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1、基本几何体的展开图基本几何体的展开图正六棱柱的展开图是什么？第1页/共105页3、一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其表面积为 _;体积为第2页/共105页.AB.CDB1A1D1C1ABB1A1D1C1ABB1A1CC1ABDCB1C1第3页/共105页例1.一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.1.若长方体的三个面的面积分别是 ,则其对角线的长为。第4页/共105页SABCEFSABCAEF第5页/共105页已知：长方体AC中，AC是一条对角线（如图）求证：AC2=AB2+AD2+AA2即：l 2=a 2+b 2+c 2 abc l
2、定理1：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.第10页/共105页(1)长方体中与对角线有关的性质:1长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.2对角线与各面所成的角满足;3对角线与各棱所成的角满足 第11页/共105页S侧侧S1+S2+1、直棱柱h其中c为底面周长，h为高。第12页/共105页2、斜棱柱S侧S1+S2+其中为直截面（与侧棱垂直的截面）周长，l为侧棱长。第13页/共105页把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？第14页/共105页把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？第15页/共105页思考：把圆柱、圆锥
3、、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？宽长方形长方形第16页/共105页有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）第17页/共105页 扇形扇形把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？第18页/共105页扇环扇环圆台的侧面积第19页/共105页 取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。第20页/共105页S1祖暅原理
4、 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅S2第21页/共105页二.柱的体积shSS底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V柱体=sh第23页/共105页常用体积公式常用体积公式abcV长方体=a b c第24页/共105页s常用体积公式常用体积公式hV棱柱=hs底V棱柱=ls直第25页/共105页 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体=S为底面积,h为高.ss三.锥体的体积第26页/共105页例.已知圆锥的底面半径为OA=10cm，母线VA=40cm，由点A绕侧面一周的最短线的
5、长度是多少？V VV VA AA AAAA AO O解：沿圆锥母线沿圆锥母线AA AA 将圆锥侧面展开将圆锥侧面展开，则所求最短距离，则所求最短距离 就是就是 圆锥的侧面展开图中连接点圆锥的侧面展开图中连接点A A和点和点A A 的线段的线段AAAA 。设圆锥侧面展开图扇形设圆锥侧面展开图扇形VAA VAA 的圆心角为的圆心角为 第27页/共105页棱锥的体积棱锥体积：第28页/共105页过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。1719第29页/共105页ABDCOV已知：正三棱锥VABC，VO为高，AB6，VO ,求侧棱长及斜高。第30页/共1
6、05页求棱长为a的正四面体的体积？变式1：求棱长为a的正四面体外接球及内切球的半径第31页/共105页4：已知圆锥的表面积是底面积的倍，那么这个圆锥的轴截面的顶角是，其侧面展开图扇形的圆心角为第32页/共105页5：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角.第33页/共105页5、已知正四棱锥底面边长为，高与斜高的夹角为，则斜高为，表面积为，体积为第34页/共105页ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则第35页/共105页4、棱台的上下底面的面积比为4：9，则这个棱台的高与截得此棱台的原棱锥的高的比_;该棱台与截得此棱台的棱
7、锥的体积比为_答：1：3和19：27第36页/共105页例一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的体积和侧面积.ABCC1A1B1O1ODD1E第37页/共105页V台体=V柱体=shV锥体=ss/ss/sS/=0S=S第39页/共105页例3.已知三棱锥P-ABC一条侧棱AP=8cm，底面一边BC=18cm，其余四条棱的棱长都是17cm，求三棱锥的P-ABC的体积例4.下图是一个几何体的三视图（单位是：cm）画出它的直观图，求出它的表面积和体积。610610610第41页/共105页例2 如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯
8、的体积.(精确到0.01cm)86618515151111x/y/z/第42页/共105页RR五.球的体积一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。第43页/共105页RR第44页/共105页R六.球的表面积设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.O第50页/共105页RS球表=4R2第51页/共105页例1.钢球直径是5cm,求它的体积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的
