线性代数与解析几何几何向量.pptx

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1、1本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容 几何向量的线性运算 空间中的平面与直线数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表 示几何向量的运算第1页/共84页2 引言l 数学发展到变量数学时期,是以笛卡尔 (1596年3月31日生于法国)解析几何的建 立为起点的.l解析几何是利用代数方法来研究几何图 形性质的一门学科.l解析几何为微积分的出现创造了条件.l几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及 其它学科的工具.第2页/共84页33.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算3.1.1 向量的基本概念有大小又有方向的量

2、称为(几何)向量，记为：,.定义模:(长度、大小)AB几何表示:用有向线段代数表示:用坐标(x,y,z)a=b 把起点平移在一起,则完全重合.方向相同,大小相等.自由向量:与起点无关的向量.第3页/共84页4几种特殊的向量单位向量:负向量:a 的负向量与a 大小相等方向相 反,记为-a.零向量:,记为0.零向量的方向任意或不确定.两向量共线:ab 同向或反向的向量.两向量共面:平行与同一平面的向量.任意两向量都共面.第4页/共84页5一、向量的加法l 分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.l 加法：baa+baba+b2.三角形法则1.平行四边形法则首尾相连,a起点

3、指向b终点c=a+b3.1.2 向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算第5页/共84页6a bcdee=a+b+c+d3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如第6页/共84页74.4.向量加法运算的性质向量加法运算的性质 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a (4)反向量:a+(-a)=(-a)+a=0 5.向量的减法:a-b=a+(-b)b两起点置一处,b终点指向a终点aa-b第7页/共84页8(1)1a=a,(-1)a=-a(

4、2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb2.数乘运算的性质:1.数乘:kaa长度方向同向反向不定规定:若a=0，k，ka=0 若k=0，a，ka=0二二.向量的数乘向量的数乘第8页/共84页93.3.单位向单位向量量:a0,a0=a|a|,为与a同向的单位向量.a=a a04.平行:（共线）与都没有意义.注（1）（2）a b无意义.（3）第9页/共84页10 如果k 0 a=(-l/k)b a,b共线;如果l 0 b=(-k/l)a a,b共线.5.两个向量a,b共线存在不全为零的数 （平行）k,l 使ka+l b=0.证 a,b 共线a=kb或b

5、=ka,ka+l b=0,k,l 不全为零存在 k 使得ka+l b=0.第10页/共84页116.三个向量a1,a2,a3共面是存在不全为零 的数k1,k2,k3使证明思路必要性:分两种情况(1)其中有平行向量(2)其中两两不平行a2a3a1充分性:不仿设k1不为零,则有 a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a3第11页/共84页12例例1 1平行四边形ABCD(如图),试用a、b 表示 .和解 因为平行四边形的对角线互相平分所以 abMABCD第12页/共84页133.2 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 前

6、面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.3.2.1 向量在轴上的投影第13页/共84页14注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到 间任意 取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过 的夹角.ab2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点,u 为一轴，过 A点作垂直于 u 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为A,在 轴 上的投影.1.1.向量的夹角：向量的夹角：,第14页/共84页15u2-u1=AB 设有向量 ,则轴 上的有向线段 的值为 （数量 同向为正数，向为

7、负数）,称为向量 在轴 上的投影，记作 与ABuAB投影轴u1u2BA3 3.向量在向量在u轴上轴上投影投影:第15页/共84页16uABu1u2ABCCu3abAB投影轴投影轴u1u2BBAu4 4.公式公式:第16页/共84页17l向量的线性运算可以用来解决一些几 何问题.l要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它运算,这其中最 重要的就是数量积和向量积.l向量的加法是从物理中力的合力抽象 出来的.向量的数量积也可以从物理中 力作功的计算公式抽象出来.3.2.2 几何向量的几何向量的数量积（数）数量积（数）第17页/共84页18 物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的

8、位移为 时，则力 所做的功是:FS 抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.第18页/共84页19一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.l 数量积又称为点积、内积.ab1 1.定义定义（数量积数量积):):第19页/共84页20（1）交换律：（2）分配律：（3）结合律：注（1）,中未必有0向量,也可.（2）无意义.（3）数量积不满足消去律即abc2.2.性质性质:（4）a(b-c).第20页/共84页3.几何应用：（1）求模长：（2）求夹角：（4）求投影：|a|=aaab|a|b|=arccosa b ab=0第21页/共84页22设(a+3b)(7a-5b),且(a-4b)(7

9、a-2b)，求.解由上式消去得由上式消去得例例1 1第22页/共84页23用数量积证明余弦定理.例例2 2 证即中bca第23页/共84页243.2.3 几何向量的几何向量的向量积向量积1.定义:a,b 的向量积 ab 是一个向量,l 向量积也称为 叉积或外积.2.几何意义：都非零且不共线,则以 为邻边的平行四边形的面积.abab模:且a,b,ab成右手系,方向：b a第24页/共84页25（1）（2）（3）反交换律：（4）结合律:（5）分配律:规定3.3.性质性质:第25页/共84页26(1)求平行四边形面积：(2)求夹角：abhh=|b|sina，b=|ab|a|ab|a|b|sin=(3

