矢量分析和场论基础.pptx

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1、1.1 标量和矢量标量和矢量1.2 矢量的运算矢量的运算1.3 标量场和矢量场标量场和矢量场1.4 特殊正交曲线坐标系特殊正交曲线坐标系1.5 场论场论1.6 拉普拉斯算子拉普拉斯算子1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理电磁场的分类和亥姆霍兹定理第1页/共65页1.1 标量和矢量标量和矢量矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理。念和定理。标量标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量，是指用单一数量就可以完整描述的物理量，比如比如质量质量、时间时间、温度温度和和功功等。

2、等。在在本本教教材材中中用用粗粗正正体体字字母母表表示示矢矢量量，比比如如矢矢量量A可以写成可以写成(1-1)矢量是指既有大小又有方向的物理量，比如力、电场和磁场等。单位矢量作业要求写成：作业要求写成：第2页/共65页1.2.1直角坐标系中矢量的表示直角坐标系中矢量的表示1.2 矢量的运算矢量的运算图1-2 直角坐标系中 矢量的描述 图1-1 矢量表示 在直角坐标系中，矢量在直角坐标系中，矢量A可写为可写为(1-6)其中其中矢量常用带箭头的线段表示矢量常用带箭头的线段表示(1-3)第3页/共65页1.2.2矢量的运算矢量的运算1.矢量加法矢量加法(1-7)(1-8)式中式中矢量满足结合律和交换

3、律，即(1-9)(1-10)第4页/共65页2.矢量的标积矢量的标积(1-11)图图1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积 矢量的标积是一个数量，并满足交换律、分配律和数乘，即(1-12)(1-13)(1-14)坐标表示为(1-15)矢量投影为：矢量投影为：第5页/共65页3.矢量的矢积矢量的矢积(1-17)式中式中 n 是一垂直于由矢量是一垂直于由矢量 A 和和 B 构成的平面的单位矢量，并遵循构成的平面的单位矢量，并遵循右手螺旋法则，见图右手螺旋法则，见图1-3。矢量的矢积不满足交换律：矢量的矢积不满足交换律：(1-18)矢积满足分配律和数乘，即矢积满足分配律和数乘，即图图1-3 矢量的

4、标积和矢积矢量的标积和矢积(1-20)(1-19)第6页/共65页矢量矢积的坐标表示为矢量矢积的坐标表示为(1-23)或简记为或简记为 利用利用 exey=ez，eyez=ex，ezex=ey exex=eyey=ezez=0 可直接证明。可直接证明。矢量恒等式(1-24)(1-25)第7页/共65页例例 1.1 计算由矢量计算由矢量A、B和和C构成的平行六面体的构成的平行六面体的体积，矢量体积，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。解解 平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式第8页/共65页例例

5、1.2 给定三个矢量给定三个矢量 A=ex+2ey-3ez,B=-4ey+ez,C=5ex-2ey，试求试求 和和 。解解第9页/共65页1.3 标量场和矢量场标量场和矢量场 从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是标量场标量场或或矢量场矢量场。图1-4 温度场分布示意图 图1-5 电场分布示意图 如果物理量仅随空间点而变化，不随时间变化，这种场称之为静态场，否则，称之为动态场或时变场。第10页/共65页1.4.1直角坐标系直角坐标系1.4 特殊正交曲线坐标系特殊正交曲线

6、坐标系直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直线称为线称为X、Y和和Z轴，三个单位矢量轴，三个单位矢量 ex、ey 和和 ez相互相互垂直，分别表示垂直，分别表示X、Y和和Z轴的方向。轴的方向。1.位置矢量 如图1-6所示。图1-6 位置矢量 第11页/共65页2.距离矢量 如图1-7所示。距离大小 图1-7 距离矢量 第12页/共65页体微分元 面微分元 线微分元 图1-8 面微分元和体微分元 图1-9 线微分元 3.体、面和线微分元 第13页/共65页1.4.2圆柱坐标系圆柱坐标系图1-10 圆柱坐标与坐标对应的单位矢量为()三者相互垂直，服

7、从右手法则。为位置矢量 r 在 X-Y 平面上投影的大小；为XOZ平面与POZ平面之间的夹角，逆时针方向正;z 是r 在 Z 轴上的投影。注意注意和和 是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数1.位置矢量 式中，式中，对于任意的对于任意的r，第14页/共65页2.直角坐标与柱坐标之间的关系取值范围 图1-10 圆柱坐标图1-11 柱坐标系的三个正交面 柱坐标的三个正交面如图柱坐标的三个正交面如图1-11所示所示第15页/共65页图1-12 面微分元和体微分元图1-13 线微分元 3.体、面和线微分元 面微分元 线微分元 体微分元 第16页/共65页4.单位矢量的变换 图1-14 单位矢量之间的变换

