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1、 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1小结小结 思考题思考题 作业作业弧长的概念弧长的概念直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用极坐标情形极坐标情形 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长2设设A、B是曲线是曲线在在弧上插入分点弧上插入分点依次用弦将依次用弦将记每条弦记每条弦的长度为的长度为折线长度的极限折线长度的极限如果当分点无限增加如果当分点无限增加,弧弧长长(长度长度).).弧上的两个端点弧上的两个端点,光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧 AB的的相邻两点联结起来
2、相邻两点联结起来,得到一条内接折线得到一条内接折线.一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长3弧长元素弧长元素弧长弧长小切线段的长为小切线段的长为:弧段的长弧段的长,设曲线弧为设曲线弧为y=f(x)其中其中f(x)在在a,b上有上有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间在在a,b上上二、直角坐标情形二、直角坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.(弧微分弧微分)以对应小以对应小切线段的长代替小切线段的长代替小 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长4解解所求弧长为所求弧长为例例 悬链线方程悬链线方程计算介
3、于计算介于 之间一段弧长度之间一段弧长度.7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长5解解例例 计算曲线计算曲线的弧长的弧长 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长6曲线弧为曲线弧为弧长弧长其中其中在在a,b上上具有连续导数具有连续导数.三、参数方程情形三、参数方程情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.取参数取参数t为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为对应于对应于上任一小区间上任一小区间的小弧段的的小弧段的长度的近似值长度的近似值,即即弧长元素弧长元素为为 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长7解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为对称性对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的
4、弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 求星形线求星形线的全长的全长.7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长8证证 设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于s1设椭圆的周长为设椭圆的周长为s2证明正弦线证明正弦线例例的弧长的弧长等于椭圆等于椭圆的周长的周长.对称性对称性 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长9曲线弧为曲线弧为弧长弧长具有连续导数具有连续导数.四、极坐标情形四、极坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.由直角坐标与极坐标的关系：由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素弧长元素为为 为参数的为参数的参数方程参数方程 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长10解解求极坐标系下曲
5、线求极坐标系下曲线例例的长的长.7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长11解解求阿基米德螺线求阿基米德螺线例例 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长12平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下求弧长的公式求弧长的公式四、小结四、小结 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长13思考题思考题解答解答仅仅有曲线连续还不够仅仅有曲线连续还不够,不一定不一定.必须保证曲线光滑才可求长必须保证曲线光滑才可求长.闭区间闭区间a,b上的连续曲线上的连续曲线 y=f(x)是否是否一定可求长一定可求长?7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长14作业作业习题习题7.4(2657.4(265页页)