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1、1.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。第1页/共51页矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy第2页/共51页（1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律
2、2.2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律第3页/共51页（2 2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量 与 的夹角第4页/共51页（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若 ，则若 ，则第5页/共51页（5 5）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第6页/共51页 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空
3、间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系z zx xy y第7页/共51页 1.1.直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量 点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第8页/共51页坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元2.2.圆柱坐
4、标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系 第9页/共51页坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元3.3.球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系 第10页/共51页直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ofxy单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆 柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系qq4.4.坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系第11页/共51页q如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为矢量
5、场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为时变场时变场。确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场场。标量场和矢量场标量场和矢量场1.3 标量场的梯度标量场的梯度第12页/共51页时变标量场和矢量场可分别表示为：从数学上数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态标量场和矢量场可分别表示为：1.3 标量场的梯度标量场的梯度第13页/共51页1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空 间形成
6、的曲面。等值面方程等值面方程：常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。标量场的等值线(面)第14页/共51页意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿 方向增加；u(M)沿 方向减小；u(M)沿 方向无变化。M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点M0有关，也与 方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。式中：2.2.方向导数方向导数方向导数方向导数第15
7、页/共51页梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系 球坐标系直角坐标系 意义意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：，其中 取得最大值的方向3.3.标量场的梯度（标量场的梯度（标量场的梯度（标量场的梯度（gradgradu u或或或或 ）第16页/共51页标量场的梯度是矢量场矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于垂直于通过该点的等值面（或切平面）梯度的性质梯度的性质梯度的性质梯度的性质第17页/共51页解
8、解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 设一标量函数 (x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。求：(1)该函数 在点 P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。例例 1.2.11.2.1第18页/共51页表征其方向的单位矢量 (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为方向的方向导数为第19页/共51页而该点的梯度值为 显然，梯度 描述了P P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成
9、立。对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为第20页/共51页 1.1.矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。矢量线矢量线OM 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度第21页/共51页问题问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量的概念通量的概念其中：面积元矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元 的通量。如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量2.2.矢量场的通量矢量场的通量矢量场的通量矢量
10、场的通量第22页/共51页通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第23页/共51页 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。3.3.矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度第24页/共51页圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散
11、度的有关公式散度的有关公式：散度的表达式散度的表达式散度的表达式散度的表达式第25页/共51页 由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为 不失一般性，令包围P点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导第26页/共51页 根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为第27页/共51页体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量
12、场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。4.4.散度定理散度定理散度定理散度定理第28页/共51页1.1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度第29页/共51页 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即 上式建立了磁场的环流与电
13、流的关系。磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第30页/共51页q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称为保守场保守场。矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环流的概念环流的概念环流的概念环流的概念第31页/共51页 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量
14、场的旋度。（1 1 1 1）环流面密度）环流面密度称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度环流面密度。特点特点：其值与点M 处的方向 有关。过点M 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限2.2.矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度第32页/共51页而 推导 的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算 的示意图 直角坐标下旋度分量的表达式直角坐标下旋度分量的表达式直角坐标下旋度分量的表达式直角坐标下旋度分量的表达式第33页/共51页于是 同理可得故得第34页/共51页概念概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其
15、数值为M 点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。性质性质：（2 2 2 2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第35页/共51页 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系旋度的计算公式旋度的计算公式旋度的计算公式旋度的计算公式第36页/共51页矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零旋度的有关公式旋度的有关公式旋度的有关公式旋度的有关公式第37页/共51页 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小
16、相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即3.3.斯托克斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理第38页/共51页4.4.散度和旋度的区别散度和旋度的区别散度和旋度的区别散度和旋度的区别第39页/共51页1.1.矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，
17、在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第40页/共51页（1）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场2.2.矢量场按源的分类矢量场按源的分类矢量场按源的分类矢量场按源的分类第41页/共51页（2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场第42页/共51页（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场
18、部分第43页/共51页1.1.拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系球坐标系1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理第44页/共51页 矢量拉普拉斯运算概念概念：即注意注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：第45页/共51页 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式：根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 方向上的偏导数。2.2.格林定理格林定
19、理格林定理格林定理第46页/共51页基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。第47页/共51页 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。第48页/共51页亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 式中：亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第49页/共51页有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。The End第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页