8、矩阵形式 逆变换 任意矢量的变换(1-47)同理，已知直角坐标系的分量表达式，利用其逆变换可得柱坐标下的分量表达式。第17页/共65页1.4.3球坐标系球坐标系r 为位置矢量为位置矢量 r 的大小，的大小，图1-15 球坐标1.位置矢量 与坐标对应的单位矢量为与坐标对应的单位矢量为()，三者相互，三者相互垂直，并服从右手法则。垂直，并服从右手法则。在球坐标系下，都是空间坐标点的函数。是位矢是位矢r与正与正Z轴之间的夹角，轴之间的夹角，是是X轴正向与位矢轴正向与位矢r在在XY平面平面上的投影之间的夹角。上的投影之间的夹角。对于任意的对于任意的r，第18页/共65页2.直角坐标与球坐标之间的关系（

9、见图1-1516）。图1-15 球坐标图1-16 球坐标系的三个正交面 第19页/共65页体微分元 面微分元 线微分元 图1-17 面微分元和体微分元图1-18 线微分元3.体、面和线微分元 第20页/共65页4.单位矢量的变换 5.任意矢量的变换(c)的投影。图1-19 球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换(b)的投影(a)的投影第21页/共65页例例 1.3 在圆柱坐标系中一点的坐标为在圆柱坐标系中一点的坐标为 =4,2/3,3，试求该点分别在直角坐标系和球坐标，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。系中的坐标。解解 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利

10、用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得第22页/共65页例例 1.4 在柱坐标系中点在柱坐标系中点 P(3,/6,5)有一矢量有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一点，在另一点Q(4,/3,3)有一矢量有一矢量 B=，在点，在点 S(2,/4,4)处有矢量处有矢量 C=A+B，试求，试求C矢量。矢量。解解 显然显然A和和B两矢量不在同一两矢量不在同一 =常数的平面上，常数的平面上，在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。P点矢量点矢量A的直角坐标表

11、示为的直角坐标表示为 第23页/共65页同理，同理，Q点矢量点矢量B的直角坐标表示为的直角坐标表示为于是得于是得再将再将C变换到柱坐标系中点变换到柱坐标系中点S(2,/4,4)处的矢量处的矢量第24页/共65页1.5 场论场论1.5.1数量场的等值面和矢量场的矢量线数量场的等值面和矢量场的矢量线1.数量场的等值面 场的整体性描述：场的整体性描述：标量场 u 的等值面方程 场的局部特性描述：等值面、等值线和矢量线标量场，方向导数和梯度；矢量场，散度和旋度。第25页/共65页图1-20 标量场的等值面 同理，如果标量场是二维函数，同理，如果标量场是二维函数，令令u(x,y)=c 得到等值线。得到等

12、值线。比如地形图上的比如地形图上的等高线等高线，地面气象图上的，地面气象图上的等温线等温线、等压线等压线等，都是平面标量场等值线的例子。等，都是平面标量场等值线的例子。常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。等值面的特点：第26页/共65页2.矢量场的矢量线 直角坐标表示直角坐标表示:概念：概念：矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上。量场的方向都在该点的切线方向上。图1-21 矢量场的矢量线 静电场的电场线静电场的电场线、磁场的磁场磁场的磁

13、场线线和和流速场的流线流速场的流线等都是矢量线等都是矢量线的例子。的例子。意义：意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。第27页/共65页共线矢量共线矢量 dr 与与 A(x,y,z)满足满足或或(1-64)此即矢量线所满足的微分方此即矢量线所满足的微分方程组。求解该方程组可得一矢程组。求解该方程组可得一矢量线族；矢量线通常互不相交。量线族；矢量线通常互不相交。假设假设 P(x,y,z)为矢量线上任一点，则过点为矢量线上任一点，则过点 P 沿矢沿矢量线的位移元量线的位移元 dr 与矢量与矢量 A(x,y,z)共线。共线。矢量线方程：图1-21 矢量场的

