线性代数与解析几何矩阵.ppt

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1、关于线性代数与解析几何矩阵现在学习的是第1页，共170页2.1 矩阵与矩阵的运算矩阵与矩阵的运算一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵的运算四、矩阵的运算现在学习的是第2页，共170页其中其中 表示有航表示有航班班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座城市四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格

2、来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入现在学习的是第3页，共170页为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一，就得到一个数表：个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.1111111000000000现在学习的是第4页，共170页其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种

3、货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb现在学习的是第5页，共170页数域数域定义：定义：对于一个至少含有对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合的复数集合的子集合F，如，如 果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在仍在F中，那么中，那么F称为一个数域称为一个数域 所

4、有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为域、复数域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成数域所有的奇数（偶数）都不能构成数域.，现在学习的是第6页，共170页构成一个数域构成一个数域.通常用通常用 表示这个数域表示这个数域.例例 集合集合 2,Faba b 证证 显然显然 包含包含0,1并且对于加减法是封闭的并且对于加减法是封闭的.另外另外(2)(2)(2)(2)(2)()2abcdacbdadbc因为因为a,b,c,d都是有理数，所以都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数也是有理数.

5、从而说明对乘法也是封闭的从而说明对乘法也是封闭的.设设 ，则，则20ab 2222222222cdacbdadbcababab 知对除法也封闭知对除法也封闭.现在学习的是第7页，共170页 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的列的数表数表(1,2,;1,2,)ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义（定义在数域（定义在数域F上）上）111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 现在学习的是第8页，共170页111212122211

6、nnmmmnaaaaaaAaaa 简记为简记为()ijm nmnm nAaAA元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元.现在学习的是第9页，共170页n行数不一定等于列数行数不一定等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12(1)nnnnnnnnnt p pppp

7、npp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 现在学习的是第10页，共170页同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念n 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵.例如例如1214356843739与与为同型矩阵为同型矩阵.n 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B.()ijstAa(1,2,;1,2,)ijijabim jn ()ijstBb 现在学习的是第11页，共170页注意：不同型的零矩阵是不相等

8、的注意：不同型的零矩阵是不相等的.00000000 0000.00000000例如例如 现在学习的是第12页，共170页n 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).2.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O.12(,)nAa aa 12naaBa 例如：例如：2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵现在学习的是第13页，共170页3.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 .称称 为方

9、阵的主对角线元素，所有主对角线为方阵的主对角线元素，所有主对角线 元素的和称元素的和称为方阵的迹，记为为方阵的迹，记为11221tr()nnniiiaaaAa nA(1,2,)iiain 现在学习的是第14页，共170页n 形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位矩阵单位矩阵1122000000nnaaa1122(,)nnd gaAiaaa 记作记作100010001 记作记作 nE现在学习的是第15页，共170页定义定义 设设 ，称，称 是是A的的负矩阵负矩阵，其中，其中()ijmnAa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa()ij

10、mnAa 现在学习的是第16页，共170页例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家

11、商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量现在学习的是第17页，共170页111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac 111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233

12、333434acacacacacacacacacacacac 解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量 现在学习的是第18页，共170页1、矩阵的加法、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的的和记作和记作 AB，规定为，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.现在学习的是第19页，共170页1212

13、21113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知识点比较知识点比较111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 111311131113212321232123313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 现在学习的是第20页，共1

14、70页交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律,a b cRabba()()abcabc ABBA ()()ABCABC()0AA ,()ABAB 设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A=(aij)，记记A=(aij)（A 的负矩阵）的负矩阵）显然显然现在学习的是第21页，共170页设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数

15、表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 1112212231324142bbbbbbbb现在学习的是第22页，共170页 1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量l l 其中其中bi 1 表示第表示第 i

16、种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 现在学习的是第23页，共170页2、数与矩阵相乘、数与矩阵相乘定义：定义：数数 k是复数域中的一个数，它是复数域中的一个数，它与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 k A 或或 A k，规定为，规定为111212122211nnmmmnkakakakakakakAAkkakaka现在学习的是第24页，共170页结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律,a b cR()()ab ca bc()abcacbc()()AAll ll ()AAAllll()cabcacb()ABABl

17、 ll ll l 设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l,是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.现在学习的是第25页，共170页111213212223313233aaaaaaaakkak 111213212223313233aaaaaaaakkak 111213212223313233aaaaaaaaak知识点比较知识点比较111213111213212223212223313233313233kkkaaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaka 现在学习的是第26页，共170页其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第

