矢量分析基础.pptx

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1、 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为：其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小；为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；1.1 矢量代数矢量代数1.1.1 标量和矢量标量和矢量 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量(电压电压U、电荷量、电荷量Q、能量、能量W等）等）矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量的代数表示 说明：说明：

2、矢量书写时，矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材上的。教材上的矢量符号即采用印刷体。矢量符号即采用印刷体。第1页/共57页矢量用坐标分量表示zxy第2页/共57页1.1.2 矢量代数运算矢量代数运算 矢量的加法和减法矢量的加法和减法矢量相加和相减可用矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解：说明：说明：矢量的加法符合矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律：矢量的加法矢量的减法第3页/共57页 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）

3、矢量的标积（点积）说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律：2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 3 3、q矢量 与 的夹角第4页/共57页 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律：2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 4 4、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式qsinABq矢量 与 的叉积3 3、第5页/共57页三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点三条相互正交曲线的交点来确定。来确定。三种常用的正交

4、坐标系为：三种常用的正交坐标系为：直角坐标系直角坐标系、圆柱面坐标系圆柱面坐标系和和球面球面坐标系坐标系。正交坐标系：正交坐标系：三条正交曲线组成、确定三维空间任意点位置的体三条正交曲线组成、确定三维空间任意点位置的体系；三条正交曲线称为系；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第6页/共57页1.2.1 直角坐标系直角坐标系位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（

5、平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第7页/共57页坐标变量：坐标变量：坐标单位矢量：坐标单位矢量：变化范围：变化范围：坐标变换关系：坐标变换关系：1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系第8页/共57页圆柱坐标系圆柱坐标系与与直角坐标直角坐标之间单位矢量的变换关系之间单位矢量的变换关系 ofxy单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系f第9页/共57页线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量位置矢量位置矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元第10页/共57页说

6、明：圆柱坐标系下矢量运算方法说明：圆柱坐标系下矢量运算方法加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：ABO第11页/共57页1.2.3 球坐标系球坐标系坐标变量：坐标变量：坐标单位矢量坐标单位矢量变化范围：变化范围：变换关系：变换关系：第12页/共57页 坐标单位矢量之间的关系 u球坐标系与圆柱坐标球坐标系与圆柱坐标u球坐标系与直角坐标球坐标系与直角坐标oqrz单位圆 柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq第13页/共57页线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元位置矢量位置矢量第14页/共57页说明：球面坐标系下矢量运算说明：球

7、面坐标系下矢量运算加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：ABO第15页/共57页课外学习实训课外学习实训 1试分析产生此试分析产生此悖论悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告。三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告。2、位于球坐标系下的位于球坐标系下的P点（点（1,30,90）处的矢量）处的矢量 ，利用直角坐标系可表示为：利用直角坐标系可表示为：1、已知圆柱坐标系下的点已知圆柱坐标系下的点 和和 ，试在圆，试在圆 柱坐标系下写出从柱坐标系下写出从 到到P 的矢量的矢量 与从与从P 到到 的矢量的矢量 第16页/共57页1

8、.3 标量场的梯度标量场的梯度1.1.标量场和矢量场标量场和矢量场q标量场标量场：物理量是为标量：物理量是为标量q矢量场：矢量场：物理量是矢量物理量是矢量q场的概念场的概念：物理量在空间区域上的一个确定分布：物理量在空间区域上的一个确定分布 例如：流速场例如：流速场、重力场重力场、电场、磁场等、电场、磁场等 例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。q场的表示方式场的表示方式q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。标量场：标量场：矢量场：矢量场：第17页/共57页2.2.标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量

9、场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线(面)第18页/共57页3.方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿

10、沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0M方向导数的概念 的方向余弦。的方向余弦。式中：式中：第19页/共57页特点：方向导数既与点方向导数既与点 M0 有关，也与有关，也与 方向有关。方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大在什么方向上变化率最大?最大的变化率为多少？最大的变化率为多少？梯度梯度第20页/共57页梯度的计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 4.标量场的梯度（或 ）意义：描述标量场在某点的最大变化率及描述标量场在某点的最大变化率及 其变化最大的方向其变化最大的方向概念：其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度

11、的概念 第21页/共57页 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率最大变化率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，且为标量场等值面，且为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影第22页/共57页梯度运算的基本公式：式中：式中：为常数；为常数；为坐标变量函数；为坐标变量函数；第23页/共57页 解解 (1)例例 1.3.1 设设 一一 标标 量量 函函

12、 数数 u(x,y,z)=x2 y2 z 描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求：(1)该该函函数数u 在在点点 P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数求该函数u 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。第24页/共57页 (2)而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即

13、最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。第25页/共57页1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.矢量线 意义：形象直观地描述了矢量场的空间形象直观地描述了矢量场的空间 分布状态分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线OM 第26页/共57页2.矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量

14、。的通量。如果如果 S 是闭合曲面，则是闭合曲面，则面积元矢量外法向单位矢量外法向单位矢量第27页/共57页若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源；若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源负源；若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：第28页/共57页3.矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场

15、空间中任意点在场空间中任意点M 处作一个包围处作一个包围体积元 的闭合曲面闭合曲面S，定义场矢量定义场矢量 在在M 点处的散度为：点处的散度为：矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性(体密度体密度)；说明说明 (正源正源)(负负源源)(无源）无源）第29页/共57页 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场，为源密度为源密度 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐

