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1、会计学1理学理学(lxu)平面曲线的弧长平面曲线的弧长第一页，共128页。曲曲边梯形梯形(txng)的面的面积一、直角坐标一、直角坐标(zh jio zu bio)系情形系情形曲边梯形曲边梯形(txng)的面积的面积第1页/共128页第二页，共128页。讨论：讨论：由左右两条连续曲线由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线与上下两条直线(zhxin)y=c、y=d所围成的图形的面积所围成的图形的面积 S 如何求？如何求？Ox ycdxy(y)xj(y)答案答案(d n)：由上下两条连续曲线(qxin)y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为第2
2、页/共128页第三页，共128页。abxyOS1则椭圆(tuyun)的面积为 解：设椭圆在第一(dy)象限的面积为S1，第3页/共128页第四页，共128页。x1O-1 1 y 解：由对称性，图形面积(min j)是第一 象限部分的两倍。S 2 第4页/共128页第五页，共128页。例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形(txng)的面积。8 y-2 2 x2O444(8,4)(2,2)解：求两曲线(qxin)的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。18。第5页/共128页第六页，共128页。二、参数二、参数(cnsh)方程方程第6页/共128页第七页，共1
3、28页。椭圆椭圆(tuyun)的参数方程的参数方程解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分倍第一象限部分(b fen)面积面积第7页/共128页第八页，共128页。三、极坐标系情形三、极坐标系情形(qng xing)曲边扇形曲边扇形(shn xn)的面积的面积面积面积(min j)元素元素第8页/共128页第九页，共128页。解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分倍第一象限部分(b fen)面积面积第9页/共128页第十页，共128页。解解利用利用(lyng)对称性知对称性知第10页/共128页第十一页，共128页。例例7第11页/共128页第十二页，共12
4、8页。解：解：x y o 两两边同同时对 求求导积分积分(jfn)得得所以所以(suy)所求曲线为所求曲线为第12页/共128页第十三页，共128页。回顾回顾(hug)曲边梯形求面积曲边梯形求面积(min j)的问题的问题补充补充(bchng):定积分的微元法定积分的微元法ab xyo第13页/共128页第十四页，共128页。面积表示为定积分面积表示为定积分(jfn)的步骤如下的步骤如下（3）求和求和(qi h)，得，得A的的近似值近似值（4）求极限求极限(jxin)，得，得A的精的精确值确值第14页/共128页第十五页，共128页。ab xyo提示提示(tsh)面面积积元元素素第15页/共1
5、28页第十六页，共128页。第16页/共128页第十七页，共128页。微元法的一般微元法的一般(ybn)步骤：步骤：第17页/共128页第十八页，共128页。这个这个(zh ge)方法通常叫做微元法方法通常叫做微元法应用应用(yngyng)方向：方向：平面平面(pngmin)图形的面积，体图形的面积，体积。积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。第18页/共128页第十九页，共128页。选 为积分分变量量解解两曲线两曲线(qxin)的交点的交点面积面积(min j)元素元素微元法求平面微元法求平面(pngmin)图形的面积举例图形的面积举例第19页/共128页第二十页，共128页。选 为积
6、分分变量量解解两曲线两曲线(qxin)的交点的交点第20页/共128页第二十一页，共128页。于是于是(ysh)所所求面求面积第21页/共128页第二十二页，共128页。选 为积分分变量量两曲线两曲线(qxin)的交点的交点解解第22页/共128页第二十三页，共128页。求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面极坐标系下平面(pngmin)图形的面图形的面积积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化（注意恰当的选择积分变量有助于简化(jinhu)积分运算）积分运算）三、小结三、小结(xioji)作业作业:P242 1-6第23页/共128页第二十四页，共1
7、28页。一、旋转体的体积(tj)二、平行截面面积(min j)为已知的立体的体积2 由平行(pngxng)截面面积求体积三、小结第24页/共128页第二十五页，共128页。旋转旋转(xunzhun)(xunzhun)体就是由一个平面图形饶这体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转平面内一条直线旋转(xunzhun)(xunzhun)一周而成的立体一周而成的立体这直线叫做旋转这直线叫做旋转(xunzhun)(xunzhun)轴轴圆柱圆柱(yunzh)圆锥圆锥(yunzhu)圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积第25页/共128页第二十六页，共128页。Oxba y旋转体：旋转体：由连续曲线
