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1、一、极限与连续 1.求极限无理函数的极限有理化例1 求极限解 第1页/共178页第2页/共178页例2 求极限解 第3页/共178页两个基本极限变形:变形:类型:第4页/共178页例3 求极限解 第5页/共178页无穷小与等价无穷小基本等价无穷小当 时 第6页/共178页等价无穷小代换若 则 第7页/共178页例4 求极限解法则第8页/共178页例5 求极限解法则第9页/共178页例6 确定 使解 由条件得:从而极限为未定式.所以法则第10页/共178页由条件得:所以即:第11页/共178页例7 已知当 时,则 .解 因 而所以第12页/共178页 2.连续函数定义 函数 在点 处连续等价条件
2、函数 在 处连续间断点的分类.设 为 的间断点:则 为可去间断点;则 为跳跃间断点;存在,第一类;其余为第二类间断点.第13页/共178页 闭区间上连续函数的性质.最大值和最小值定理有界性定理零点定理介值定理第14页/共178页例8 设函数问当 为何值是,在 处连续,当 为何值时,是 的可去间断点.第15页/共178页解 左极限:右极限:第16页/共178页由条件:若函数连续,即即:可去间断点,即即:第17页/共178页例9 设函数 在 的某个邻域内有连续的二阶解 由条件得:得导数,且的一组 使得证明存在惟一第18页/共178页对上式由罗必达法则,得分别得到:及第19页/共178页因三阶行列式
3、:知方程的解是惟一的.第20页/共178页例10 设证明:使得证 令 分别为函数在 区间上的最小和最大值,即:则有:第21页/共178页由介值定理知:使得,从而有:第22页/共178页证2 令则 满足柯西中值定理的条件,且所以第23页/共178页第24页/共178页二、一元函数微分学 1.导数的定义及几何意义 导数定义变形:若则:第25页/共178页 几何意义 函数在一点的导数为对应的曲线在该点 的切线的斜率.切线方程:法线方程:可导与连续的关系:可导必连续.第26页/共178页例11 已知求:解 第27页/共178页例12 设 求 解 由函数的表达式知:函数在点 处连续,而在点当 时,处间断
4、.求出函数在各段的导数.第28页/共178页当 时,当 时,在点 处,所以,由此得:第29页/共178页第30页/共178页例13 设函数 在区间 上有定义,且满足:求 解 由条件得又:由夹逼定理得:所以当 时,第31页/共178页由夹逼定理得:所以当 时,即:第32页/共178页 2.导数计算导数的基本公式;求导法则:复合函数求导:设 为可导函数,则 第33页/共178页反函数求导:设 是函数 的反函数,则隐函数求导及对数求导法:由参数方程确定的函数的导数:设则第34页/共178页高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式:第35页/共178页例14 设 求解 两边取对数,得求导得:所以:第36页/共
5、178页例15 求由参数方程解 由求导公式得:所确定函数的二阶导数.第37页/共178页例16 求函数解 令由对数求导法得:所以的微分.第38页/共178页第39页/共178页 3.中值定理罗尔定理 设函数则存在 使得拉格朗日中值定理 设函数 且则至少存在一点 使得第40页/共178页柯西定理 如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,并且在开区间 内那么至少存在一点 使得 第41页/共178页例17 设函数 且证明存在 使得:证 由积分中值定理,存在 有令:则且 第42页/共178页由罗尔定理,知存在 使得又即有:第43页/共178页例18 设 且 若极限存在,证明在 内,在 内存在 使
6、得在 内存在与相异的 使第44页/共178页证 由条件极限存在及函数的连续性,得又得 是单调增加的.从而令则函数满足柯西定理条件,由定理得:使得 第45页/共178页即:第46页/共178页因在区间 中使用拉格朗日中值定理,存在再由,使得第47页/共178页即:第48页/共178页 3.罗必达法则基本类型变型变型法则:第49页/共178页例19 求极限解第50页/共178页例20 求极限解 作变换则 第51页/共178页例21 求极限解 作变换令 则 所以即第52页/共178页例22 求极限解 令则 再令则所以第53页/共178页例23 设 连续,记证明 为连续函数.证 当 时,为连续函数,当
7、 时,第54页/共178页第55页/共178页即:为连续函数.第56页/共178页 4.泰勒公式定理 如果函数 在含 的某个开区间 内具有直到 阶导数,即其中:那么对于有第57页/共178页这里,是 与 之间的某个值.当 时,上式为第58页/共178页例24 将 展开成 的多项式.解代入公式得第59页/共178页第60页/共178页例25 将型余项的泰勒公式.解所以在点处展开成带有佩亚诺第61页/共178页第62页/共178页 5.曲线形态讨论单调性研判及求单调区间;极值及极值的求法:极值存在的必要条件:可导的极值点为驻点.极值存在的第一充分条件:导函数在该点两侧异号,则该点为函数的极值点.极
