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1、11 矩 阵线性方程组与矩阵的对应关系线性方程组与矩阵的对应关系第1页/共93页2第2页/共93页3简记为简记为其中数其中数称为称为的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素,的的(i,j)元素。元素。第3页/共93页4同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：第4页/共93页5一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵(Zero Matrix):注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或 .第5页/共93页6行矩阵行矩阵(Row Matrix):列矩阵(Column Matrix):只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为
2、行矩阵称为行矩阵(或行向量或行向量).).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)第6页/共93页7方阵方阵(Square Matrix):是 3 阶方阵.行数与列数都等于n 的矩阵，称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵),记作An第7页/共93页8对角阵对角阵(Diagonal Matrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。主对角线以外的元素都为零的方阵。第8页/共93页9数量矩阵数量矩阵(Scalar Matrix):主对角元素全为非零常数主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零的，其余元素全为零的方阵方阵。第9页/共93页10单位矩阵单位矩阵(Identity Matrix):主对角元素全为
3、主对角元素全为1 1，其余元素都为零的方阵。，其余元素都为零的方阵。记作:第10页/共93页11例例3：从变量从变量到变量到变量的的线性变换线性变换.其中其中为常数为常数.第11页/共93页12线性变换与矩阵之间的对应关系.恒恒等等变变换换单单位位阵阵第12页/共93页132 矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 A与与B 的和记作的和记作A+B，规定为，规定为定义定义2第13页/共93页14注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.第14页/共93页15负矩阵：负矩阵：称为矩阵称为矩阵 A的负矩阵。的负矩阵。第15页/共93页16矩阵加法满足的运
4、算规律矩阵加法满足的运算规律:第16页/共93页17二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义3第17页/共93页18第18页/共93页19数乘矩阵满足的运算规律：数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设设 A,B为为mn 矩阵，矩阵，l l,m m 为数为数第19页/共93页20定义定义4 4并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 ms 矩阵，矩阵，是是一个 sn 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中ss第20页/共93页21第21页/共93页22例：例：第22页/共93页23第23页/共93
5、页24第24页/共93页251.矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律注意：注意：设A 左乘 BB 右乘 A第25页/共93页262.矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律设但注意：注意：第26页/共93页27第27页/共93页28矩阵乘法满足的运算规律：第28页/共93页29若 A是 n 阶方阵，则 为A的 次幂，即 方阵的幂：方阵的幂：并且并且第29页/共93页30方阵的多项式：方阵的多项式：第30页/共93页31例例.设设求求第31页/共93页32第32页/共93页33四.矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做
6、 A 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例:第33页/共93页34转置矩阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律：第34页/共93页35例5：已知第35页/共93页36解解1：第36页/共93页37解2：第37页/共93页38对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵对称阵:设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 A 称为对称阵称为对称阵.第38页/共93页39反对称阵反对称阵:设设 A 为为 n 阶方阵，若满足阶方阵，若满足 ，即，即则则 称称 A 为反对称阵为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。第39页/共93页40例注
7、：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵第40页/共93页41五、方阵的行列式定义：由定义：由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作|A|或或 det A第41页/共93页42运算规律：注：虽然注：虽然 但但第42页/共93页43定义：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.第43页/共93页44第44页/共93页45性质：性质：第45页/共93页463 逆矩阵定义：定义：设设 A是是 n 阶矩
8、阵，若存在阶矩阵，若存在 n 阶矩阵阶矩阵 B 使使AB=BA=E则称则称 A是是 可逆的可逆的，并称，并称 B 是是 A的逆矩阵，的逆矩阵，第46页/共93页47若若 A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。记记 A的逆矩阵为的逆矩阵为第47页/共93页48定理定理1:证明：证明：n 阶方阵阶方阵 A可逆充要条件是可逆充要条件是|A|！=0,且且当当 A可逆时可逆时,A可逆可逆,存在存在B,使得使得 AB=E 于是于是|A|B|=|E|=1,|=1,即即|A|0 第48页/共93页49若若|A|0,则称则称 A为为奇异矩阵奇异矩阵(退化矩阵退化矩阵)若若|A|0
9、,则称则称 A为为非奇异矩阵非奇异矩阵(非退化矩阵非退化矩阵)|A|0,第49页/共93页2023/3/1750推论：推论：证明：证明：第50页/共93页51方阵方阵 A 的逆矩阵的求法的逆矩阵的求法:第51页/共93页52例如例如,第52页/共93页53例例第53页/共93页54例第54页/共93页55第55页/共93页56可逆矩阵的运算规律:第56页/共93页57注：注：第57页/共93页58第58页/共93页59例：第59页/共93页60解第60页/共93页61第61页/共93页62于是于是第62页/共93页63例：例：解方程第63页/共93页64解：解：方程两端方程两端左左乘矩阵乘矩阵
10、第64页/共93页65方程两端方程两端右右乘矩阵乘矩阵第65页/共93页66例：设解方程解：解：第66页/共93页67第67页/共93页68例：所以所以 A可逆，且可逆，且证：证：第68页/共93页69所以所以 可逆，可逆，第69页/共93页70例：设设 Ax=b,A是是 n 阶可逆阵阶可逆阵,第70页/共93页714 矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.第71页/共93页72例：第72页/共93页73第73页/共93页74分块矩阵的运算规则分块矩阵的
11、运算规则第74页/共93页75第75页/共93页76第76页/共93页77第77页/共93页78第78页/共93页79第79页/共93页80第80页/共93页81(一一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质:第81页/共93页82(三三)第82页/共93页83例：例：设第83页/共93页84解解:第84页/共93页85则则第85页/共93页86又又第86页/共93页87于是于是第87页/共93页88例：例：设设解：解：第88页/共93页89第89页/共93页90(1)加法加法:(2)数乘数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。第90页/共93页91第91页/共93页92第92页/共93页93感谢您的观看！第93页/共93页