16、标系散度的计算公式第30页/共57页 直角坐标系下散度表达式的推导 则穿过前、后两侧面的净通量值为则穿过前、后两侧面的净通量值为取包围取包围P点的微体积元点的微体积元 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP同理，求出穿过另两组侧面的净通量，并合成之，即得同理，求出穿过另两组侧面的净通量，并合成之，即得根据定义，得根据定义，得第31页/共57页散度的有关公式散度的有关公式：第32页/共57页4.散度定理（矢量场的高斯定理）体积的剖分VS1S2en2en1S意义：意义：矢量场穿过空间任意矢量场穿过空间任意闭合曲面闭

17、合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的通量等于该闭合曲面所包围体积体积中矢量场的散度的体积分。中矢量场的散度的体积分。散度定理是散度定理是闭合曲面闭合曲面积分与积分与体体积分之间的一个变换关系。积分之间的一个变换关系。说明：说明：如何证明？如何证明？应用散度定理要注意条件：必须是封闭曲面 的各分量具有一阶连续 偏导数第33页/共57页1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1.矢量场的环流流速场流速场电流的磁场电流的磁场磁感应线第34页/共57页环流的概念 矢量场沿有向闭合曲线矢量场沿有向闭合曲线L的线积分称的线积分称为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线L的环流，即的环流，即 环量的

18、定义环量的定义环流意义环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。场的漩涡源。第35页/共57页称为称为矢量场在矢量场在点点M 处处沿方向沿方向 的环流面密度。的环流面密度。定义定义：2.环流面密度环流面密度说明：说明：环流面密度环流面密度 是是 在在M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度在空间任一点M处以 为法向矢量做一面积元 ，则环流面密度环流面密度 与与面元方向面元方向 有关。有关。的定义的定义第36页/共57页而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。直角坐标系中 、的表达式oyDz DyLMzx1234

19、计算计算 的示意图的示意图 第37页/共57页于是于是 同理可得同理可得故得故得第38页/共57页概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即元的法线方向，即3.矢量场的旋度矢量场的旋度说明：说明：矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度若若 处处成立，则称其为处处成立，则称其为无旋场无旋场

20、若若 ，则称其为，则称其为有旋场有旋场，为为漩涡源密度漩涡源密度矢量矢量 第39页/共57页旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第40页/共57页旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零第41页/共57页4.斯托克斯定理曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消意义：意义：矢量场沿任意矢量场沿任意闭合曲线闭合曲线的环流的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的线所围的曲面曲面的通量。的通量。说明：说明：斯托克斯斯托克斯定理是定理是闭合曲线闭合曲线积分积分与与曲面曲面积分之间的一个变换关积分之间的一个变

21、换关系式。系式。如何证明？如何证明？第42页/共57页散度和旋度的比较 第43页/共57页1.6 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第44页/共57页 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：第45页/共57页2.格林定理 标量第一格林定理标量第一格林定理SV,式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为表面为表面S 的外

22、法向矢量的外法向矢量标量第二格林定理标量第二格林定理：第46页/共57页1.7 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在以在以 S 为边界的有限区域为边界的有限区域 V 内，内，任意矢量场由其在区域任意矢量场由其在区域V内的内的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件（即矢量场在有限区（即矢量场在有限区域边界上域边界上 S 的分布）的分布）唯一唯一确定，且可确定，且可表示为：表示为：式中式中：1.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理有界区域有界区域V第47页/共57页无界空间（无界空间（不存在边界面不存在边界面）亥姆霍兹定理表明：亥姆霍兹定理表明：在在无界区域无界区域，矢量场可由其，矢量场可由其散度散度及及旋度旋度确定

23、。确定。在在有界区域有界区域，矢量场不但与该区域中的，矢量场不但与该区域中的散度散度和和旋度旋度有关，有关，还与区域还与区域边界边界上矢量场有关。上矢量场有关。已知已知矢量矢量F 的通量源密度的通量源密度矢量矢量 F 的旋度源密度的旋度源密度场域场域 边界条件边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场的散度电、磁场的散度电、磁场的旋度电、磁场的旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。第48页/共57页2.矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。无旋场可以用标量场的梯度表示，即无旋场可以用标量场

24、的梯度表示，即例如例如：静电场：静电场标量位函数标量位函数第49页/共57页（2）无散场）无散场 性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如例如，恒定磁场，恒定磁场标量位函数标量位函数第50页/共57页（3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第51页/共57页内容总结内容总结场的基本概念场的基本概念三个坐标系三个坐标系三个度三个度两个转换两个转换(公式公

25、式)两个恒等式两个恒等式一个运算一个运算两个定理两个定理场基本方程的微分和积分形式场基本方程的微分和积分形式场点和源点的梯度关系场点和源点的梯度关系第52页/共57页哈密顿算符：哈密顿算符：梯度：梯度：散度：散度：旋度：旋度：斯托克斯定理斯托克斯定理散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）面-体积分转化：面-线积分转化：第53页/共57页梯度的旋度恒等于零：梯度的旋度恒等于零：旋度的散度恒等于零旋度的散度恒等于零:拉普拉斯运算：拉普拉斯运算：格林定理格林定理第一恒等式：第一恒等式：第二恒等式：第二恒等式：第54页/共57页场基本方程的微分形式：场基本方程的微分形式：场基本方程的积分形式：场基本方程的积分形式：亥姆霍兹定理：只要一个矢量场的散度和旋度处处是已知的，那么就可以惟一地求出这个矢量场场点和源点的梯度关系：场点和源点的梯度关系：第55页/共57页练练 习习 题题1.5,1.9 1.11,1.12,1.16,1.18 1.20,1.23,1.27 第56页/共57页感谢您的观看！第57页/共57页