8、值存在的第二充分条件:若函数 在点 处连续,若函数 在点 处满足:则该点为函数的极值点.第63页/共178页凹凸性的判定及求凹凸区间:若函数 满足:对区间上的所有点都有:则称函数 为区间 内的凸函数,如果对任意的及任意的 都有第64页/共178页则称函数为区间上的凹函数.前者所对应的曲线称为是下凸的,后者所对应的曲线判定 若函数 满足:则函数为凸函数,对应的曲线为下凸的;则函数为凹函数,对应的 若曲线在曲线上某点的两侧有不同的凹凸向,则该点成为是上凸的.曲线为上凸的.称为曲线的拐点.第65页/共178页渐进线 设曲线 若:则曲线有水平渐进线若:则曲线有垂直渐进线若:则曲线有斜渐进线第66页/共
9、178页例26 已知函数 求函数的单调区间和极值;函数的凹凸区间和拐点;渐进线.解 函数的定义域为 列表:第67页/共178页极小值在区间 内,曲线为上凸的;在区间 内,曲线是下凸的.曲线的拐点为第68页/共178页函数的极小值为因曲线有垂直渐进线:因 曲线有斜渐进线:第69页/共178页例27 证明当证 令则 且所以 是单调增加的.从而有时有:第70页/共178页故 是单调增加的.由此得 即:第71页/共178页 5.曲率与曲率半径 设曲线 则在点 处的曲率为参数方程情况下,曲率半径为第72页/共178页三、一元函数积分学 1.原函数与不定积分 若函数 满足:的原函数.则称 为函数 的原函数
10、的全体称为函数的不定积分.记为第73页/共178页例28 设 的原函数为 求解 由上式得:第74页/共178页 2.不定积分方法第一类换元积分法若则第75页/共178页第二类换元积分法注意四种常见类型和代换方式.第76页/共178页分部积分法第77页/共178页其它积分方法有理函数积分:部分分式法.三角函数积分:万能代换及特殊代换.第78页/共178页例29 求下列积分解第79页/共178页解第80页/共178页解第81页/共178页第82页/共178页解 第83页/共178页设求 解 令所以第84页/共178页解 令则 所以第85页/共178页第86页/共178页 2.定积分定积分的定义积分
11、上限函数及导数 设 为可导函数,记则:为可导函数,且第87页/共178页定积分积分方法NL公式若 为 的原函数,则换元积分法第88页/共178页分部积分法第89页/共178页定积分中的几个重要公式 设 则 设则:第90页/共178页设 是以 为周期的连续函数,则:第91页/共178页第92页/共178页例30 设求 解 所以第93页/共178页例31 求极限解 取区间为 则 为函数 在将区间等分后在小区间右端点的取值.即所以:第94页/共178页第95页/共178页例32 设证明:证 在区间分别使用拉格朗日定理,即有记 又 所以:第96页/共178页因第97页/共178页两式相加即有:第98页
12、/共178页例33 设证 因极限法则所以 与 是同阶但不是等价无穷小.当 时,与 是同阶的但不是等价无穷小.证:第99页/共178页例34 设 且单调增加,证明证由积分第一中值定理第100页/共178页又:第101页/共178页两式相加,得所以:第102页/共178页例35 求定积分解 函数 的零点为 所以第103页/共178页例36 设连续函数 满足:及 求解 令 则 当 时,有 变形后得:第104页/共178页求导后得:即因 作 上的积分,有第105页/共178页例37 求积分解第106页/共178页所以:第107页/共178页第108页/共178页例38 设 且求解 因定积分是常数,故设
13、所以:又:第109页/共178页所以:由此得:第110页/共178页例39 求正常数使得 解 因所以此时:第111页/共178页所以第112页/共178页例40 计算积分解 因故积分为定积分.又第113页/共178页而:所以:第114页/共178页同理,有所以第115页/共178页解2 所以:原积分为第116页/共178页例41 求积分解 第117页/共178页 3.定积分的几何应用面积计算直角坐标情形 设区域 由确定,则区域的面积为:第118页/共178页极坐标情形 设平面区域 由曲线 确定,则区域的面积为:第119页/共178页体积计算已知平行截面面积的体积计算 设有一物体位于 之间,任一
14、个垂直于 的平面与该物体相交的面积为 则该物体的体积为:第120页/共178页旋转体体积 设区域 由 围成,而区域 绕 旋转所得到的体积为:区域 绕 轴旋转得一旋转体,则体积为第121页/共178页弧长的计算 设曲线 方程为则曲线的弧 长为:参数方程情况:设曲线为:则:第122页/共178页极坐标情形:设曲线弧的极坐标方程为:则:第123页/共178页侧面积公式 设曲线 方程为旋转一周所得到的侧面积为:则曲线绕 轴极坐标情况:设光滑曲线:则 曲线绕极轴旋转一周所得到的侧面积为:第124页/共178页例42 求星形线围成图形的面 积,全长,绕 轴旋转一周所得到的体积及侧面积.解 面积 全长第12
