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1、曲曲边梯形的面梯形的面积一、直角坐标系情形曲边梯形的面积第1页/共128页讨论：由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直线yc、yd所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdxy(y)xj(y)答案：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为第2页/共128页abxyOS1则椭圆的面积为 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，第3页/共128页x1O-1 1 y 解：由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。S 2 第4页/共128页 例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O444(8,4)(2,2)
2、解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。18。第5页/共128页二、参数方程第6页/共128页椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第7页/共128页三、极坐标系情形曲边扇形的面积面积元素第8页/共128页解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第9页/共128页解利用对称性知第10页/共128页例例7第11页/共128页解：解：x y o 两两边同同时对 求求导积分得所以所求曲线为第12页/共128页回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题补充:定积分的微元法ab xyo第13页/共128页面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，
3、得A的近似值（4）求极限，得A的精确值第14页/共128页ab xyo提示提示面积元素第15页/共128页第16页/共128页微元法的一般步骤：第17页/共128页这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。第18页/共128页选 为积分分变量量解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例第19页/共128页选 为积分分变量量解两曲线的交点第20页/共128页于是所求面于是所求面积第21页/共128页选 为积分分变量量两曲线的交点解第22页/共128页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积
4、分变量有助于简化积分运算）三、小结作业:P242 1-6第23页/共128页一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积2 由平行截面面积求体积三、小结第24页/共128页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第25页/共128页Oxba y旋转体：由连续曲线 yf(x)、直线 xa、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。yf(x)讨论：旋转体的体积怎样求？答案：第26页/共128页xyo旋转体的体积为第27页/共128页
5、解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积：x yOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。第28页/共128页解解直线 方程为第29页/共128页第30页/共128页解解第31页/共128页第32页/共128页解解第33页/共128页第34页/共128页补充补充利用这个公式，可知上例中第35页/共128页解解体积元素为第36页/共128页二、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为a,b，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。(3)令lmaxDxi，则立体体积为 (1)在a,b内插入分点：ax0 x1x2 xn1xnb，(2)过xi(i1,2,
6、n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnb第37页/共128页二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第38页/共128页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第39页/共128页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第40页/共128页解：解：例例8立体体积交点第41页/共128页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体
7、积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结作业:P246 1-6第42页/共128页一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形10.3平面曲线的弧长三、参数方程情形四、极坐标情形第43页/共128页一、平面曲线弧长的概念9.3 求平面曲求平面曲线的弧的弧长第44页/共128页二、直角坐标情形弧长元素弧长第45页/共128页例例 1 1 计算曲算曲线 上相上相应于于 x 从从 a 到到 b 的一段的一段 弧的弧的长度度.所求弧长为解第46页/共128页解解第47页/共128页曲曲线弧弧为三、参数方程情形弧长第48页/共128页解解第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长根据对称性星形线的参
8、数方程为第49页/共128页解:第50页/共128页证证第51页/共128页根据根据椭圆的的对称性知称性知故原结论成立.第52页/共128页曲曲线弧弧为四、极坐标情形弧长第53页/共128页解解第54页/共128页解解第55页/共128页平面曲平面曲线弧弧长的概念的概念五、小结求弧长的公式弧微分的概念极坐标系下参数方程情形下直角坐标系下第56页/共128页思考题思考题第57页/共128页思考题解答思考题解答不一定不一定仅仅有曲有曲线连续还不不够，必，必须保保证曲曲线光滑才可求光滑才可求长作业:P252 1;3.第58页/共128页10.4 旋转曲面的面积第59页/共128页 通通过过对对不不均
9、均匀匀量量（如如曲曲边边梯梯形形的的面面积积，变变速速直直线线运运动动的的路路程程）的的分分析析，采采用用“分分割割、近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限”四四个个基基本本步步骤骤确确定定了了它它们们的的值值，并并由由此此抽抽象象出出定定积积分分的的概概念念，我我们们发发现现，定定积积分分是是确确定定众众多多的的不不均均匀匀几几何何量量和和物物理理量量的的有有效效工工具具。那那么么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？一一 定积分的元素法定积分的元素法(或微元法或微元法)第60页/共128页 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程
