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1、1线性代数与解析几何序言l 学时学时60学时,4 学分,共15 周课l 成绩成绩平时:20%,期中:30%，期末:50%.第1页/共94页2 一、教学内容 线性代数(抽象)为了解决多变量问题 形成的学科.（代数为几何提供了便利 的研究工具,几何为代数 提供了直观想象的空间).解析几何(直观)相互支撑相互促进第2页/共94页3二、课程特点l 内容抽象l 概念多，符号多l 计算原理简单但计算量大l 证明简洁但技巧性强l 应用广泛第3页/共94页4掌握三基基本概念(定义、符号)基本理论(定理、公式)基本方法(计算、证明)提前预习体会思路多动手，勤思考深入体会思想方法培养自学能力，独立分析问题能力 和
2、独立解决问题的能力三、学习方法第4页/共94页51.线性代数与空间解析几何习题解答哈工大数学系编（偏工）教材科有.2.线性代数与空间解析几何学习指导 俞正光(清华)等编，科学出版社.3.线性代数复习指导恩波组编，胡金德(清华)国家行政学院出版社.4.代数与几何考研辅导答疑室BX215.四、教学参考书第5页/共94页61.上课上课关手机关手机，不迟到不迟到!2.答疑时间答疑时间:每周二、四每周二、四 11:50 13:30.答疑地点答疑地点:BX215.3.交作业时间交作业时间:周一至周五周一至周五 9:00 16:00.交作业地点交作业地点:BX215(程老师程老师).(每章结束后一周内以班为
3、单位上交）每章结束后一周内以班为单位上交）使用作业本使用作业本,写上学号写上学号!五、教学要求第6页/共94页7线性代数与空间解析几何第一章第一章n 阶行列式阶行列式哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲2007.92007.9第7页/共94页8本章主要内容l行列式的定义l行列式的性质l行列式的计算lCramer法则第8页/共94页9设二元线性方程组为1.11.1 n阶行列式 二阶和三阶行列式其中 行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.第9页/共94页10对方程组用加减消元法求出解:此解不易记忆，因此有必要引
4、进新的符号“行列式”来表示解如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：第10页/共94页11 当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:第11页/共94页12解则方程组的解为例例1 1 求解方程求解方程组组 由于由于第12页/共94页13如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：那么对三元一次方程组在系数行列式 D 0 时,方程组有唯一解,其解可表示为:第13页/共94页14其中例例2 2第14页/共94页15问题问题1 1：怎样定义怎样定义n阶行列式阶行列式?定义 由1,2,n 组成的有序数组称 为一个 n阶(全)排列,一般记为:例如 自然数1,2,3 的排列共有六种.例如 12 n
5、是一个n阶排列,叫自然排列.全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换阶排列共有 种n第15页/共94页16在一个排列 中,如果一个大数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为l 如果为偶数,则称为偶排列.为奇数,则称为奇排列.定义定义l 如果第16页/共94页17例例3 3因为所以 23541 是一个奇排列.例4第17页/共94页18l 对换:在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动).对换改变排列的奇偶性.需要进行 2s+1 次相邻对换.证证(1)相邻对换(2)不相邻对换定理定理1 1所以对换改变排列的奇偶性
6、.第18页/共94页19奇排列s个偶排列t个(1,2)(1,2)对换对换(1,2)(1,2)对换对换证证全部 n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.定理定理2 2设 个 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列n第19页/共94页20 用排列观点总结三阶行列式:n 阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义第20页/共94页21定义定义记一阶行列式此行列式可简记或n阶行列式定义:第21页/共94页22l由 个元素组成;l为 n!项代数和;l 每项为取自不同行列的n个元素之积;l 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.归纳如下：归纳如下：注 用定义只能计算一些简单的行列式.第22
7、页/共94页23证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积,即例例5 5第23页/共94页24以下三角行列式为例来证明.l 先决定所有可能的非零项l 其次决定非零项的符号证第24页/共94页25其中*表示此处元素可以是任意的数.例例6 6第25页/共94页26 这个行列式的值一般并不等于当 n=4,5 时:当 n=6,7 时:问题 2:如何决定下面一般项的符号?注意第26页/共94页27l 根据这个结论,也可以把行列式表示为:l 行列式还有其它的定义方式l 一般行列式不用定义来求值l 主要利用行列式性质求值注第27页/共94页28定义为D的转置行列式(转置)行列互换值不变,
8、即，称设1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质例如性质1表明关于行的性质对列也成立.性质1第28页/共94页29(换法)换行(列)换号,即性质性质2 2第29页/共94页30两行(列)同值为零,即推论推论第30页/共94页31(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即性质性质3 3第31页/共94页32如果行列式有两行(列)成比例，则该行列式为零推论推论1 1例如如果行列式某一行(列)有公因子k时,则该公因子k可以提到行列式符号的外面推论2第32页/共94页33(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两