8、由连续曲线 yf(x)、直线、直线 xa、ab 及及 x 轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形绕边梯形绕 x轴旋转一周轴旋转一周(y zhu)而成的立体。而成的立体。yf(x)讨论：讨论：旋转体的体积旋转体的体积(tj)怎样求？怎样求？答案答案(d n)：第26页/共128页第二十七页，共128页。xyo旋转体的体积旋转体的体积(tj)为为第27页/共128页第二十八页，共128页。解：椭圆(tuyun)绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积：x yOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。第28页/共128页第二十九页，共128页。解解直线直线 方程为方程为第29页/共128页第三十页，共128页。
9、第30页/共128页第三十一页，共128页。解解第31页/共128页第三十二页，共128页。第32页/共128页第三十三页，共128页。解解第33页/共128页第三十四页，共128页。第34页/共128页第三十五页，共128页。补充补充(bchng)利用这个公式利用这个公式(gngsh)，可知，可知上例中上例中第35页/共128页第三十六页，共128页。解解体积体积(tj)元元素为素为第36页/共128页第三十七页，共128页。二、已知平行截面面积的立体二、已知平行截面面积的立体二、已知平行截面面积的立体二、已知平行截面面积的立体(lt(lt)的体积的体积的体积的体积 设一立体在x轴上的投影区
10、间(q jin)为a,b，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。(3)令l=maxDxi，则立体(lt)体积为 (1)在a,b内插入分点：ax0 x1x2 xn1xnb，(2)过xi(i1,2,n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnb第37页/共128页第三十八页，共128页。二、平行截面面积为已知的立体二、平行截面面积为已知的立体(lt)的体的体积积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴
11、的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分体积也可用定积分(jfn)来计算来计算.立体体积立体体积第38页/共128页第三十九页，共128页。解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程(fngchng)为为截面截面(jimin)面面积积立体立体(lt)体体积积第39页/共128页第四十页，共128页。解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程(fngchng)为为截面截面(jimin)面面积积立体立体(lt)体体积积第40页/共128页第四十一页，共128页。解：解：例例8立体立体(lt)体积体积交点交点(jiodin)第41页/共128页
12、第四十二页，共128页。旋转体的体积旋转体的体积(tj)平行截面面积为已知的立体平行截面面积为已知的立体(lt)的体积的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转绕非轴直线旋转(xunzhun)一周一周三、小结三、小结作业作业:P246 1-6第42页/共128页第四十三页，共128页。一、平面曲线弧长的概念(ginin)二、直角坐标二、直角坐标(zh jio zu bio)情形情形10.3平面曲线的弧长平面曲线的弧长三、参数三、参数三、参数三、参数(cnsh)(cnsh)方程情形方程情形方程情形方程情形四、极坐标情形四、极坐标情形四、极坐标情形四、极坐标情形第43
13、页/共128页第四十四页，共128页。一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念(ginin)9.3 求平面曲求平面曲线的弧的弧长第44页/共128页第四十五页，共128页。二、直角坐标二、直角坐标(zh jio zu bio)情形情形弧长元素弧长元素(yun s)弧长弧长第45页/共128页第四十六页，共128页。例例 1 1 计算算(j sun)(j sun)曲曲线 上相上相应(xingyng)(xingyng)于于 x 从从 a 到到 b 的一段的一段 弧的弧的长度度(chngd)(chngd).所求弧长为所求弧长为解解第46页/共128页第四十七页，共128页。解解第47页/共128
14、页第四十八页，共128页。曲曲线(qxin)弧弧为三、参数三、参数(cnsh)方程情形方程情形弧长弧长第48页/共128页第四十九页，共128页。解解第一象限第一象限第一象限第一象限(xingxin)(xingxin)部分的弧长部分的弧长部分的弧长部分的弧长根据根据(gnj)对称性对称性星形线的参数星形线的参数(cnsh)方程为方程为第49页/共128页第五十页，共128页。解解:第50页/共128页第五十一页，共128页。证证第51页/共128页第五十二页，共128页。根据根据(gnj)椭圆的的对称性知称性知故原结论故原结论(jiln)成立成立.第52页/共128页第五十三页，共128页。曲
