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1、11 矩 阵线性方程组与矩阵的对应关系第1页/共93页2第2页/共93页3简记为其中数称为的第 i 行第 j 列的元素,的(i,j)元素。第3页/共93页4同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：第4页/共93页5一些特殊的矩阵零矩阵(Zero Matrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或 .第5页/共93页6行矩阵(Row Matrix):列矩阵(Column Matrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)第6页/共93页7方阵(Square Matrix):是 3 阶方阵.行数与列数
2、都等于n 的矩阵，称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵),记作An第7页/共93页8对角阵(Diagonal Matrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。第8页/共93页9数量矩阵(Scalar Matrix):主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零的方阵。第9页/共93页10单位矩阵(Identity Matrix):主对角元素全为1 1，其余元素都为零的方阵。记作:第10页/共93页11例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.第11页/共93页12线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵第12页/共93页132 矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个 矩阵 那末矩阵 A与B 的和记
3、作A+B，规定为定义2第13页/共93页14注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.第14页/共93页15负矩阵：称为矩阵 A的负矩阵。第15页/共93页16矩阵加法满足的运算规律:第16页/共93页17二、数与矩阵相乘定义3第17页/共93页18第18页/共93页19数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设 A,B为mn 矩阵，l l,m m 为数第19页/共93页20定义4 4并把此乘积记作 C=AB三、矩阵与矩阵相乘设 是一个 ms 矩阵，是一个 sn 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中ss第20页/共93页
4、21第21页/共93页22例：第22页/共93页23第23页/共93页24第24页/共93页251.矩阵乘法不满足交换律注意：设A 左乘 BB 右乘 A第25页/共93页262.矩阵乘法不满足消去律设但注意：第26页/共93页27第27页/共93页28矩阵乘法满足的运算规律：第28页/共93页29若 A是 n 阶方阵，则 为A的 次幂，即 方阵的幂：并且第29页/共93页30方阵的多项式：第30页/共93页31例.设求第31页/共93页32第32页/共93页33四.矩阵的转置定义:把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 .例:第33页/共93页34转置矩阵满足
5、的运算规律：第34页/共93页35例5：已知第35页/共93页36解1：第36页/共93页37解2：第37页/共93页38对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即那末 A 称为对称阵.第38页/共93页39反对称阵:设 A 为 n 阶方阵，若满足 ，即则 称 A 为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。第39页/共93页40例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵第40页/共93页41五、方阵的行列式定义：由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A第41页/共93页42运算规律：注：虽然 但第42页/共93页
6、43定义：行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵.第43页/共93页44第44页/共93页45性质：第45页/共93页463 逆矩阵定义：设 A是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B 使AB=BA=E则称 A是 可逆的，并称 B 是 A的逆矩阵，第46页/共93页47若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。记 A的逆矩阵为第47页/共93页48定理1:证明：n 阶方阵 A可逆充要条件是|A|0,且当 A可逆时,A可逆,存在B,使得 AB=E 于是|A|B|=|E|=1,|=1,即|A|0 第48页/共93页49若|A|0,则称 A为奇异矩阵(退化矩阵)若|A
7、|0,则称 A为非奇异矩阵(非退化矩阵)|A|0,第49页/共93页2023/3/1150推论：证明：第50页/共93页51方阵 A 的逆矩阵的求法:第51页/共93页52例如,第52页/共93页53例第53页/共93页54例第54页/共93页55第55页/共93页56可逆矩阵的运算规律:第56页/共93页57注：第57页/共93页58第58页/共93页59例：第59页/共93页60解第60页/共93页61第61页/共93页62于是第62页/共93页63例：例：解方程第63页/共93页64解：方程两端左乘矩阵第64页/共93页65方程两端右乘矩阵第65页/共93页66例：设解方程解：第66页/
8、共93页67第67页/共93页68例：所以 A可逆，且证：第68页/共93页69所以 可逆，第69页/共93页70例：设 Ax=b,A是 n 阶可逆阵,第70页/共93页714 矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.第71页/共93页72例：第72页/共93页73第73页/共93页74分块矩阵的运算规则第74页/共93页75第75页/共93页76第76页/共93页77第77页/共93页78第78页/共93页79第79页/共93页80第80页/共93页81(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:第81页/共93页82(三)第82页/共93页83例：例：设第83页/共93页84解:第84页/共93页85则第85页/共93页86又第86页/共93页87于是第87页/共93页88例：设解：第88页/共93页89第89页/共93页90(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。第90页/共93页91第91页/共93页92第92页/共93页93感谢您的观看！第93页/共93页