10、)求平行四边形的高：(4)可判断向量平行:4 4.几何应用几何应用：第26页/共84页27证明证 由内积定义 由外积定义知两式相加有例例3 3第27页/共84页28(-),Bye!预预 习习 3.2.4-3.3.23.2.4-3.3.2第28页/共84页29前面内容回顾前面内容回顾前面内容回顾前面内容回顾l向量的概念向量的概念l向量的线性运算向量的线性运算:加法、减法、数加法、减法、数乘乘l向量的向量的数量积数量积l向量的向量的向量积向量积l利用向量方法证明几何命题利用向量方法证明几何命题第29页/共84页30本讲主要内容本讲主要内容本讲主要内容本讲主要内容一.向量的混合积.二.建立坐标系,把

11、向量的运算化为 坐标运算.三.利用坐标来判断向量的位置关系.四.空间中的平面方程点法式,三点式.第30页/共84页312.性质:1.定义:三个向量a,b,c 的混合积是一个数:(1)(3)(叉积号与点积号互换,其值不变)3.2.4 向量的混合积（向量的混合积（向量的混合积（向量的混合积（数数数数）(2)(对换变号)(4)(轮换对称性)第31页/共84页323.几何应用几何应用:=|ab|c|cosabc=（ab）c为以a,b,c为棱的平行六面体体积.ababch(1)求体积:当a,b,c符合右手系时,否则 所以第32页/共84页33(2)a,b,c共面abc存在不全为0的数k、l、m 使 ka

12、+lb+mc=0第33页/共84页34 已知（ab）c=3，求 例例4 4解第34页/共84页353.2.53.2.5 空间直角坐标系空间直角坐标系 前面介绍的几何向量的加法,数乘,数量积，向量积及混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算转化为代数运算.1坐标系:在空间中任取一 点,过点 作 三条相互垂直的数轴 ，它们都以 为原 点，且有相同的长度单位，这就构成了一个空 间直角坐标系，记为 为横轴，为纵轴，为竖轴.习惯上 轴，轴放水平面上，轴铅 直向上，它们的正方向构成“右手系”，即 的正方向符合“右手规则”.一、空间直角坐标系第35页/共84页36坐标系的构造O;Ox,Oy,Oz;xOy

13、,yOz,zOx;I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII zIIIIIIIVVVIVIIVIIIyxo如图:第36页/共84页37设M为空间内一点,OxyzMxyzPQR 2.2.点的坐标点的坐标:记第37页/共84页381.基本单位向量：分别为轴正向的单位向量,称为基本单位向量.其数量积和向量积满足：二、向量的坐标二、向量的坐标二、向量的坐标二、向量的坐标第38页/共84页392.2.向量的坐标：向量的坐标：解（1）故其中OxzxyzaM(x,y,z)yRPQ第39页/共84页40 （2）若 故即终点坐标-起点坐标 第40页/共84页413.2.6 向量运算的坐标形式向量运算的坐

14、标形式记则(1)1.向量运算的坐标形式:(2)(3)第41页/共84页42(4)第42页/共84页43(5)第43页/共84页442.向量的模及夹角:(1)模:：方向角:其中(2)方向余弦:第44页/共84页45(3)(3)单位向量单位向量:ba4.5.a,b,c 共面3.ba(共线)第45页/共84页46例例5 5的高.求以 为顶点的的面积及边上 解 则的面积为所以高第46页/共84页47例例6 6 求以为顶点的四面体的体积.以向量 棱的平行六面体的体积的六分之一，即 解 由立体几何知,四面体的体积为第47页/共84页48 而所以第48页/共84页493.33.3 空间中的平面与直线空间中的

15、平面与直线空间中的平面与直线空间中的平面与直线 本讲主要内容u 平面与直线的方程.u 平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系.u 平面束.第49页/共84页503.3.13.3.1 空间中平面的方程空间中平面的方程垂直与平面 的非零向量 都叫做平面 的法向量.（1）是平面 的点法式方程.1.点法式方程:已知平面 的法向量及 ,求 的方程.（1）M0nMnn法向量：第50页/共84页51 已知平面上不共线的三点,求平面方程.为平面的三点式方程.所以有2.2.三点式方程三点式方程:共面第51页/共84页52已知 在三个坐标轴上的截距为 a,b,c，且 ,平面过三点P(a,0,0),Q(0,b

16、,0),M(x,y,z),得R(0,0,c),将其代入三点式,则对xaybzc+=1为平面的截矩式方程.3 3.截矩式方程截矩式方程:第52页/共84页53(待定系数法）A，B，C，D的意义：（系数与图形的关系）D=0-平面过原点 A=0-（x 轴）x 轴nA=D=0-A=B=0-过 x 轴z 轴n（xoy面）A=B=D=0-是xoy面若令,则(1)式可写成注:空间中任何平面方程都是三元一次方程;反之,三元一次方程的图形都是一个平面.（A,B,C不全为0）Ax+By+Cz+D=04 4.一般式方程一般式方程:第53页/共84页54面，面.面，面.面，面.轴，过 轴；轴，过 轴；x 轴,A=D=