10、。step1.分割：任意划分a,b为n个小区间step2.近似：微元法第61页/共128页step3.求和：step4.取极限：分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;2。对a,b具有可加性，3。实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：第62页/共128页step1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 step3:这种方法称为定积分的元素法或微元法。第63页/共128页 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；2。Q对于
11、a,b区间具有可加性；3。局部量那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1.选取积分变量及积分区间step2.取微区间x,x+dx，求出step3.第64页/共128页求的步骤分割用分点将区间分成 n 个小区间以直线代曲把在小区间上的局部量用某个函数 f(x)在的值与之积代替求和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即设量非均匀地分布 a,b 上第65页/共128页 由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件：（1）总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，（2）局部量可用近似表示它们之间只相差一个的高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求
12、得这是建立所求量的积分式的基本方法求极限第66页/共128页1 求微元写出典型小区间 上的局部量 的近似值这就是局部量的微元2 求积分即把微元 在区间 a,b 上 作积分表达式，求它在 a,b 上的定积分，即这就是微元法微元法 “无限积累”起来，相当于把 第67页/共128页例解:（图一）弧长微元第68页/共128页xyo旋转曲面的面积为二二 旋旋转转曲曲面面的的面面积积第69页/共128页第70页/共128页第71页/共128页第72页/共128页第73页/共128页例例3 3第74页/共128页解解由对称性,有由对称性,有第75页/共128页由对称性,有第76页/共128页作业作业 P25
13、5P255：1 1，2 2，3.3.三三 小结小结第77页/共128页9.5 定积分在物理上的应用第78页/共128页一、变力沿直线所作的功 第79页/共128页第80页/共128页解解如果要考虑将单位电荷移到无穷远处所求功为功元素第81页/共128页建立坐标系如图解第82页/共128页这一薄一薄层水的重力水的重力为(千焦)功元素为第83页/共128页例例3 3 用用铁锤把把钉子子钉入木板，入木板，设木板木板对铁钉的的阻力与阻力与铁钉进入木板的深度成正比，入木板的深度成正比，铁锤在第在第一次一次锤击时将将铁钉击入入1厘米，若每次厘米，若每次锤击所作所作的功相等，的功相等，问第第 次次锤击时又将
14、又将铁钉击入多少？入多少？设 次次击入的入的总深度深度为 厘米厘米次次锤击所作的所作的总功功为第一次锤击时所作的功为设木板对铁钉的阻力为解第84页/共128页次次击入的入的总深度深度为第第 次次击入的深度入的深度为依题意知，每次锤击所作的功相等第85页/共128页二、水压力第86页/共128页在端面建立坐标系如图解第87页/共128页第88页/共128页建立坐标系如图面积元素解第89页/共128页三、引力第90页/共128页例例 6 6 有一有一长度度为 l、线密度密度为 r r 的均匀的均匀细棒，棒，在其中垂在其中垂线上距棒上距棒 a 单位位处有一有一质量量为 m 的的质点点 M，计算算该棒
15、棒对质点点 M 的引力的引力 将典型小段近似看成质点小段的质量为建立坐标系如图解第91页/共128页小段与小段与质点的距离点的距离为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力第92页/共128页例7:解:建立坐标如图积分变量第93页/共128页方向:指向圆弧中点第94页/共128页作业:P259 1-10第95页/共128页定积分的应用习题课定积分的应用习题课第96页/共128页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第97页/共128页1 1、理论依据、
16、理论依据第98页/共128页2 2、名称释译、名称释译第99页/共128页3 3、所求量的特点、所求量的特点第100页/共128页4 4、解题步骤、解题步骤第101页/共128页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形第102页/共128页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数第103页/共128页极坐标情形第104页/共128页(2)体积xyo第105页/共128页平行截面面积为已知的立体的体积第106页/共128页(3)平面曲线的弧长弧长A曲线弧为弧长B曲线弧为第107页/共128页C曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo第
17、108页/共128页(5)细棒的质量(6)转动惯量第109页/共128页(7)变力所作的功(8)水压力第110页/共128页(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根第111页/共128页二、典型例题二、典型例题例例1 1第112页/共128页解解由对称性,有由对称性,有第113页/共128页由对称性,有第114页/共128页例例2 2解解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有第115页/共128页第116页/共128页故所求速度为第117页/共128页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为第118页/共128页例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆
18、柱体所得立体的体积.解:取x为积分变量,变化区间为R,R,在R,R 上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体,截面的面积 RRoxyyx第119页/共128页解:oyxba第120页/共128页例例5 5 用用铁锤把把钉子子钉入木板，入木板，设木板木板对铁钉的的阻力与阻力与铁钉进入木板的深度成正比，入木板的深度成正比，铁锤在第在第一次一次锤击时将将铁钉击入入1厘米，若每次厘米，若每次锤击所作所作的功相等，的功相等，问第第 次次锤击时又将又将铁钉击入多少？入多少？设 次次击入的入的总深度深度为 厘米厘米次次锤击所作的所作的总功功为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为解第121页/共128
19、页次次击入的入的总深度深度为第第 次次击入的深度入的深度为依题意知，每次锤击所作的功相等第122页/共128页例例 6 6 有一有一长度度为 l、线密度密度为 r r 的均匀的均匀细棒，棒，在其中垂在其中垂线上距棒上距棒 a 单位位处有一有一质量量为 m 的的质点点 M，计算算该棒棒对质点点 M 的引力的引力 小段的质量为将典型小段近似看成质点建立坐标系如图解第123页/共128页小段与小段与质点的距离点的距离为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力第124页/共128页例例7 7解解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为第125页/共128页第126页/共128页取坐标系如图解底圆方程为截面面积立体体积第127页/共128页感谢您的观看！第128页/共128页