18、i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总

19、值及总重量 现在学习的是第27页，共170页解：解：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa1112212231324142bbbbbbbb以以 ci1，ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i=1,2,3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 11c 1111ab 1221ab 1331ab

20、 1441ab 1141kkka b 11 1212221332114422ca ba ba ba b1241kkka b 现在学习的是第28页，共170页41 12233441ijijijijkkkijijca ba ba ba ba b (1,2,3;1,2)ij 1112111213141112212221222324212231323132333431324142bbaaaaccbbaaaaccbbaaaaccbb 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，现在学习的是第29页，共170页4、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵与矩

21、阵 B 的的乘积是一个乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中()ijm sAa ()ijs nBb ()ijCc 1 1221sijijisijsjkkkijca ba ba ba b (1,2,;1,2,)im jn 并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB 现在学习的是第30页，共170页03410121211130,3110514121AB 例：例：设设567102621710AB 则则现在学习的是第31页，共170页11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 知识点比较知识点比较11121311122122232122313233bbbaabbbaa

22、bbb 有意义有意义.没有意义没有意义.只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.现在学习的是第32页，共170页例例 P.34P.34例例1.21.2 结论：结论：n矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律.n矩阵矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论,AO BOABO ABO AO BO 214 331 17 2314 31 2863129143 现在学习的是第33页，共170页矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(1)(1)乘法结合律乘法结合律 证明？证明？()(

23、)AB CA BC(3)(3)乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律()()A BCABACBC ABACA (2)(2)数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数）是数）()ABA Bllll(4)(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即mmmnnnE AAEA 矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律!现在学习的是第34页，共170页(5)(5)设设A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，f(x),g(x)为复系数的多项式，则矩阵为复系数的多项式，则矩阵A的多的多项式项式f(A)和和g(A)的乘法满足交换律的乘法满足交换律

24、,即即 f(A)g(A)=g(A)f(A).现在学习的是第35页，共170页例：例：如果如果AB=BA,我们就称矩阵我们就称矩阵A，B可交换可交换.证明和对角证明和对角矩阵矩阵可交换的只能是对角矩阵可交换的只能是对角矩阵.其中其中1122000000nnaaa(,1,2).iijjaaij i jn 证证 设矩阵设矩阵B可以和可以和A可交换可交换.其中其中111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb 现在学习的是第36页，共170页则则11121112122222121111121222122212000000000000nnnnnnnnnnnnnnnnbbbabbbabbbaab

25、bbabbbabbb 现在学习的是第37页，共170页即即依次比较两边矩阵的第一行，第二行，依次比较两边矩阵的第一行，第二行，.,可以得到可以得到故结论成立故结论成立11 1111 11112122222221222211222112112111 11 12222211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna ba ba ba ba ba ba ba baa ba baa bba ba baababbb 0,ijbij现在学习的是第38页，共170页(5)矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义ssAAAA 显然显然 ,定义定义,()klk lklklA AAAA

26、 22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB 思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立0AE 现在学习的是第39页，共170页5、矩阵的转置、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置转置矩阵矩阵，记作，记作AT.例例122,458A 186,B 1425;28TA 18.6TB 现在学习的是第40页，共170页转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质(1)();TTAA(2)();TTTABAB(3)();TTAAllll(4)().TTT

27、ABB A 现在学习的是第41页，共170页例：例：已知已知 171201,423,.132201TABAB 求求解法解法11712014231322010143 ,171310AB 017()1413.3 10TAB 现在学习的是第42页，共170页解法解法2()TTTABB A 14221017720031413.13112310现在学习的是第43页，共170页定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵.,1,2,ijjiaai jnTAA 1261680106A 如果满足如果满足 A=AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵

28、反对称阵.对称阵对称阵 061607170A 反对称阵反对称阵 现在学习的是第44页，共170页例：例：设列矩阵设列矩阵 X=(x1,x2,xn)T 满足满足 X T X=1，E 为为 n 阶阶单位阵，单位阵，H=E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT=E.证明：证明：(2)TTTHEXX2()TTEXX (2)TTTEXX 2()TTTEXX 2TEXXH 从而从而 H 是对称阵是对称阵 22(2)TTHHHEXX 224(2)TTEXXXX 44TTTEXXXX XX 44()TTTEXXX X X X 44TTEXXXXE 现在学习的是第45页，共170页6、共