17、0，过 x 轴；平面过原点;是 xoy 面.5 5.特殊的平面方程特殊的平面方程:第54页/共84页55求过x轴,且过点 的平面方程.平面过 x 轴平面方程为显然 ,否则故所求平面方程为 解法1：待定系数法则 例例1 1 第55页/共84页56解法2：三点式 平面过 轴，轴上的点 及 在平面上,及点 ,由三点式可得所求平面方程第56页/共84页57又点 在平面上,由点法式，解法3：点法式故平面方程为第57页/共84页58(-)Bye!预预 习习 3.3.2-3.3.4第58页/共84页59复习上一讲内容复习上一讲内容空间中的平面方程:（A,B,C不全为0）xaybzc+=1Ax+By+Cz+D

18、=0点法式三点式截距式一般式第59页/共84页60本节主要内容本节主要内容 平面与直线的方程.距离.位置关系.第60页/共84页613.3.2 3.3.2 空间中直线的方程空间中直线的方程空间中直线的方程空间中直线的方程称此向量为这条直线的方向向 方向向量:若一非零向量平行于一条直线，sL量,记为 .直线位置的确定:一点,方向向量；两点；两相交平面.第61页/共84页62已知 M0(x0,y0,z0)L,=(m,n,p),则 sM(x,y,z)LM0Ms1.1.标准式标准式(点向式点向式)方方程程:第62页/共84页63当 中有两个为0时,例 2.2.特殊直线方程：特殊直线方程：当中有一个为零

19、，例,则则第63页/共84页64已知 Mi(xi,yi,zi)L ,i=1，2,则 M(x,y,z)LM(x,y,z)LtT4.两点式方程:3.3.参数式方程参数式方程:第64页/共84页655.5.一般式一般式(交面式交面式)方程方程:一般式拆等号标准式参数式添参消参注意:直线方程形式的互化M0s，第65页/共84页66解 可令得例例2 2化为标准式和参数式.将直线所以直线上一点为由第66页/共84页67的标准方程为:令的参数方程:若令 ，则解得且第67页/共84页68的标准方程为:的参数方程:第68页/共84页693.3.33.3.3 距离距离距离距离点-点;点-线;点-面;线-线;线-面

20、;面-面.1.点-点:2.点-线:LM0M1sd平行四边形的高第69页/共84页70解例例3 3求点 到直线的距离.第70页/共84页713 3.点点-面面:因为 QM0M1nd第71页/共84页724 4.线线-线线(异面直线异面直线):L2L1M1M2ds1s2L3第72页/共84页73求两异面直线之间的距离.例例4 4解与第73页/共84页74面-面;线-线;线-面1.平面与平面:平行A1A2B1B2C1C2D1D2=A1A2B1B2C1C2D1D2=A1A2+B1B2+C1C2=0 重合 垂直 两平面的夹角-=n1n20 2|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12 A22

21、+B22+C22=COSn2n1 3.3.4 3.3.4 位位位位 置置置置 关关关关 系系系系A1B1C1A2B2C2 相交第74页/共84页75 平行m1m2n1n2p1p2=m1m2+n1n2+p1p2=0 重合 垂直 两直线的夹角-=s1s20 2|m1m2+n1n2+p1p2|m12+n12+p12 m22+n22+p22=COSm1m2n1n2p1p2=且M1在L2上2 2.直线与直线直线与直线:第75页/共84页76 第76页/共84页77x-x0my-y0nz-z0p=LAx+By+Cz+D=0AmBnCp=直线与平面的夹角-0 2 平行sn()Am+Bn+Cp=0 L在 上(

22、M0在 上)Am+Bn+Cp=0 且Ax0+By0+Cz0+D=0 垂直sn()3 3.直线与平面直线与平面:是直线L与其在平面上的投影线的夹角第77页/共84页78的法向量例例5 5解 取 证明直线 与 共面,并求 所在的平面方程.与 共面.所求平面方程为第78页/共84页79判断m为何值时下面两直线相交:解由共面知 由此解出m=3.s1 s2,故m=3时,两直线相交.例例6 6第79页/共84页803.3.53.3.5 平平平平 面面面面 束束束束n2n1与 不平行snn1n2 ,n2n1n共面存在不全为零的参数 、使n2n1n=+通过L 的平面束方程为：或：平面束:通过定直线 L 的所有平面全体不全为0第80页/共84页81例例1 1已知平面 问 与 是否相交;如果相交,求出交线 上投影的直线方程.在平面解与相交,交线为 .n2n1,记 为过直线 且垂直于 的平面,所求 在 上的投影线就是求 与 的交线,下面先求出 ：第81页/共84页82故 即代入平面束方程得设过 的平面束方程为注 直线为标准式应将其化为一般式后写出平面束第82页/共84页83再 见预预 习习 4.1-4.2第83页/共84页84感谢您的观看！第84页/共84页