9、密度是7.9g/cm2)第52页/共105页 2.球面面积膨胀为原来的二倍,体积变为原来的（）倍。1.球的半径扩大为原来 的2倍，它的球面面积变为原来（）倍，它的体积变为原来的（）倍。4.球的体积膨胀为原来的27倍,球面面积变为原来的（）倍。3.球的大圆面积扩大为原来的二倍,球的体积比原来增加（）倍。8242-19将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是（）。第53页/共105页例1 有一堆相同规格的六角帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm.那么约有毛坯多少个?(铁的比重为7.8g/cm3)解.V正六棱柱=V圆柱=V=
10、3.74103-0.7851032.96103（mm3）=2.96cm3一个毛坯的体积为约有毛坯5.8103（2.967.8)251(个）答101012第54页/共105页例2 如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm)86618515151111x/y/z/第55页/共105页这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球 其中V正四棱台V正方体=6818=864V球=所以这个奖杯的体积为V=1828.76cm3第56页/共105页例3.已知三棱锥P-ABC一条侧棱AP=8cm，底面一边BC=18cm，其余四条棱的棱长都是17cm，求三
11、棱锥的P-ABC的体积例4.下图是一个几何体的三视图（单位是：cm）画出它的直观图，求出它的表面积和体积。610610610第57页/共105页 1.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。2.记住常见几何体的体积公式.小结V柱体=shV锥体=V台体=第58页/共105页已知长方体相邻三个面的面对角线长分别为a,b,c,则其对角线长为().AB.CDA1B1D1C1第59页/共105页2，长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则其对角线的长为。练习：1，若长方体的三个面的面积分别是则其对角线的长为。5.AB.CDA1B1D1C1第60页/共105页PA
12、BC第61页/共105页已知：正三棱锥VABC，VO为高，AB6，VO ,求侧棱长及斜高。ABDCOV第62页/共105页SABCDOM 已知：正四棱锥SABCD中,底面边长为2,斜高为2。求:(1)侧棱长 (2)棱锥的高第63页/共105页正方体的棱长为a,以它的上底面中心以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧面积是_.正方体的边长为a，把各面的中心连接起来，可得到一个正八面体，则正八面体的体积为 第64页/共105页例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。C1CBA A1 B1DD1O延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1
13、C1-ABCD的体积？三棱锥B1-A1BC1 的三条侧棱两两垂直，A1B1=a,B1B=b,B1C1=c,A1BC1的面积为S,求点P到底面ABC的距离第65页/共105页C1CBA A1DD1例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？第66页/共105页C1CBA A1DD1例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？第67页/共105页C1
14、CBA A1D例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？第68页/共105页C1CBA A1DD1例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？第69页/共105页C1CBA A1DD1例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求棱锥B1-A1BC1的体积。延伸：（1）求点B1到平面A1BC1的距离？(2）多面体A1D1C1-ABCD
15、的体积？(3）棱锥C1-BA1D的体积？第70页/共105页CDBAC1 D1B1 A1O例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.(3）棱锥C1-BA1D的体积？第71页/共105页D1B1ACC1BA1DADD1BCC1DBB1BC1A1D1A1DC1例1、已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.(3）棱锥C1-BA1D的体积？第72页/共105页求棱长为a的正四面体的体积？CDBAC1D1B1 A1第73页/共105页正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？ABDCA1B1D1C1EF第74页/共
16、105页斜三棱柱ABC-ABC的侧面BBCC的面积为S，AA到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？ABCABC第75页/共105页斜三棱柱ABC-ABC的侧面BBCC的面积为S，AA到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？ABCABC第76页/共105页三棱锥SABC中，SA18，BC16，其余棱长均为17，求三棱锥的体积。第77页/共105页求多面体的体积时常用的方法1、直接法2、割补法3、变换法根据条件直接用柱体或锥体的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥
17、，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得第78页/共105页已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为3，求它的体积？PABCDO正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？第79页/共105页若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为？第80页/共105页正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？PABCDO第81页/共105页过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。1719锥体的体积比公式过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积之比（自上而下）为 。第82页/共105页过棱锥的高作两个平行于
