外力势能UP=W）使体系偏移，内力在变形上产生）使体系偏移，内力在变形上产生变性能变性能U，使体系恢复原位置。总势能，使体系恢复原位置。总势能=U+UP即总势能的增量即总势能的增量。如总势能如总势能=U+UP 0（0），体系能），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能如总势能=U+UP=0（=0），体系能），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能
7、如总势能=U+UP 0（0），体系不），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。能恢复原位置，平衡是不稳定的。用能量法求临界荷载，依据于临界状态的用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即=0或：=0 （单自由度体系）（用于多自由度体系）PlABklMA=kPABBEI=0现在学习的是第5页，共16页弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理：对于弹性体系，对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）
8、使结构的势能移）使结构的势能为驻值，即：为驻值，即：=0,=应变能应变能U+外力势能外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k弹性应变能弹性应变能荷载势能荷载势能:应用势能驻值条件应用势能驻值条件:位移有非零解得：位移有非零解得：PlABkBEI=单自由度体系也可由单自由度体系也可由=0解得：解得：现在学习的是第6页，共16页 总势能是位移总势能是位移的二次函数，的二次函数，1 1）Pk/l PUUUP P表示体系具表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当当=0=0，为极小值为极小
9、值0 0。对于稳定平衡状态，真实的位移使对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值为极小值2）Pk/l，当，当0，恒小于零（恒小于零（为负定）为负定）(即即UUP表示体系缺少足够表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当。当=0，为为极大值极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l，当，当为任意值时，为任意值时，恒等于零恒等于零(即即U=UP)。体系处体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。PPcrP=Pcr 结论：结论：1）当
10、体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0，且位移有非零，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。对于多自由度体系，结论仍然成立。现在学习的是第7页，共16页Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=
11、Py2/lABCD2 2）能量法）能量法在新的平衡位在新的平衡位 置各杆端的相置各杆端的相 对水平位移对水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD D点的水平位移点的水平位移弹性支座应变能弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能荷载势能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl体系总势能体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻势能驻 值条件值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的计算步骤同静力法以后的计算步骤同静力法能量法步骤能量
12、法步骤:给出新的平衡形式给出新的平衡形式;写出写出总势能表达式总势能表达式;建立势能驻建立势能驻值条件值条件;应用位移有非零解应用位移有非零解的条件的条件,得出特征方程得出特征方程;解解出特征值出特征值,其中最小的即临界其中最小的即临界荷载荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。现在学习的是第8页，共16页PPllABCk例例2 2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1 1、静力法、静力法：两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如
13、图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线现在学习的是第10页，共16页2 2、能量法：、能量法：外力势能：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-k应变能：应变能：总势能：总势能：根据势能驻值条件：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。以下计算同静力法。现在学习的是第11页，共16页例例3：用静力法求图：用静力法求图示体系的临界荷载。示体系的临界荷载。两个
14、自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP现在学习的是第12页，共16页例例3：用能量法求图示体：用能量法求图示体 系的临界荷载。系的临界荷载。两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。现在学
15、习的是第13页，共16页P例例4：用静力法求图示体：用静力法求图示体系的临界荷载。系的临界荷载。EI=两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC现在学习的是第14页，共16页1-1P例例4 4：用能量法求图示体：用能量法求图示体系的临界荷载。系的临界荷载。EIEI=两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。由位移参数不全为由位移参数不全为零得稳定方程：零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：现在学习的是第15页，共16页Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求利用对称性求 EI=1 1、正对称失稳取半刚架如图：、正对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。PAlllBCDC1qk02 2、反对称失稳取半刚架如图：、反对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。C)(21qq+k0C现在学习的是第16页，共16页