29、轭矩阵、共轭矩阵当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记，称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.()ijAa ijaija()ijAa AA111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 显然显然 ，复矩阵，复矩阵A是实矩阵当且仅当是实矩阵当且仅当 .()TTAA AA 现在学习的是第46页，共170页1212,34353435134235TiiiiAAiiiAii 例例现在学习的是第47页，共170页（设（设A，B 为复矩阵，为复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：性质性质 2;AAl ll l 3.ABAB 1;ABA

30、B 4|.AA 现在学习的是第48页，共170页作业作业习题二习题二1(3)(4)，5,7,11现在学习的是第49页，共170页2.2 矩阵的分块矩阵的分块现在学习的是第50页，共170页前言前言n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传把文件分块，依次上传.n家具的拆卸与装配家具的拆卸与装配问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么提出矩阵分块法？现在学习的是第

31、51页，共170页问题一：问题一：什么是矩阵分块法？什么是矩阵分块法？定义：定义：用一些水平线和垂直线将矩阵分成若干个小块，这种用一些水平线和垂直线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为操作称为对矩阵进行分块对矩阵进行分块；每一个小块称为每一个小块称为矩阵的子块矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 这是2阶方阵吗？现在学习的是第52页，共170页例例1003101012001100001000001WXAYZ 分块矩阵现在

32、学习的是第53页，共170页把把 矩阵矩阵A用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵.如下如下图图1112121221112222 ttsssttsAAAAAAAAmmmAlllA mn 现在学习的是第54页，共170页问题二：问题二：为什么提出矩阵分块法？为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了体现了化整为零化整为零的思想的思想.现在学习的是第55页，共170页111213141112131421222324

33、212223243132333431323334,aaaabbbbAaaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 1212AB 2121AB 2222AB 分块矩阵的加法分块矩阵的加法现在学习的是第56页，共170页若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即11111111,rrssrssrAABBABAABB 则有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成是普通矩阵的加法！

34、现在学习的是第57页，共170页111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaallllllllllllllllllllllllll 11A12A21A22A分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘11Al l12Al l21Al l22Al l现在学习的是第58页，共170页若l 是数，且 1111rssrAAAAA 则有1111rssrAAAAAlllll lllll 形式上看成是普通的数乘运算！现在学习的是第59页，共170页分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵，把

35、 A、B 分块如下：11111211112121222221222122122121 ,trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB 1112121222112,(1,;1,)rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll 现在学习的是第60页，共170页分块矩阵的转置分块矩阵的转置若若 ，则，则例如：例如：1111rssrAAAAA 1111TTsTTTrsrAAAAA 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaa 112131112

36、2232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaa 分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置现在学习的是第61页，共170页分块对角矩阵分块对角矩阵（补充）（补充）定义：定义：设设 A 是是 n 阶矩阵，若阶矩阵，若n A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，n其余子块都为零矩阵，其余子块都为零矩阵，n对角线上的子块都是方阵，对角线上的子块都是方阵，那么称那么称 A 为为分块对角矩阵分块对角矩阵例如：例如：112235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA 现在学习的是第62页，共170页方阵的行列式定

37、义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.运算性质(1);TAA(2);nAAl ll l(3);ABA B.ABBA现在学习的是第63页，共170页证明：要使得|AB|=|A|B|有意义，A、B 必为同阶方阵，假设 A=(aij)nn，B=(bij)nn.我们以 n=3 为例，构造一个6阶行列式111213212223313233111213212223313233000000000100010001aaaaaaaaaDbbbbbbbbb|AB现在学习的是第64页，共170页11121311 1111 1211 1321222321 1121 12

38、21 1331323331 1131 1231 13212223313233100000010001aaaa ba ba baaaa ba ba baaaa ba ba bbbbbbb 512 1cb c 111213212223313233111213212223313233000000000100010001aaaaaaaaabbbbbbbbb 411 1cb c 613 1cb c 5222cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 11322131 12322231 13

39、3223313233100000010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4212cb c 6322cb c 现在学习的是第65页，共170页11121311 111221133111 121222133211 131223133321222321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba

40、 ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba b 2333100000010000001000a b 5323cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 11322131 12322231 133223313233100000010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4313cb c 6333cb c 现在学习的是第66页，共170