14、矢量线第28页/共65页求解该微分方程，得到矢量线方程为可见，该矢量场的矢量线为同心圆，见图1-22。图1-22 二维场的矢量线例例 1.5 有一二维矢量场有一二维矢量场 F(r)=-yex+xey，求矢量线，求矢量线方程，并定性画出该矢量场的图形。方程，并定性画出该矢量场的图形。解解 由场的表达式可知，由场的表达式可知，Fx=-y，Fy=x，则根据式，则根据式（1-64）可得到矢量线的微分方程为）可得到矢量线的微分方程为第29页/共65页1.5.2标量场的梯度和方向导数标量场的梯度和方向导数标量场u(x,y,z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示，图1-23 方向导数和梯度P点到Q点的

15、位移元为(1-65)两边同除以 dl，得到标量场u(x,y,z)在P点沿dl 方向的方向导数1.梯度的定义及其方向导数梯度的定义及其方向导数根据全微分定义(1-65)第30页/共65页设位移元 dl 的方向余弦为 ，即 所以方向导数表示为其中u的梯度dl的单位矢量第31页/共65页引入梯度算子 由 u的梯度表示为可知 当al与G平行时，方向导数 取得最大值|G|。梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。梯度矢量 的的物理意义所以第32页/共65页梯度在柱坐标系下的表达式 梯度在球坐标系下的表达式 2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 梯度在直角坐

16、标系下的表达式 第33页/共65页梯度运算的基本公式：第34页/共65页例例1.6 求标量函数求标量函数u(x,y,z)=x2yz的梯度，并求在空的梯度，并求在空间坐标点间坐标点P(2,3,1)处，沿方向处，沿方向 的方向导数。的方向导数。解解代入代入P点的空间坐标点的空间坐标(2,3,1)，得方向导数值为，得方向导数值为 第35页/共65页补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：第36页/共65页1.5.3矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.通量的定义通量的定义 图1-24 通量定义 如图，矢量场如图，矢量场A=A(x,y,z)在有在有向曲面向曲面S上的通量定义为上的通量

17、定义为 面元面元dS的法向的法向n与张着与张着S的环线的环线L满足右手螺旋关系。满足右手螺旋关系。在直角坐标系中在直角坐标系中第37页/共65页对闭合曲面对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为取外法向为正，总通量表示为 矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入描述，要描述每一点的情况，需引入散度散度的概念。的概念。通量计算存在三种情况通量计算存在三种情况1)1)00，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源正源2)2)00，表明，表明M点有发出矢量线的正源；点有发出矢量线的正源；如果如果

18、divA0，表明，表明M点有吸收矢量线的负源；点有吸收矢量线的负源；如果如果divA=0，表明，表明M点无源，矢量线在该点连续。点无源，矢量线在该点连续。第39页/共65页4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 球坐标系下的表达式 3.散度在直角坐标系下的表达式 柱坐标系下的表达式 第40页/共65页散度的有关公式：第41页/共65页5.高斯散度定理高斯散度定理如图，矢量场场如图，矢量场场A(x,y,z)的散度在体积的散度在体积V上的三重积上的三重积分等于矢量场分等于矢量场A(x,y,z)穿过包围穿过包围V 的闭合曲面的闭合曲面S的通的通量，即量，即图1-26 高斯定理物理意义 V内的通量源总

19、和与穿过S的总通量相等。或第42页/共65页例例1.7 设有一矢量场设有一矢量场 ，（1）求该矢量场的散度；（）求该矢量场的散度；（2）取中心在原点的一）取中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。体表面的积分，验证散度定理。解（1）（2）A对中心在原点的单位立方体的积分为 第43页/共65页矢量矢量A对单位立方体表面的积分为对单位立方体表面的积分为可见，散度定理成立。可见，散度定理成立。第44页/共65页补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：第45页/共65页如图，式中如图，式中L是空间

20、有向闭合曲是空间有向闭合曲线，线，dl是曲线是曲线L上的线微分元，上的线微分元，是在空间点是在空间点P处矢量处矢量A与与dl的夹的夹角。角。1.5.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度环量的定义环量的定义 A(x,y,z)沿闭合曲线沿闭合曲线L的曲线积分称为沿的曲线积分称为沿L的环量，的环量，即即 环量描述了环量描述了L内的总涡旋源。内的总涡旋源。图1-27 矢量场的环量 第46页/共65页旋度的定义为了定义旋度，首先考察为了定义旋度，首先考察环环量密度量密度，即单位面积的环量，即单位面积的环量显然，对于给定矢量场A，环量密度的大小与所取面元S的方向n有关，如图1-29 所示。图1-29