15、曲线(qxin)弧弧为四、极坐标情形四、极坐标情形(qng xing)弧长弧长第53页/共128页第五十四页，共128页。解解第54页/共128页第五十五页，共128页。解解第55页/共128页第五十六页，共128页。平面曲平面曲线弧弧长的概念的概念(ginin)五、小结五、小结(xioji)求弧长的公式求弧长的公式(gngsh)弧微分的概念弧微分的概念极坐标系下极坐标系下参数方程情形下参数方程情形下直角坐标系下直角坐标系下第56页/共128页第五十七页，共128页。思考题思考题第57页/共128页第五十八页，共128页。思考题解答思考题解答(jid)不一定不一定仅仅有曲有曲线连续还不不够，必
16、，必须(bx)保保证曲曲线光滑才可求光滑才可求长作业(zuy):P252 1;3.第58页/共128页第五十九页，共128页。10.4 旋转曲面(qmin)的面积第59页/共128页第六十页，共128页。通通通通过过过过对对对对不不不不均均均均匀匀匀匀量量量量（如如如如曲曲曲曲边边边边梯梯梯梯形形形形的的的的面面面面积积积积，变变变变速速速速直直直直线线线线运运运运动动动动的的的的路路路路程程程程）的的的的分分分分析析析析，采采采采用用用用“分分分分割割割割、近近近近似似似似代代代代替替替替、求求求求和和和和、取取取取极极极极限限限限(jxin)”(jxin)”四四四四个个个个基基基基本本本本
17、步步步步骤骤骤骤确确确确定定定定了了了了它它它它们们们们的的的的值值值值，并并并并由由由由此此此此抽抽抽抽象象象象出出出出定定定定积积积积分分分分的的的的概概概概念念念念，我我我我们们们们发发发发现现现现，定定定定积积积积分分分分是是是是确确确确定定定定众众众众多多多多的的的的不不不不均均均均匀匀匀匀几几几几何何何何量量量量和和和和物物物物理理理理量量量量的的的的有有有有效效效效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？一一 定积分定积分(jfn)的元素
18、法的元素法(或微元法或微元法)第60页/共128页第六十一页，共128页。为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化(zhunhu)为定积分的计算过程。step1.分割：任意分割：任意(rny)划分划分a,b为为n个小区间个小区间step2.近似近似(jn s)：微元法第61页/共128页第六十二页，共128页。step3.求和求和(qi h)：step4.取极限取极限(jxin)：分析分析(fnx)：在上述问题注意到在上述问题注意到:所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。对对a,b具有可加性，具有可加性，3。
19、实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：第62页/共128页第六十三页，共128页。step1:选取积分变量选取积分变量(binling)及积分及积分区间（如区间（如x属于属于a,b）step2:取微区间取微区间(q jin)x,x+dx 求出求出 step3:这种方法(fngf)称为定积分的元素法或微元法。第63页/共128页第六十四页，共128页。一般的，如果(rgu)某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x的变化的变化(binhu)区间区间a,b有关的量；有关的量；2。Q对于
20、对于(duy)a,b区间具有可加性；区间具有可加性；3。局部量局部量那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1.选取积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间step2.取微区间取微区间x,x+dx，求出，求出step3.第64页/共128页第六十五页，共128页。求的步骤求的步骤(bzhu)分分割割(fng)用分点用分点将将区间区间(q jin)分成分成 n 个小区间个小区间(q jin)以直以直线代线代曲曲把在小区间上的局部量把在小区间上的局部量用某个函数用某个函数 f(x)在在的值与的值与之积代替之积代替求求和和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值把局部量的近似值累加得到总量的近似值,
21、即即设量非均匀地分布设量非均匀地分布 a,b 上上第65页/共128页第六十六页，共128页。由此可知，若某个由此可知，若某个(mu)非均匀量在区非均匀量在区间间 a,b 上满足两个条件：上满足两个条件：（1）总量在区间上具有可加性，即把区间总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个分成几个小区间时总量就等于各个(gg)小区小区间上的局部量之和，间上的局部量之和，（2）局部）局部(jb)量可用量可用近似表近似表示示它们之间只相差一个它们之间只相差一个的的高阶无穷小高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量