15、5页/共178页旋转体体积侧面积:第126页/共178页例43 作半径为 的球外切正圆锥,问此圆锥的高 为多解 设底圆半径为 则有:即:少时,其体积最小,并求出该最小值.第127页/共178页得:由此:求导得:第128页/共178页令其为零,得由于极小值一定存在,所以当 时,取极小值,且极小值为第129页/共178页 4.物理应用功 物体作直线运动过程中受到变力 的作用,则 变力所作的功为:水压力引力第130页/共178页例44 某闸门的形状与大小入图所示,其中直线 为对称为 闸门矩形部分的高 解 闸门矩形部分所受到的水压轴,闸门的上部为矩形 下部为抛物线 与线段 围成,当水面与闸门的上端起平
16、时,欲使闸门矩形部分所承受的水压力与闸门下部所承受的水压力之比应为多少米?力为:第131页/共178页闸门下部所承受的水压力为:由题意:即第132页/共178页得（舍去）即,取 （米）.第133页/共178页四、微分方程 1.一阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程公式解:第134页/共178页齐次方程解法:令变换:则有代入到方程中去:即第135页/共178页从而化为一个变量可分离的微分方程.Bernoulli方程解法:做代换 则 于是方程成为第136页/共178页此为一阶线性微分方程.求出通解后,再代入则得到原方程的通解.第137页/共178页例43 求解下列微分方程:解 方程变形后
17、为:即:第138页/共178页此为一阶线性微分方程,由公式解得:第139页/共178页解 方程变形后为:令 则 第140页/共178页即:第141页/共178页代入 得原方程的解:第142页/共178页解 方程变形后为:此为伯努利方程.令:则有:得:即:第143页/共178页例44 设函数所围成的区域绕 轴旋转一周所得到试求满足上式及条件 的函数解 由条件得求导后得:的体积为若由曲线 第144页/共178页由此得到微分方程:此为齐此方程,令则有 该方程的通解为:第145页/共178页即:再由初始条件即 从而所求函数方程为 第146页/共178页例45 设函数又曲线 与解 当 时,方程为且围成区
18、域的面积为求函数 并问 为何值时,区域绕 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为最小?第147页/共178页即:所以:再由函数的连续性知:第148页/共178页再由条件:面积为 即得:所以:此时相应的旋转体的体积为第149页/共178页求导并令其为零,得第150页/共178页 2.可降阶的微分方程解法 作 次积分.解法 令则 新方程为第151页/共178页解法新方程为:令 则 第152页/共178页 3.二阶常系数线性微分方程齐次方程特征方程为由特征方程三种不同根的形式,得齐次方程的通解依次为:第153页/共178页第154页/共178页非齐次方程特解:其中:满足:第155页/共178页特解:第15
19、6页/共178页例46 求解方程解 齐次方程为:特征方程为:相应的特征根为:因而通解为:第157页/共178页非齐次方程:特解为代入关系式:即有:第158页/共178页得:非齐次方程相应的特解为:即:第159页/共178页得:即:非齐次方程相应的特解为:第160页/共178页求导后代入方程:即:得:第161页/共178页即:所以,原方程的通解为第162页/共178页例47 求方程满足初始条件 且在 处连续的解.解 由题设得奇次方程的通解为:当 时有,方程为第163页/共178页特解为于是:由初始条件得即:第164页/共178页当 时,有特解为于是:当 时,即有:第165页/共178页及即:得:
20、即:第166页/共178页所以,方程之解为第167页/共178页五、模拟试题第168页/共178页 一、填空题（每小题4分）1.按极限定义,是指:对于任意给定的正数 ,总存在一个正数 ,使得当 ,时有 .2.函数 在 内连续是 在 可导的 条件,函数 在 内可导是函数 在 内可微的 条件.3.设 则 ,.第169页/共178页4.函数 的单调减少区间是 ,单调增加区间是 .二、选择题（每小题4分）5.当 时,这4个无穷小:从低阶到高阶排列出来为 .A.B.C.D.第170页/共178页6.设 则 的值 .A.与 有关,B.与 均无关,C.与 有关,与 无关.D.与 有关而与 无关.7.则A.B
21、.C.D.8.设曲线的方程则曲线上的拐点是 .第171页/共178页A.B.C.D.三、计算题（每题6分）1.求极限2.设 是由方程 所确定的隐函数,且 求3.求积分第172页/共178页4.求反常积分四、（10分）设曲线的极坐标方程为 如果将极坐标与 直角坐标系重合（极轴与 正半轴重 合）,求曲线在 所对应的点的切线的直角坐标方程.五、（10分）求由抛物线 与围成的第一象限部分的图形的面积.第173页/共178页六、（10分）设长度为 的非均匀线材料的中垂线上距离垂直为 的地方有一单位质点（如图所示）,如果该线材的线密度为 求该线材对单位质点的引力.（引力系数为 单位从略）.七、（14分,6+8）1.求解微分方程:第174页/共178页2.设可导函数 适合方程求函数第175页/共178页参考答案:一、略二、B,D,D,C三、1.2.3.D.四、五、第176页/共178页七、第177页/共178页感谢您的观看！第178页/共178页