21、(a)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元S的方向垂直；(b)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元S的方向夹角为；(c)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元S的方向同方向。第47页/共65页可以看出，当面元可以看出，当面元S沿某特定方向沿某特定方向n时，环量密度将时，环量密度将取得最大值；定义该最大值与取得最大值；定义该最大值与n之积构成的矢量称为之积构成的矢量称为矢量场矢量场A的旋度，记作的旋度，记作rotA或或 ，即，即 物理意义 矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。第48页/共65页柱坐标系下的表达式 球坐标系下的表达

22、式 旋度在直角坐标系下的表达式 第49页/共65页斯托克斯定理 旋度不为零的场是有旋场，如旋度不为零的场是有旋场，如磁场、流速场磁场、流速场等。等。物理意义物理意义 斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中矢量旋度的面积分。式中dS的方向与的方向与dl的方向成右的方向成右手螺旋关系。手螺旋关系。第50页/共65页例 1.8 设有一平面流速场其流线的分布如图1-32所示，图中有些流线是闭合曲线。如果取闭合积分回路L与闭合流线重合，计算流速环量图1-32 平面流速

23、场 显然，积分结果不等于零，表明对于这样的流速场，流体的运动具有涡旋性。第51页/共65页旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零第52页/共65页课堂作业课堂作业（1）标量场的梯度构成的矢量场是无旋场；）标量场的梯度构成的矢量场是无旋场；（2）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。证明：即 证明数学恒等式（参见例1.11和例1.12）（95）（93）第53页/共65页补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：第54页/共65页一、标量拉普拉斯运算 拉普拉斯算子直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系概念：1.6 拉普拉斯算子

24、拉普拉斯算子第55页/共65页二、矢量拉普拉斯运算概念：直角坐标系 拉普拉斯方程如果矢量场A的拉普拉斯为零，即必然有每个分量的拉普拉斯为零，调和函数第56页/共65页1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理电磁场的分类和亥姆霍兹定理根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不同组合，可将场分为四种类型，不同类型的电磁场同组合，可将场分为四种类型，不同类型的电磁场问题，求解的方法也各有差异。问题，求解的方法也各有差异。第一类场第一类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 ，进而求解，进而求解u的拉普拉的拉普拉斯方程斯方程 而得解。而得解。第二类场第

25、二类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 和和 ，进而求，进而求解解u的泊松方程的泊松方程 而得解。而得解。第57页/共65页第三类场第三类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 和和 ，进而求，进而求解解G的泊松方程的泊松方程 而得解。而得解。第四类场第四类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可分解为无散场可分解为无散场G和无旋场和无旋场H来求解，即来求解，即通过令通过令 ，其中，其中G和和H分别满足分别满足类似与第二、三类场的分析，必存在类似与第二、三类场的分析，必存在u和和F，满足，满足因而因而第58页/共65页若矢量场若矢量场 A 在无限空间中处处单值，且其导数连续在

26、无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场旋度唯一地确定，并且矢量场 A 可表示为一个标量可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 即该矢量场必然由相应的标量源即该矢量场必然由相应的标量源 和矢量源和矢量源J产生：产生：可见，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无可见，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和；矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场散场之和；矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。的首要问题。第5

27、9页/共65页对于在介质不连续的边界上，描述矢量场基本方程的微分形式失去意义，必须从矢量场的通量和环量去研究，即 上式称为矢量场基本方程的积分形式，根据该方上式称为矢量场基本方程的积分形式，根据该方程可得到相关矢量场的边界条件。程可得到相关矢量场的边界条件。第60页/共65页第一章第一章 小结小结一、标量和矢量一、标量和矢量二、矢量的运算二、矢量的运算三、三、标量场和矢量场标量场和矢量场直角坐标系直角坐标系四、特殊正交曲线坐标系四、特殊正交曲线坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第61页/共65页五、场论五、场论1、数量场的等值面和矢量场的矢量线、数量场的等值面和矢量场的矢量线2、标量场的梯度和方向导数、标量场的梯度和方向导数3、矢量场的通量和散度、矢量场的通量和散度第62页/共65页4、矢量场的环量和旋度、矢量场的环量和旋度数学恒等式第63页/共65页1、标量拉普拉斯运算六、拉普拉斯算子六、拉普拉斯算子2、矢量拉普拉斯运算七、电磁场的分类和亥姆霍兹定理七、电磁场的分类和亥姆霍兹定理1、2、3、4、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页