41、页11121311 111221133111 121222133211 131223133321222321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba b 2333100000010000001000a b 111213111213212223212223313233313233100000010000001000

42、aaacccaaacccaaaccc 25rr14rr36rr令 ，则 C=(cij)=AB 31ijikkjkca b 3111213111213212223212223313233313233100000010000001000(1)aaacccaaacccaaaccc 现在学习的是第67页，共170页111213111213212223212223313233313233100000010000001000aaacccaaacccaaaccc 从而 3|EC|C|AB ABA B 现在学习的是第68页，共170页2.3 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的初等变换二、矩阵的秩现在学习的是第69页，

43、共170页引例：求解线性方程组123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 一、矩阵的初等变换现在学习的是第70页，共170页123412341234123424,22,232,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2现在学习的是第71页，共170页123412341234123424,22,232,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2123423423423424,2220,5536,3343.xxxxxxxxxxx

44、xx 3 现在学习的是第72页，共170页123423423423424,2220,5536,3343.xxxxxxxxxxxxx 2512342344424,0,26,3.xxxxxxxxx 3现在学习的是第73页，共170页12342344424,0,26,3.xxxxxxxxx 2 1234234424,0,3,0 0.xxxxxxxx 现在学习的是第74页，共170页1234234424,0,3,0 0.xxxxxxxx 取 x3 为自由变量，则 132344,3,3.xxxxx 令 x3 =c，则 1234433xcxcXxcx 恒等式1413.1003c 现在学习的是第75页，共1

45、70页三种变换：n交换方程的次序，记作 ；n以非零常数 k 乘某个方程，记作 ；n一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 .其逆变换是：结论：n 由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.1.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算iji k ik jiji k i+k jijik ik j现在学习的是第76页，共170页定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：n交换矩阵中的两行，记作 ；ijrrn以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；irk n某一行加上另一行的 k 倍，记作 .ijrkr 其逆变换是：ijrrirk ijrkr

46、;ijrr;irk.ijrkr 把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换初等行变换初等列变换现在学习的是第77页，共170页AB有限次初等变换AB矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性 ；对称性 若 ，则 ；传递性 若 ，则 AAAB,AB BCBAAC现在学习的是第78页，共170页411214011100001300000B 阶梯形矩阵：n 可画出一条阶梯线，线的下方全为零；n 每个台阶只有一行；1.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.阶梯形矩阵n 若某行中每个元素都为0，则位于该行

47、下面各行元素也全为0.1.若有非零元素且非零元素出现于前r行，而对于i=1,2,r,第i行中左起第1个非零元素为 ,则 .12rjjj iija现在学习的是第79页，共170页例是阶梯形矩阵，而不是阶梯形矩阵.3102157210101324400102,00007600005000000AB3102157210101324400162,00000000605000001CD 现在学习的是第80页，共170页证 设mn 矩阵 A 若所有的 均为0，则显然A是阶梯形矩阵.定理 任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯 形矩阵.111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa ija现

48、在学习的是第81页，共170页否则，设A的第 列的元素均为0，而第 列有非零元素.利用矩阵的初等变换其中 .依次类推.111111111212313100000000000jjnjnjnmjmnaaaaaAaaaa 11,2,1j 1j110ja 现在学习的是第82页，共170页例 把化成阶梯形矩阵.10421219521150123552A 现在学习的是第83页，共170页解 213141324342(2)(1)(2)(1)(2)(3)104210111001122033941042110421011100111000032000320006400000rrrrrrrrrrrrA 现在学习的

49、是第84页，共170页（续）考虑列初等变换 31415123434523543535(4)2(1)(3)10421100000111001110000320003200000000001000010000011100100000031001000000cccccccccccccccccccc 000000现在学习的是第85页，共170页定理 任意一个mn 矩阵A都可与一个形如的矩阵等价.为A的等价标准形.11000001000000100000000000000rEA1A现在学习的是第86页，共170页任何矩阵阶梯形矩阵等价标准形矩阵一系列初等行变换 一系列初等列变换 一系列初等变换 结论现在

50、学习的是第87页，共170页二、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的概念定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素按原来的顺序组成的个元素按原来的顺序组成的k 阶行阶行列式，称为矩阵列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式显然，mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个kkmnC C概念辨析：k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式现在学习的是第88页，共170页与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa 相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块12132223aaaa矩阵 A 的