22、的积分式的基本方法求极限第66页/共128页第六十七页，共128页。1 求微元求微元写出典型写出典型(dinxng)小区间小区间 上的局部上的局部(jb)量量 的近似值的近似值这就是这就是(jish)局部量的微元局部量的微元2 求积分求积分即把微元即把微元 在区间在区间 a,b 上上 作积分表达式，作积分表达式，求它在求它在 a,b 上的定积分，即上的定积分，即这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来，相当于把相当于把 第67页/共128页第六十八页，共128页。例例解解:（图一）弧长微元第68页/共128页第六十九页，共128页。xyo旋转旋转(xunzhun)曲曲面的面积为面
23、的面积为二二 旋旋转转曲曲面面(q q m mi i n n)的的面面积积第69页/共128页第七十页，共128页。第70页/共128页第七十一页，共128页。第71页/共128页第七十二页，共128页。第72页/共128页第七十三页，共128页。第73页/共128页第七十四页，共128页。例例3 3第74页/共128页第七十五页，共128页。解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有第75页/共128页第七十六页，共128页。由对称性由对称性,有有第76页/共128页第七十七页，共128页。作业作业(zuy)P255(zuy)P255：1 1，2 2，3.3.三三 小结小结(xioji
24、)(xioji)第77页/共128页第七十八页，共128页。9.5 定积分定积分(jfn)在物理上的应用在物理上的应用第78页/共128页第七十九页，共128页。一、变力沿直线一、变力沿直线(zhxin)所所作的功作的功 第79页/共128页第八十页，共128页。第80页/共128页第八十一页，共128页。解解如果要考虑将单位电荷移到无穷如果要考虑将单位电荷移到无穷(wqing)远处远处所求功为所求功为功元素功元素(yun s)第81页/共128页第八十二页，共128页。建立建立(jinl)坐标系如图坐标系如图解解第82页/共128页第八十三页，共128页。这一薄一薄层(bo cn)水的水的重
25、力重力为(千焦千焦)功元素功元素(yun s)为为第83页/共128页第八十四页，共128页。例例3 3 用用铁锤把把钉子子钉入木板，入木板，设木板木板对铁钉的的阻力与阻力与铁钉进入木板的深度成正比，入木板的深度成正比，铁锤在第在第一次一次锤击时将将铁钉击入入1厘米，若每次厘米，若每次锤击所作所作的功相等，的功相等，问第第 次次锤击时又将又将铁钉击入多少？入多少？设 次次击入的入的总深度深度为 厘米厘米次次锤击所作的所作的总功功为第一次锤击第一次锤击(chu j)时所作的功为时所作的功为设木板设木板(m bn)对铁钉对铁钉的阻力为的阻力为解解第84页/共128页第八十五页，共128页。次次击入
26、的入的总深度深度为第第 次次击入的深度入的深度为依题意知，每次锤击依题意知，每次锤击(chu j)所作的功相等所作的功相等第85页/共128页第八十六页，共128页。二、水压力二、水压力(yl)第86页/共128页第八十七页，共128页。在端面在端面(dunmin)建立坐标系如图建立坐标系如图解解第87页/共128页第八十八页，共128页。第88页/共128页第八十九页，共128页。建立建立(jinl)坐标系如图坐标系如图面积面积(min j)元素元素解解第89页/共128页第九十页，共128页。三、引力三、引力(ynl)第90页/共128页第九十一页，共128页。例例 6 6 有一有一长度度
27、(chngd)(chngd)为 l、线密度密度(md)(md)为 r r 的均匀的均匀(jnyn)(jnyn)细棒，棒，在其中垂在其中垂线上距棒上距棒 a 单位位处有一有一质量量为 m 的的质点点 M，计算算该棒棒对质点点 M 的引力的引力 将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为建立坐标系如图建立坐标系如图解解第91页/共128页第九十二页，共128页。小段与小段与质点点(zhdin)的距离的距离为由对称性知，引力在铅直方向由对称性知，引力在铅直方向(fngxing)分力为分力为水平水平(shupng)方向的分力元素方向的分力元素引力引力第92页/共128页第九十
28、三页，共128页。例例7:解解:建立建立(jinl)坐标如图坐标如图积分变量第93页/共128页第九十四页，共128页。方向(fngxing):指向圆弧中点第94页/共128页第九十五页，共128页。作业作业(zuy):P259 1-10第95页/共128页第九十六页，共128页。定积分定积分(jfn)的应用习题课的应用习题课第96页/共128页第九十七页，共128页。微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称(m m n ng gc ch h n ng g)释释译译所所求求量量的的特特点点(t t d di i n n)解解 题题 步步 骤骤定积分定积分(jfn)(jfn)应用中的常用公
29、式应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第97页/共128页第九十八页，共128页。1 1、理论依据、理论依据第98页/共128页第九十九页，共128页。2 2、名称、名称(mngchng)(mngchng)释译释译第99页/共128页第一百页，共128页。3 3、所求量的特点、所求量的特点(tdin)(tdin)第100页/共128页第一百零一页，共128页。4 4、解题、解题(ji t)(ji t)步骤步骤第101页/共128页第一百零二页，共128页。5 5、定积分应用的常用、定积分应用的常用(chn(chn yn)yn)公式公式(1)平面图形平面图形(txng)的面积的面积直角坐标直