9、个行列式之和,即性质性质4 4第33页/共94页34第34页/共94页35例如第35页/共94页36(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即性质性质5 5第36页/共94页37总结行列式性质总结行列式性质性质1性质2推论性质3推论 性质4 性质5换行(列)变号.两行(列)同，值为零.某行(列)乘数 k=kD.两行(列)成比例,值为零.D可按某行(列)分拆成两行列式之和.D某行(列)乘数 k 加至另行(列),行列式值不变.(转置)(换法)(倍法)(消法)第37页/共94页38计算例例7 7解 通过行变换将D化为上三角行列式第38页/共94
10、页39第39页/共94页40设有四阶行列式设有四阶行列式:则展开式中x4的系数是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1.解 含x4的项只有一项例例8 8(1)(4321)a14a23a32a41=2x4第40页/共94页41已知计算例例9 9第41页/共94页42解由性质4第42页/共94页43第43页/共94页44 下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的问题,即1.3 行列式展开定理行列式展开定理行列式展开定理行列式展开定理定义 在给定的n阶行列式 中,把元素所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素 记作 ;而元素 的代数余子式记作构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式,第44
11、页/共94页45第45页/共94页46在行列式中例例1010第46页/共94页47若 D 的第 i 行元素除 外都是零，引理引理则行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即定理3n阶行列式 等于它的任意一第47页/共94页48第48页/共94页49n阶行列式 ,则定理定理4 4第49页/共94页50证证及降阶法将 G 按 j 行展开有第 i 行第 j 行由第50页/共94页511.定义法利用n阶行列式的定义计算;2.三角形法利用性质化为三角形行列式来 计算；3.降阶法利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算；4.加边法(升阶法);5.递推公式法；6.归纳法.总结总结总结总
12、结 n行列式的计算方法行列式的计算方法行列式的计算方法行列式的计算方法第51页/共94页52计算 n 阶行列式(行和相同)例例1 1第52页/共94页53解第53页/共94页54第54页/共94页55计算 n 阶行列式（两道一点）例例2 2解第55页/共94页56计算n+1阶行列式(爪形)其中例例3 3第56页/共94页57解第57页/共94页58当 全不为零时第58页/共94页59证明n阶(三对角)行列式例例4 4其中第59页/共94页60对行列式阶数n用数学归纳法证明n=2 时，结论成立.证n=1 时，结论成立.第60页/共94页61则对于n阶行列式 按第一行展开有设n-1,n-2时结论成
13、立,第61页/共94页62证明范德蒙(Vandermonde)行列式例例5 5第62页/共94页63用数学归纳法证明证n=2 时，结论成立.假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立 从第 n 行开始,每一行减去前一行的x1倍,目的是把第一列除1以外的元素都化为零.然后按第一列展开,并提取各列的公因子,可以得到:第63页/共94页64第64页/共94页65 或者利用递推公式 由上述递推结果即可得到结论.第65页/共94页661.4 1.4 克莱姆（克莱姆（克莱姆（克莱姆（CramerCramer)法则法则法则法则(Cramer法则)如果n元线性方程组的系数行列式不等于零，(1)定理5 下面给出
14、利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n而且系数行列式不为零的线性方程组的求解公式.第66页/共94页67即则方程组(1)只有唯一解,且其解为 第67页/共94页68 其中 是把的 的第j 列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即第68页/共94页69如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即 推论推论1 1则此方程组只有唯一零解,即第69页/共94页70如果n元齐次线性方程组推论推论2 2有非零解,则系数行列式等于零,即第70页/共94页71求解线性方程组例例1 1线性方程组的系数行列式 解所以方程组有唯一解.第71页/共94页72所以方程组的唯一解为第72页/
15、共94页73典型例题第73页/共94页74练练 习习若行列式D的某一行元素的代数余子式 全是零,则这个行列式D=.2.若4阶行列式D的某一行的所有元素及其 余子式都相等,则D=.3.在一个n阶行列式D中,如果等于零的元素多于 个,则D=.1.1.第74页/共94页75不计算行列式值，利用性质证明证 令4.4.第75页/共94页76由于是 的三次多项式,且第76页/共94页77因此有注 的系数为1.第77页/共94页78计算行列式的值5 5第78页/共94页79解第79页/共94页80计算行列式:6.6.第80页/共94页81解此行列式用加边法计算,即第81页/共94页82第82页/共94页83
16、第83页/共94页84已知计算（1）7.（2）第84页/共94页85解=3=25第85页/共94页86 分析:a相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).设a=4A41+8A42+5A43+6A44,则a的值为:(A)-2;(B)-1;(C)0;(D)2.8 8.设有四阶行列设有四阶行列式式第86页/共94页87计算行列式9.9.第87页/共94页88解第88页/共94页89第89页/共94页90 10.10.设是一个次数不大于n-1的一元多项式,如果存在 n 个互不相同的数使证明:证 设由已知其中待定第90页/共94页91这是关于的n元一次线性方程组,其系数行列式得第91页/共94页92所以方程组只有唯一零解,即故第92页/共94页93预预预预 习习习习 第第第第 二二二二 章章章章(-)Bye!(-)Bye!第93页/共94页94感谢您的观看！第94页/共94页