18、底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是（自上而下）。第83页/共105页连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？PABC第84页/共105页一个无上盖圆柱形的锅炉,底面直径d=1m,高h=2.3m，求锅炉的表面积.圆柱的轴截面是正方形,其面积Q,那么圆柱的侧面积为多少?已知圆锥的表面积是底面积的倍,那么这个圆锥的轴截面的顶角是,其侧面展开图扇形的圆心角为.圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？体积多少？第85页/共105页H Hx xR R已知一个圆锥的底面半径为已知一个圆
19、锥的底面半径为R R，高为，高为H H，在其中有一个高，在其中有一个高为为x x的内接圆柱，（的内接圆柱，（1 1）求圆柱的侧面积求圆柱的侧面积;（2 2）当）当 x x为为何值时，圆柱的侧面积最大？何值时，圆柱的侧面积最大？第86页/共105页圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角.一个半径为一个半径为15 cm15 cm，圆心角为，圆心角为 216 216 的扇形卷成一个的扇形卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的高圆锥的侧面，求圆锥的高.圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点都在上下底面的圆周上，底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长
20、相等，那么圆柱的体积是多少？第87页/共105页V VV VA AA AAAA AO O已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为OA=10cmOA=10cm，母线，母线VA=40cmVA=40cm，由点由点A A绕侧面一周的最短线的长度是多少？绕侧面一周的最短线的长度是多少？第88页/共105页1:M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上下底 面上的两点,若从M点绕圆柱体的侧面到达N,沿 怎样的路线路程最短?3.若圆台上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分成上、下两个圆台，它们 的侧面积之比为 1：2，求R。第89页/共105页1.一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径d=1m，高h=2.3m，
21、求锅炉的表面积.2.圆柱的轴截面是正方形，其面积Q，那 么圆柱的侧面积为多少?4.若圆台上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分成上、下两个圆台，它们 的侧面积之比为 1：2，求R。第90页/共105页(2)：已知圆锥的表面积是底面积的倍，那么 这个圆锥的轴截面的顶角是，其 侧面展开图扇形的圆心角为第91页/共105页(3)：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角.(4):4):一个半径为一个半径为15 cm15 cm，圆心角为，圆心角为 216 216 的扇形卷的扇形卷 成成 一个圆锥的侧面，则圆锥一个圆锥的侧面，则圆锥的高为的高为：（）圆柱内有一个三
22、棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点都在上下底面的圆周上，底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积是多少？第92页/共105页两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上第93页/共105页一个正方体的顶点都在球面上(正方体内接于球)，它的棱长是4cm。求这个球的体积。解；如右图，设球的半径为R，正方体的对角线就是球的直径，由正方体对角线的性质得 R=2 ,V球=34R 3 =32 （cm）。3 答：这个球的体积是 。32 cm 3.O2R=4 ,.O.O第94页/共105页变题1
23、.如果球O和这个正方体的六个面都相切，求这个球的表面积.第95页/共105页变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，求这个球的表面积.第96页/共105页有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.S1S2S3=123 有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.第97页/共105页变：已知球面O上有四个点P、A、B、C，且PA、PB、PC两两垂直，若PAPBPCa，求这个球O的体积。分析：解决本题的关键是确定球O的半径。由题意PA、PB、PC两两垂
24、直联想到长方体，直径应该是补形后的对角线。OOCBAPD第98页/共105页变.过半径为R的球面上一点M作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.求证：MA2MB2MC2为定值；求三棱锥MABC的体积的最大值。OOCBAMD第99页/共105页.一个四面体的棱长都为,四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为()A、3B、4C、6D、DCBA联想：过一点有三条棱两两垂直，补形成长方体；正四面体补形成正方体。一个四面体的棱长都为a，求此四面体内切球的体积.第100页/共105页OABC已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积第101页/共105页已知三角形边长为a,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积？ROr第102页/共105页结论：圆环的面积与大小圆的半径无关而仅与和正多边形的边长有关第103页/共105页第104页/共105页感谢您的观看！第105页/共105页