30、角坐标(zh jio zu bio)情形情形第102页/共128页第一百零三页，共128页。如果如果(rgu)曲边梯形的曲边为参数方曲边梯形的曲边为参数方程程曲边梯形曲边梯形(txng)的面积的面积参数方程参数方程(fngchng)所表所表示的函数示的函数第103页/共128页第一百零四页，共128页。极坐标情形极坐标情形(qng xing)第104页/共128页第一百零五页，共128页。(2)体积体积(tj)xyo第105页/共128页第一百零六页，共128页。平行截面面积为已知的立体平行截面面积为已知的立体(lt)的体积的体积第106页/共128页第一百零七页，共128页。(3)平面曲线的
31、弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线曲线(qxin)弧为弧为弧长弧长B曲线曲线(qxin)弧为弧为第107页/共128页第一百零八页，共128页。C曲线曲线(qxin)弧为弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积(min j)xyo第108页/共128页第一百零九页，共128页。(5)细棒的质量细棒的质量(zhling)(6)转动惯量转动惯量第109页/共128页第一百一十页，共128页。(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力(yl)第110页/共128页第一百一十一页，共128页。(9)引力引力(ynl)(10)函数函数(hnsh)的平均值的平均值(11)均方根均方根(fnggn
32、)第111页/共128页第一百一十二页，共128页。二、典型二、典型(dinxng)例题例题例例1 1第112页/共128页第一百一十三页，共128页。解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有第113页/共128页第一百一十四页，共128页。由对称性由对称性,有有第114页/共128页第一百一十五页，共128页。例例2 2解解如图所示建立如图所示建立(jinl)坐标系坐标系.于是于是(ysh)对半圆上任一对半圆上任一点点,有有第115页/共128页第一百一十六页，共128页。第116页/共128页第一百一十七页，共128页。故所求速度故所求速度(sd)为为第117页/共128页第一百一
33、十八页，共128页。故将满池水全部提升故将满池水全部提升(tshng)到池沿高度所需功到池沿高度所需功为为第118页/共128页第一百一十九页，共128页。例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得(su d)立体的体积.解:取x为积分变量,变化区间为R,R,在R,R 上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体(lt),截面的面积 RRoxyyx第119页/共128页第一百二十页，共128页。解:oyxba第120页/共128页第一百二十一页，共128页。例例5 5 用用铁锤把把钉子子钉入木板，入木板，设木板木板对铁钉的的阻力与阻力与铁钉进入木板的深
34、度成正比，入木板的深度成正比，铁锤在第在第一次一次锤击时将将铁钉击入入1厘米，若每次厘米，若每次锤击所作所作的功相等，的功相等，问第第 次次锤击时又将又将铁钉击入多少？入多少？设 次次击入的入的总深度深度为 厘米厘米次次锤击所作的所作的总功功为设木板设木板(m bn)对铁钉的阻力为对铁钉的阻力为第一次锤击第一次锤击(chu j)时所作的功为时所作的功为解解第121页/共128页第一百二十二页，共128页。次次击入的入的总深度深度为第第 次次击入的深度入的深度为依题意知，每次锤击依题意知，每次锤击(chu j)所作的功相等所作的功相等第122页/共128页第一百二十三页，共128页。例例 6 6
35、 有一有一长度度(chngd)(chngd)为 l、线密度密度(md)(md)为 r r 的均匀的均匀(jnyn)(jnyn)细棒，棒，在其中垂在其中垂线上距棒上距棒 a 单位位处有一有一质量量为 m 的的质点点 M，计算算该棒棒对质点点 M 的引力的引力 小段的质量为小段的质量为将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点建立坐标系如图建立坐标系如图解解第123页/共128页第一百二十四页，共128页。小段与小段与质点点(zhdin)的距离的距离为由对称性知，引力在铅直方向由对称性知，引力在铅直方向(fngxing)分力为分力为水平方向水平方向(fngxing)的分力元素的分力元素引力引力第124页/共128页第一百二十五页，共128页。例例7 7解解如图建立如图建立(jinl)坐标系坐标系,此闸门此闸门(zhmn)一侧受到静水压力一侧受到静水压力为为第125页/共128页第一百二十六页，共128页。第126页/共128页第一百二十七页，共128页。取坐标系如图取坐标系如图解解底圆方程底圆方程(fngchng)为为截面截面(jimin)面积面积立体立体(lt)体积体积第127页/共128页第一百二十八页，共128页。